[smile]

hola! alguien me podria ayudar! por favor! es que como puedo demostrar que el conjunto potencia es una sigma-algebra??? por favor ayuda!!! mil gracias por leer este mensaje!! gracias!

[Fernando Revilla]

Dado un conjunto \( X \), el conjunto potencia \( P(X) \) tiene al \( \emptyset \) como elemento y es cerrado bajo uniones cualesquiera y complementarios. De aquí se deduce trivialmente que es \( \sigma \)-álgebra.

[smile]

pero no se supone que tiene que cumplir con las tres propiedades de que
1.-omega este contenida en el conjunto potencia (y no entiendo por que esta dentro del conjunto potencia )
2.-el complemento de un conjunto debe estar contenido (como )
3.-la union tiene que estar contenida ( y como pruebo eso??)
gracias ojala puedas ayudarme

[Jorge klan]

Hola smile

Es bueno que mires como se define el conjunto potencia de un conjunto cualquiera \( X \)

\( P(X):=\{A\mid A\subseteq{}X\} \)

1) Es claro, de la definición que \( X\in P(X) \).

2) Si \( A\in P(X) \), \( A^{c}\in P(X) \), pues \( X \) es tu "universo".

3) Si \( A_{i}\in P(X) \), con \( i=1,2,3,\ldots \), entonces, \( \displaystyle\bigcup_{i\geq 1}A_{i}\in P(X) \) (todos los conjuntos \( A_{i} \) son subconjuntos de \( X \), luego la unión contable sigue siendo un subconjunto de \( X \))

Como dijo Phidias, todo se cumple trivialmente... pero, si tienes clara la definición.

Saludos

[vekito22]

como demuestro que la Union contable sigue siendo un subconjunto de \( X \)

[Héctor Manuel]

Cualquier unión de conjuntos sigue siendo un conjunto.
En nuestro caso, si \( \left\{{A_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) es una familia de subconjuntos de \( X \) (es decir, \( A_n\subset{X} \)), entonces queremos ver que \( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n }\subset{X} \).

Véte directo a la definición de "ser subconjunto de...": Sea \( x\in{\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n }} \) (suponemos que algún \( A_n \) es no vacio, ya que en caso contrario la afirmación es trivialmente cierta pues si todos son vacios, su unión sería vacía y el vacío siempre es subconjunto de cualquier conjunto). 

Entonces \( x\in{A_n} \) para algún \( n \).  Pero así, se cumple que \( x\in{X} \) (ya que \( A_n\subset{X} \)).  Por tanto \( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n }\subset{X} \).

Saludos