[Krizalid]

  Hola, encontré este problema pero lo malo es que me pierdo en la penútilma parte:

Calcule el valor de \( $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$ \)

\( \begin{equation*}
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}\sqrt{k+1}\sqrt{k}+\sqrt{k}\sqrt{k}\sqrt{k+1}}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}\cdot\dfrac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}(k+1-k)}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}-\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\\
&=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\\
\end{aligned}
\end{equation*} \)

  Me estoy perdiendo en la penúltima parte...., la verdad es que no sé por qué se hace en la primera fracción \( k=1 \) y después en la otra fracción \( k=n \)

  Me podrían explicar?, muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que hace es reducir el problema a una suma telescópica. Mira aquí:

 http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=3317.0

 http://www.rinconmatematico.com/series/sumastelescopicas.pdf

Saludos.

[Krizalid]

  Hola, ví los enlaces, pero no los entendí bien...., me puedes explicar el cómo se aplica el concepto de suma telescópica a mi ejercicio por favor?

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que pruebas es que:

\( \displaystyle\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}} \)

 Entonces la suma que quieres calcular equivale a esta suma:

 \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{} (a_n-a_{n+1}) \)

 con \( a_k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}} \)

 o también:

 \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{} a_n-\displaystyle\sum_{k=1}^n{} a_{n+1} \)

 Si escribes en una fila todos los térm,inos que suman y en otra todos los que restan, verás entre k=2,..,n aparecen los términos repetido con signo más y menos; estos se anulan. Únicamente te quedarán el primero con signo + y el último con signo -. COMPRUÉBALO.

Saludos.