Autor Tema: ¿Representa el conjunto de los números racionales a un fractal?

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12 Agosto, 2010, 06:54
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Jabato

  • Visitante
Bueno la pregunta no tiene duda, lo que tiene más de una duda es la respuesta.

Veamos:

1º.- La medida Lebesgue del conjunto de puntos racionales del intervalo [0,1] es nula, bien eso es conforme con la ortodoxia.

2º.- Si analizamos entonces dicho conjunto desde el punto de vista de la geometría fractal vemos que al tener medida nula su dimensión fractal debería ser 1 como máximo.

3º.- ¿Podría ser 0 la dimensión de dicho conjunto? Pues parece que sí podría serlo pero no necesariamente, y entonces, si no fuera cero, su valor tendría que estar comprendido entre 0 y 1 con lo que podríamos colegir que dicho conjunto sería un fractal. Pero entonces ... ¿cual sería su dimensión fractal? ¿y su medida Hausdorff?

4º.- Comparando este conjunto con el polvo de Cantor podemos sacar algunas conclusiones interesantes, creo. He intentado resolverlo pero no veo la forma de hacerlo. ¿Alguna idea?
 
Saludos, Jabato. ;D