No me parece un problema trivial. Al menos la función no es expresable en términos sencillos.
Supongamos que tal transformación existe (de hecho, sabemos que existe). Uso otra notación. Sea \( Y=g(X) \) tal transformación (con un claro abuso de lenguaje). Supongamos a demás que la función \( g \) tiene inversa (al menos en un intervalo) y es derivable (es decir, estamos pidiendo que \( g \) sea lo bastante doméstica)
Por tanto \( F_Y(y)=P(Y\leq{y})=P(X\leq{g^{-1}(y)})=F_X(g^{-1}(y)) \). De ahí:
\( f_Y(y)=\displaystyle\frac{f_X(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}=\displaystyle\frac{I_{[0,1]}(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))} \)
y queremos que \( f_Y(y)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2\pi}}e^{-y^2} \).
De esta manera, hay que resolver la ecuación \( \displaystyle\frac{I_{[0,1]}(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2\pi}}e^{-y^2} \), o equivalentemente, resolver la ecuación diferencial \( \displaystyle\frac{I_{[0,1]}(x)}{g'(x)}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2\pi}}e^{-g(x)^2} \), la cual no tiene solución expresable en funciones trascendentes.
Saludos
