Autor Tema: Dictado del curso: Geometría Proyectiva

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22 Junio, 2010, 12:03 am
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Gerard_bdn

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Curso de Geometría Proyectiva

Objetivos: Aprender los conceptos básicos sobre la geometría proyectiva y desarrollar las habilidades requeridas para la resolución de los ejercicios de la materia.
Conocimientos previos requeridos: Conocimientos de Álgebra Lineal a nivel universitario (espacios vectoriales, bases, dimensiones..) y de Geometría Lineal (espacio afín, variedad lineal...)
Bibliografia recomendada: Desconozco ningún libro que trate la materia, pues utilizaré mis apuntes de clase.
Responsable: Gerard_BdN
Colaboradores: el_manco

TEMARIO DEL CURSO
  • 1- Espacio proyectivo
  • 1.1- Definición y primeros ejemplos
  • 1.2- Variedades lineales. Incidencia de variedades lineales
  • 1.3- Dependencia e independencia lineal de puntos. Variedades suplementarias
  • 2- Proyectividades
  • 2.1- Definición y ejemplos
  • 2.2- Matriz de una proyectividad
  • 3- Coordenadas en el espacio proyectivo
  • 3.1- Ecuaciones de una variedad lineal
  • 3.2- Coordenada absoluta
  • 3.3- Razon doble
  • 3.4- La cuaterna armónica
  • 4- Espacio proyectivo dual. El espacio de los hiperplanos
  • 4.1- Variedades lineales en el dual
  • 4.2- Hiperplanos independientes
  • 4.3- Razón doble en el dual
  • 4.4- Coordenadas y referencias en el espacio dual
  • 4.5- Principio de dualidad
  • 5- Homografías
  • 5.1- Puntos fijos
  • 5.2- Hiperplanos fijos
  • 6- Geomería afín y geometría proyectiva
  • 6.1- Clausura proyectiva del espacio afín
  • 6.2- Relación entre las coordenadas del espacio afín y en su clausura
  • 6.3- Variedades lineales del afín sumergidas en el proyectivo
  • 6.4- La razón simple
  • 6.5- Afinidades y proyectividades
  • 7- Hipersuperfícies cuádricas
  • 7.1- Primeras definiciones
  • 7.2- Expresión en coordenadas de una cuádrica
  • 7.3- Intersección de rectas y cuáricas
  • 7.4- Cambio de referencias
  • 7.5- Hiperplano polar
  • 7.6- Secciones y conjugación
  • 7.7- Cuádricas degeneradas
  • 7.8- Clasificación de cuádricas
  • 7.8.1- Reducción de la ecuación de una cuádrica
  • 7.8.2- Teorema completo de clasificación sobre los complejos
  • 7.9- Teorema de clasificación de cuádricas reales
  • 7.10- Estudio afín de cuádricas
  • 7.11- Clasificación afín de cuádricas
  • 7.11.1- Invariantes afines de las cuádricas
  • 7.11.2- Ecuaciones reducidas para cuádricas afines
  • 7.12- Elementos afines de las cuádricas
  • 7.13- El teorema de Steiner
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26 Junio, 2010, 12:44 am
Respuesta #1

Gerard_bdn

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TEMA 1 - EL ESPACIO PROYECTIVO




1.1 - Definición y primeros ejemplos

Notación: A partir de ahora supondremos que \( \mathbb{K} \) es un cuerpo de característica cero, como lo pueden ser \( \mathbb{R, C} \).

Definición: Un espacio proyectivo sobre \( \mathbb{K} \) de dimensión n es una terna \( (\mathbb{P},E,\pi) \) dónde:
  • 1- \( \mathbb{P} \) es un conjunto a cuyos elementos llamaremos puntos. Es dónde colocaremos las figuras.
  • 2- E es un espacio vectorial sobre \( \mathbb{K} \) de dimensión n+1
  • 3- \( \pi \) es una aplicación  \( \pi : E - \left\{{0}\right\} \longrightarrow{} \mathbb{P} \)tal que:
    • a) Es exhaustiva.
    • b) \( \forall v,w\neq 0: \pi (v) = \pi (w) \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}: v= \lambda w   \)

Notación:  Antes de continuar resolveremos algunos problemas de notaciones. Notaremos \( [v]:=\pi(v) \) y diremos que \( [v] \) es el punto representado por v. A su vez, diremos que v es un representante de \( [v] \).

Observación:   No existe \( [0] \), es decir, \( [v] \)  sólo está definido para \( v\neq 0 \). Ahora podemos escribir las condiciones que tiene que cumplir \( \pi \) con esta nueva notación:
  • Todo \( p \in \mathbb{P} \) se puede escribir \( p=[v] \)
  • \( [v]=[w] \Leftrightarrow \exists \lambda: v= \lambda w \)



Ejemplo 1: Sea \( E \) un espacio vectorial sobre \( \mathbb{K} \). Cosideremos \( E -\left\{{0}\right\} \). Definimos la siguiente relación de equivalencia:
\( v\sim w \Leftrightarrow \exists \lambda : v= \lambda w \)
Consideremos ahora el conjunto cociente \( \mathbb{P}= E-\left\{{0}\right\}/ \sim  \); y la aplicación:
\( E-\left\{{0}\right\}\longrightarrow E-\left\{{0}\right\}/\sim \)
\( v \longmapsto \overline{v} \)

Este espacio proyectivo se llama el proyectivizado de E, notado \( \mathbb{P}(E) \) y en algunos libros aparece como definición de espacio proyectivo.

