Conviene hacer una interpretación geométrica de lo que pides.
Primero, sean \( A_1=\{a+r:a\in A, a+r\leq{1}\} \) y \( A_2=\{a+r-1: a\in A, a+r>1\} \). Nota que \( A_1\cap{A_2}=\emptyset \) (por qué?).
Sea \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=x+r \). Observa la figura siguiente. Es la gráfica de \( f \). En azul, los puntos de \( A \).
Lo anterior nos hace pensar en los conjuntos \( A_1^{\prime} \) y \( A_2^{\prime} \) que son, respectivamente, los puntos de \( A \) a la izquierda de \( 1-r \) y a su derecha, y en caso de que \( 1-r\in{A} \), entonces \( 1-r\in{A_1} \). Como sea, se tiene que \( A=A_1^{\prime}\cup{A_2^{\prime}} \) y \( A_1^{\prime}\cap{A_2^{\prime}}=\emptyset \).
Pero también de la imagen se tiene que \( a\in{A_1^{\prime}}\Longleftrightarrow{a+r\in{A_1}} \) y \( a\in{A_2^{\prime}}\Longleftrightarrow{a+r-1\in{A_2}} \).
Por tanto, al ser \( A_1\cap{A_2}=\emptyset \) y \( P \) una probabilidad, se tiene:
\( P(A\oplus{r})=P(A_1\cup{A_2})=P(A_1)+P(A_2)=P(A_1^{\prime})+P(A_2^{\prime})=P(A_1^{\prime}\cup{A_2^{\prime}})=P(A) \)
Formalmente puedes demostrar cada paso del argumento anterior. Es decir, sin usar la gráfica, ya que ésta sólo nos sirvió para generar las ideas.
Saludos
