Vamos a calcular el número de soluciones enteras que tiene la ecuación:
\( \\
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20,\qquad\mbox{donde}\ 0\leq x_i\leq 9,\quad 1\leq i\leq 5 \)
Llamemos R al conjunto de las soluciones que nos piden, esto es en las que todos los sumandos están entre 0 y 9 (incluidos). Pues es más fácil calcular el complementario, es decir la negación, que será el conjunto en el que alguno de los sumandos es mayor estricto que 9, esto es mayor o igual que 10. Llamemos al complementario el conjunto S. Ahora bien el conjunto S se puede calcular su cardinal si lo "despiezamos", como es el conjunto de las soluciones en el que alguno es mayor que 9, pues será la unión de los conjuntos del que el primero es mayor que 9, con el que el segundo es mayor que 9,... así hasta el quinto. Le vamos a llamar \( S_i \), escrito formalmente esto es:
\( \\
S_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_2,x_3,x_4,x_5\geq 0\ \mbox{y}\ x_1>9\}\\
S_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1,x_3,x_4,x_5\geq 0\ \mbox{y}\ x_2>9\}\\
S_3=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1,x_2,x_4,x_5\geq 0\ \mbox{y}\ x_3>9\}\\
S_4=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1,x_2,x_3,x_5\geq 0\ \mbox{y}\ x_4>9\}\\
S_5=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1,x_2,x_3,x_4\geq 0\ \mbox{y}\ x_5>9\} \)
Luego \( S=S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4\cup S_5 \), ahora vamos a aplicar el principio de inclusión-exclusión para hallar el cardinal de la unión, para ello necesitamos el cardinal de cada uno de ellos, el cardinal de las intersecciones dos a dos, el de las intersecciones tres a tres, el de cuatro a cuatro y el de cinco a cinco. Pues bien, parecerán muchas pero no son tantas, ahora veremos, empecemos a calcular el de \( |S_1| \):
Arriba tenemos la definición del cardinal de \( S_1 \), hay que calcular el número de soluciones que cumplen que \( x_1>9 \), esto es \( x_1\geq 10 \), luego cambiamos a \( y_1=x_1-10 \), así quedará que \( y_1\geq 0 \), y cambiamos \( y_2=x_2,\ y_3=x_3,\ y_4=x_4,\ y_5=x_5 \), así queda la ecuación:
\( \\
y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=10 \)
de esta última ecuación ya es fácil hayar el número de soluciones enteras, hay dos formas: \( PR_{14}^{10,4}=C_{14,10}=\binom{14}{10}=\binom{14}{4} \).
Ahora habría que calcular cada \( S_i \), pero si nos fijamos habrá el mismo número de ecuaciones que en \( S_1 \), luego \( |S_i|=\binom{14}{4}=1001 \).
Ahora vamos con las intersecciones dos a dos, vemos que pasa lo mismo, es decir el cardinal de cada conjunto de las intersecciones dos a dos es igual a cualquier otro de las intersecciones dos a dos, así que calculamos el de 2 a 2, se usa el mismo razonamiento que hemos usado antes, esta vez se cambia dos (hazlo para \( x_1 \) y para \( x_2 \), si tienes dudas pues comenta). Así llegaremos a que \( |S_i\cap S_j|=1 \).
Ahora con las intersecciones tres a tres, cuatro a cuatro y cinco a cinco, si se razona de la misma forma se da cuenta que el cardinal es 0 en todos los casos, sólo hay que leer como queda la ecuación y se ve que es imposible que haya soluciones.
Luego entonces ahora sólo queda aplicar el principio de inclusión-exclusión:
\( |S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4\cup S_5|=\binom{5}{1}\cdot 1001+ \binom{5}{2}\cdot 1 + 0 + 0 + 0 \), bueno has visto que he añadido \( \binom{5}{1} \), ese es el número de conjuntos que hay que es 5, y cuando toca con el de dos a dos pongo \( \binom{5}{2} \) este es el número de intersecciones dos a dos (formas de elegir 2 de un conjunto de 5 elementos sin importar el orden y donde no se pueden repetir). Así que haciendo las cuentas anteriores queda:
\( |S|=|S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4\cup S_5|=5\cdot 1001+10\cdot 1= 4995 \).
Este es el cardinal del complementario, ahora hay que calcular el que nos piden realmente, para ello calculamos todas las soluciones enteras que tiene la ecuación y le restamos el número de ecuaciones del complementario (que hemos calculado), el número de soluciones enteras de la ecuación será:
\( \\
C_{24,20}= \binom{24}{20}=10626 \)
Luego lo que nos piden es:
\( \\
10626-4995=5631 \).
