[Quema]

Hola

Si tengo dos variables aleatorias \( X,Y \) y defino una variable aleatoria \( Z \) con distribución de probabilidad \( P(Y\leq{}y/X>x) \). Pregunto: si \( X,Y \) son variables discretas, puede ser que \( E(Z) \) sea una constante. Bajo qué condiciones de \( X \), \( E(Z) \) es constante.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Estoy algo confundido con la pregunta.

 ¿Exactamente qué quieres decir que \( Z \) tiene distribución de probabilidad \( P(Y\leq y|X>x) \)?; entiendo que se trataría de una variable bidimensinal cuya función de distribución acumulada es:

\(  F(x,y)=P(Y\leq y|x>x) \)

 Pero más aun, y sea esa o no su distribución, ¿qué sentido tiene decir que una esperanza de una v.a. sea constante?. Una esperanza de una variable aleatoria siempre es un número fijo, constante. Para poder hablar de esperanzas que varíen, necesitamos una familia de variables aleatorias que dependa de uno o más parámetros.

 Intuyo que realmente quieres preguntar otra cosa (o quizá ando algo desubicado). Quizá te refieres a estudiar la esperanza \( E(Y|X) \)  (o algo similar) que es una nueva variable aleatoria que toma en principio valores en diferentes puntos \( x_i \) y cabría estudiar cuando su valor no depende de \( x_i \).

Saludos.

[Quema]

Hola

Ahora el confundido soy yo.  Algo hablamos antes en este post

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,33268.msg131101.html#msg131101

Mi pregunta fue de qué dependía \( E(Y_x)-E(Y) \) y la respuesta (para mi correcta) es depende de \( x \). Ahora pregunto si \( X \) es discreta entonces \( E(Y_x)-E(Y) \) es constante, no?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Bien. Pero entonces la pregunta no es como la planteaste al principio sino como la has puesto en tu último post.

 \( E(Y_x) \) depende de \( x \) pero \( E(Y) \) no.

 Por tanto \( E(Y_x)-E(Y) \) es constante si y sólo si lo es \( E(Y_x). \)

 Tu pregunta ser reduce a estudiar si \( E(Y_x) \) es constante cuando \( X \) es discreta, siendo \( Y_x \) la v.a de distribución \( P(Y\leq y|X>x) \).

 La respuesta es que no tiene porque ser constante (y no veo porque el hecho de ser o no discreta debiera de influir). Un ejemplo. Pensemos en el vector aleatorio \( (X,Y) \) que toma los valores \( (0,0),(1,1) \) de manera equiprobable.

 Entonces, por ejemplo \( Y_0 \) cumple que:

\(  P(Y_0=0)=P(Y=0|X>0)=0,\quad  P(Y_0=1)=P(Y=1|X>0)=1 \)

 y así \( E(Y_0)=1 \).

 Por el contrario \( Y_{-1} \) cumple que:

\(  P(Y_{-1}=0)=P(Y=0|X>-1)=1/2\quad  \)

\(   P(Y_{-1}=1)=P(Y=1|X>-1)=1/2 \)

 y así \( E(Y_{-1})=1/2 \).

 Por tanto \( E(Y_x) \) varía con \( x \) y no es constante.

Saludos.

[Quema]

Hola

Yo había pensado en este ejemplo:

\( P(X=0,Y=0)= \displaystyle\frac{2}{9}, P(X=0,Y=1)=0P(X=0,Y=3)=\displaystyle\frac{1}{9}, P(X=1,Y=0)=\displaystyle\frac{3}{9},P(X=1,Y=1)=\displaystyle\frac{2}{9},P(X=1,Y=3)=\displaystyle\frac{1}{9} \).


A mi me da que \( E(Y_x)=\displaystyle\frac{5}{6} \).

No se si hice bien las cuentas.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 El ejemplo no puede estar bien porque la suma de todas las probabilidades es mayor que uno. Quizá sea una errata de transcripción...

 Sea como sea, OJO, yo no digo que no puedan existir ejemplos donde la esperanza sea constante; lo que digo es que aunque \( X \) sea discreta, uno no puede afirmar a pripori que esa esperanza sea constante. Habrá casos en los que si será constante (trivialmente, por ejemplo si \( X,Y \) son independientes) y casos en los que no es constante (el ejemplo que puse en mi anterior post).

Saludos.