[Daxter]

Tengo ua duda con esto Sea \( G \) una funcion de distribucion para la variable aleatoria \( y \)

lo que hay que demostrar es esta igualdad

\( \displaystyle\int_{x}^{\infty}\exp(ky) g(y)dy=\exp(kx)S(x)+k\displaystyle\int_{x}^{\infty}\exp(ky)S(y)dy \)

para \( k>0 \) y con \( S(x)=1-G(x) \)

Esa es la duda que tengo cualquier ayuda sera bien recibida.

Bye!!!

[Luis Fuentes]

Hola

 Si llamas \( s(x)=S'(x), \) tienes que \( s(x)=-g(x). \)

 Entonces tu integral queda:

\(  -\displaystyle\int_{x}^{\infty}e^{ky}s(y)dy \)

 Aplica integración por partes tomando:

\(  u=e^{ky},\quad dv=s(y)dy \)

Saludos.

[Daxter]

Solo una duda al hacer la integracion me queda asi

\( -\displaystyle\int_{x}^{\infty}exp(ky)s(y)=exp(kx)S(x)-\displaystyle\lim_{b \to{+}\infty}{exp(kb)S(b)}+k\displaystyle\int_{x}^{\infty}exp(ky)S(y) \)

La duda es ¿como veo que?:

\( \displaystyle\lim_{b \to{+}\infty}{exp(kb)S(b)}=0 \)

Lo unico que se me ocurre es L'Hopital

[Daxter]

Lo que tengo es esto:

Como \( G \) es una funcion de distribucion de \( y \) entonces

\( 0\leq{G(y)\leq{1}} \) de esto tenemos que \( 0\leq{S(y)\leq{1}} \)

entonces tendremos que:

\( 0\leq{\displaystyle\frac{S(y)}{exp(-ky)}}\leq{\displaystyle\frac{1}{exp(-ky)}} \)

Y de aqui tenemos lo que queremos.

Es lo que se me ocurrio.

[Luis Fuentes]

Hola

 De ahí no tienes lo que quieres porque \( \dfrac{1}{e^{-ky}}\rightarrow{}\infty \) para \( k>0 \) e \( y\rightarrow{}\infty \).

 Mejor aplica L'Hopital aquí:

\( \displaystyle\frac{S(y)}{exp(-ky)}} \)

Saludos.

[Daxter]

¿Como se que \( s(x)=-g(x) \) no tendera al infinito cuando \( x\longrightarrow{\infty} \)?

Esa es la duda que tengo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Porque \( g(x) \) es una función de densidad y la integral:

\(  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx=1 \)

 Una condición necesaria para la convergencia de esa integral de \( g(x) \) es que su límite en los "infinitos" sea nula.

Saludos.

[Daxter]

Gracias por la ayuda!!!

Estaba atorado en esa parte y no venia como.

Gracias!!!