Hola.
tenía un par de preguntas sobre el proyectivo y el afín, pero antes os voy a poner algunas definiciones que manejo:
Dado un hiperplano H de un espacio vectorial V sobre K, se define el espacio afín sobre K como A(V H)=P(V)-P(H) donde P(V) y P(H) son los espacios proyectivos asociados a V y H resp.
A su vez, se define un subespacio afín de A(V, H) como T=P(S)-P(H) donde S es un subespacio vectorial de V. Se introduce la dimensión del afín A(V, H) como la que tuviese el proyectivo P(V).
Pues bien, se demuestra que existe una biyección entre el afín A(V, H) y el K-espacio vectorial \( K^n \) (recordar que dimension(V)=n+1). También puede verse que los subespacios afines tal como se definen arriba se identifican con imágenes por traslaciones de los subespacios vectoriales de \( K^n \).
Con todo esto, parece que tratan de convencerme que esta aparente nueva noción de espacio afín es compatible con la que conocíamos de toda la vida (un espacio afín no era más que un espacio vectorial a cuyos elementos se le llamaban puntos, y los subespacios afines no eran mas que traslaciones de subespacios vectoriales).
Pero me surgen algunas dudas, a ver si logro darme bien a entender.
-Se demuestra que existen biyecciones entre A(V, H) y \( K^n \), pero... ¿qué quiere decir esto? Si se tratasen de isomorfismos podría entender algo, pero así no logro ver la importancia que esto alcanza, para mí ahora no es más que decir que ambos tienen el mismo cardinal (observo además que no tiene sentido hablar de isomorfismos, en el proyectivo no tenemos la suma de puntos ni nada de eso). Qué importancia tiene entonces, el que con una nueva definición nos salga algo biyectivo con el afín que conocíamos. Insisto, si pudiéramos sumar puntos y establecer isomorfismos... vale, ¿pero biyecciones?¿Qué me estoy perdiendo?
- Esta otra pregunta está relacionada con la primera, y es la que más me molesta:
Dado un espacio vectorial V de dimensión n+1, yo podré encontrar exactamente n+1 hiperplanos \( H_i \) (de dimensión n), y por tanto podré tener n+1 afines A(V, \( H_i \)). Ahora bien, ¿qué relación hay entre ellos, a parte de que habrá biyecciones?
Me da la sensación que hay algo en todo esto que me estoy perdiendo, estaré enfocándolo mal.
Por ejemplo, voy con un ejercicio, para que veáis hasta donde puedo “viciar” la respuesta con las dudas anteriores:
En el afín \( Q^3 \) se considera la afinidad \( \sigma=\pi_a\circ f \) donde \( a=(-1, 0, 2) \) y \( f \) es la aplicación lineal dada por \( f(x, y, z)=(x-y+z, 2x+z, y-2z) \). Dese la proyectividad \( \phi \) cuya restricción al afín coincide con \( \sigma \). (\( \pi_a \) es la traslación por el vector a)
Bien, previamente os pongo las definiciones que manejo:
Dado \( f:V\to V' \) isomorfismo de espacios vectoriales, se dirá de \( \mathbb{ P}(f): P(V) \to P(V') \), \( \mathbb{ P}(f)(v)=<f(v)> \) que es una proyectividad.
Dado un hiperplano de V, éste se transforma por f en un hiperplano H ' de V ' . Como \( \mathbb{ P}(f)P(H)=P(H ' ) \), la proyectividad \( \mathbb P(f) \) se restringe de dominio e imagen sin problemas a los afines A(V, H) y A(V ' , H ' ). A esta restricción, se le llamará afinidad.
Pues bien, ahora para realizar el ejercicio ¿a qué igualo \( Q^3 \) ?
\( Q^3=A(Q^4, H)=P(Q^4)-P(H) \), pero H puede ser \( H=<e_1, e_2, e_3>, H=<e_2, e_3, e_4>, .... \)y según escoja, la ecuación de la afinidad será algo de este estilo:
\( \phi\equiv (1, y_1, y_2, y_3) \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1& 1& -2\end{bmatrix} \)
(dependiendo del e_i que le quite a V para tener H, la fila i-ésima de la matriz tendrá a (1 –1 0 2) y el resto en el mismo orden –si las cuentas no me fallan-)
Saludos.
