[Quema]

Hola

Si tengo una variable aleatoria \( X \) con densidad \( g(x)=2f(x)F(\alpha X) \), siendo \( f,F \) la densidad y la distribución acumulada de una normal estandard \( Y \).

Dada una función diferenciable \( h \) ¿puedo expresar: \( Eh^{\prime}(X)=\displaystyle\frac{2cov[h^{\prime}(Y),F(\alpha  Y)]}{1-4EF(\alpha Y)} \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos:

\(  E[h'(X)]=2E[h'(Y)F(\alpha Y)] \)

 Por otra parte:

\(  2cov[h'(Y),F(\alpha Y)]=2E[h'(Y)F(\alpha Y)]-2E[h'(Y)]E[F(\alpha y)]= \)

\( =E[h'(X)]-2E[h'(Y)]E[F(\alpha y)] \)

 No acabo de ver la fórmula que indicas...

Saludos.

[Quema]

Hola

Si me equivoqué confundí \( Eh^{\prime}(X) \) con \( Eh^{\prime}(Y) \).

Quiero expresar \( cov[h(X),t(X)] \) como suma o restas de covarianzas, pero de la normal estandar.

Ahora \( cov[h(X),t(X)]=2\displaystyle\int_{a}^{b}h(y)t(y)f(y)F(\alpha y)dy-4\displaystyle\int_{a}^{b}h(y)f(y)F(\alpha y)dy\int_{a}^{b}t(y)f(y)F(\alpha y)dy \).

Bajo qué condiciones de \( h \) o \( t \) \( \displaystyle\int_{a}^{b}h(y)f(y)F(\alpha y)dy\int_{a}^{b}t(y)f(y)F(\alpha y)dy \) se anula.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Obviamente para que el producto se anule basta que se anule cualquier a de las dos integrales; pero no veo fácil dar una condición razonable. La normal sesgada pierde su simetría (de ahí el nombre); eso descarta condiciones de simetría o antisimetría para \( h \) o \( t \); y en general mi impresión que es que la condición de anulación es demasiado específica, sería una antisimetría adaptada al sesgo de la función normal; pero eso no nos da una condición natural.

Saludos.