[jdav]

Hola

Sea un politopo y una elipsoide. Conozco la elipsoide.

He creado politopos que circunscriben a la elipsoide, atraves de la interseccion de semiespacios deplanos tangentes a los vertices de la elipsoide. Por lo tanto, me resulta un politopo paralelotopo

tengo una pregunta:

Como puedo generar polítopos (que circunscriben a una elipsoide) con más caras (o vértices) que aquellos dados por los vértices del elipsoide. Esto con objeto de hacer una aproximación cada vez más fina.

[argentinator]

Si quisieras aproximarte por dentro sería más fácil, me parece, porque bastaría conque elijas una lista finita de puntos de la elipse, y unirlos a todos con segmentos. Te quedaría una malla triangular que se aproximaría internamente al elipsoide, y no tendrías que preocuparte por los planos tangentes...

Pero no sé por qué estás tratando de hacer esto.

Además no está claro tampoco qué tipo de aproximación estás buscando, porque hay que pensar en la regularidad de la aproximación, digamos, si es que te interesa un aspecto regular de la misma, o con alguna otra propiedad.

Hay quizá muchas maneras de lograr esto, y no estoy seguro de cuál sea más óptima.
Yo buscaría un modo práctica de llevarlo a cabo.

Lo que haría (que no sé si es bueno, óptimo, o lo que sea, tan sólo es algo que se me acaba de ocurrir), es aprovechar la idea de la aproximación interna, y tratar de que la aproximación por afuera depende de ella.

Elijamos una lista finita de puntos de la elipse.
En principio, una lista cualquiera. Estos puntos elegidos los indicaré con "P".

Ahora desde el centro "O" de la elipse tracemos una semirrecta que pase por cada punto "P" de la lista elegida.

Consideremos una terna de puntos distintos P, Q, R, de la lista.
Ellos determinan un triángulo que se aproxima por "adentro" del elipsoide.
Ese triángulo está un plano "secante" del elipsoide.
Pero si lo "alejáramos" del centro O gradualmente, podríamos hacerlo coincidir con uno de los planos tangentes al elipsoide.

La dificultad de este procedimiento es que hay que calcular cuál es el punto de tangencia, no se lo puede elegir...
Pero lo bueno es que las rectas trazadas permiten determinar rápidamente cuáles son los vértices del polítopo circunscripto, porque no hay que calcular nada, ya están dadas por nuestra propia elección.

Eligiendo rectas distribuidas con uniformidad, y haciendo algunos cálculos, quizá pueda sistematizarse el tratamiento.

Por ahora te dejo con la idea.
Si te parece que te puede servir, decime, a ver si me animo a meterme en los cálculos.

Ahora bien, estoy seguro que hay gente que hace este tipo de cosas con una teoría más "estandarizada" y no como yo que estoy improvisando.
Mientras no aparezca un mejor comentario... vas a tener que aguanterme a mí, jeje.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 La pregunta está relacionada con esta.

 http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,34333.msg135619.html#msg135619

 Allí ya apuntabas tu idea de tomar planos tangentes en los vértices; pero esto es una restricción innecesaria; puedes tomar planos tangentes en cualquier puntos del elipsoide. Cuantos más puntos tomes más se parecerá tu politopo a tu elipsioide. En el post que enlazo y en mi última intervención ya apunté la idea para elipses.

 Pero aun más. Como las transformacioens afines llevan tangentes en tangentes, politops en politopos, mediante una transformación afín puedes llevar cualquier elipsoide en la esfera unidad:

\(  x^2+y^2+z^2=1 \)

 Y construir los politpos para ella (más simple); luego componiendo con la inversa de la transformación afín, traduces tus politopos al caso inicial.

 La esfera puedes parametrizarla en coordenadas esféricas que dependen dos ángulos \( \theta\in [0,2\pi] \), \( \rho\in [-\pi,\pi] \); dividiendo esos intervalos en \( n \) puntos equiespaciados, consigues una malla de \( n\times n \) puntos sobre tu esfera; los planos tangentes (especialmente fáciles de calcular porque  su vector normal coincide con las coordenadas del punto) definen los politopos; cuanto más puntos tomes más se paerece el politopo a la esfera.

Saludos.