[Araceli !]

Me dice alguien paso a paso cómo se resuelve el siguiente ejercicio por favor:

Calcular:\(  \displaystyle\sum_{k=1}^n{k\displaystyle\binom{n}{k}} \)

[aladan]

Araceli !

Una ayuda, apoyate en

                                   \( (1+1)^n=2^n=\red \displaystyle\binom{n}{0}+\black\displaystyle\binom{n}{1}+\displaystyle\binom{n}{2}+...........+\displaystyle\binom{n}{n-1}+\displaystyle\binom{n}{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\binom{n}{k}} \)

Editado

Saludos

[Araceli !]

Araceli !

Una ayuda, apoyate en

                                   \( (1+1)^n=2^n=\displaystyle\binom{n}{1}+\displaystyle\binom{n}{2}+...........+\displaystyle\binom{n}{n-1}+\displaystyle\binom{n}{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\binom{n}{k}} \)

Saludos

Gracias aladan, pero ya había intentado relacionar eso me que dices con el hecho de que \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{k} = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \) y no se me ocurre cómo hacerlo, por eso pido que me digan paso a paso

[Araceli !]

Me acordé de este ejercicio, y al final no lo pude sacar.
Por favor díganme como se hace... quiero aprender

[Héctor Manuel]

Una forma:  sea \( f(x)=(1+x)^n \).  Entonces \( f(x)=\displaystyle\binom{n}{0}+\displaystyle\binom{n}{1}x+...+\displaystyle\binom{n}{k}x^k+...+\displaystyle\binom{n}{n}x^n \).

Calcula \( f^{\prime}(x) \), tomando  por una parte que \( f(x)=(1+x)^n \) y por otra que \( f(x)=\displaystyle\binom{n}{0}+\displaystyle\binom{n}{1}x+...+\displaystyle\binom{n}{k}x^k+...+\displaystyle\binom{n}{n}x^n \).

Luego evalúa \( f^{\prime}(1) \).

Saludos