Ejemplo 2: Sea \( \mathbb{A}_{2} \)el plano afín y \( O \) un origen. Sea \( \mathbb{P} \) el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen \( O \). Tomamos \( E=\mathbb{R}^{2} \), y consideramos la aplicación:
\(  \pi: \mathbb{R}^{2} - \left\{{0}\right\}\longrightarrow \left\{{rectas \, por\, O}\right\} \)
\( (a,b) \longmapsto \, ax \, + \, by \, = \, 0 \)

Tenemos que \( \pi \) es exhaustiva porque todas las rectas que psaan por el origen son de esta forma.
Además, sabemos que dos ecuaciónes de este tipo representan a la misma recta si y sólo si los coeficientes \( (a,b) \) son proporcionales. Observemos que \( \mathbb{P} \) tiene dimensión 1.



1.2 - Variedades lineales. Incidencia de variedades lineales.
1.2.1 - Variedades lineales

Definición: Un subconjunto \( L \subset \mathbb{P} \) es una variedad lineal si y sólo si existe \( F \subset E \) subespacio vectorial de E tal que \(  \pi (F - \left\{{0}\right\}) = L \).

Notación: Notaremos \( [F] := L \) como la variedad definida por F.


Ejemplo 1: Si \( F=\left\{{0}\right\} \), entonces \( [\left\{{0}\right\}]= \emptyset \). Es decir, el conjunto vacío es la variedad lineal definida por el espacio 0, como acabamos de ver, al contrario de lo que pasaba en geometría lineal, dónde no se consideraba el conjunto vacío como espacio afín. Esto es simplemente una cuestión de convenio.

Ejemplo 2: Si \( F=E \) entonces \( [E]=\mathbb{P} \)
Ejemplo 3: Si \( F=\left<{v}\right> \), con \( v\neq{0} \), entonces \( [\left<{v}\right>]=\left\{{[v]}\right\} \).


Nuestro próximo objetivo es discernir que es lo que pasa si \( [F]=[F'] \)
Observemos en primer lugar que \( F-\left\{{0}\right\}= \pi^{-1}(L) \), es decir,
\( F= \pi^{-1}(L)\cup \left\{{0}\right\}  \)

Tenemos entonces que \( \pi^{-1}(L) \) son todos los representantes de puntos de L, de forma que contestamos a la pregunta que hemos planteado. Es decir, que \( [F]=[F'] \) si y sólo si \( F=F' \).
Pero aún tenemos que demostrar la igualdad que hemos remarcado.
Es equivalente a demostrar que \( F-\left\{{0}\right\}=\pi^{-1}(L) \). Para ello, hay que ver las dos inclusiones.

En primer lugar, veremos que \( F-\left\{{0}\right\}\subset \pi^{-1} (L). \)Tenemos que:
\( v \in \pi^{-1}(L) \Leftrightarrow \pi (w) \in L \Leftarrow v \in F-\left\{{0}\right\} \)
Recíprocamente, supongamos que \( w\in \pi^{-1}(L) \), esto es equivalente a que \( \pi(w) \in L \), que a su vez nos dice que existe \( v \in F-\left\{{0}\right\} \)  tal que \( \pi(v)=\pi(w) \).
Esto ocurre si y sólo si existe \( \lambda \) tal que \( v= \lambda w \). Por tanto, como F es subespacio, se tiene que \( w \in F-\left\{{0}\right\} \).



Definición: Podemos ahora definir la dimensión de L. Decimos que
\( dim\,L \; = \; dim \,[F] \;=\; dim\,F \;-\;1 \)
Veamos ahora diversos ejemplos de variedades lineales.

Ejemplo 4: \(  \emptyset = [\left\{{0}\right\}] \) Y se tiene que \( dim\, \emptyset \; =\; -1 \)
Ejemplo 5: \( \mathbb{P}_{n}=[E] \) Y se tiene que \( dim\,\mathbb{P}_{n} \; =\; n \)
Ejemplo 6: Si tenemos \( p=[v] \), entonces \( \left\{{p}\right\}=[\left<{v}\right>] \) y además  \( dim \left\{{p}\right\} \; =\; 0 \)



Definiremos ahora los siguientes objetos:
  • Una recta es una variedad lineal de dimensión 1.
  • Un plano es una variedad lineal de dimensión 2.
  • Un hiperplano es una variedad lineal L tal que \( dim \; L \; = \; dim \; \mathbb{P} \; - 1 \)

Proposición: Sea \( L=[F] \) una variedad lineal de \( \mathbb{P} \) de dimensión  d.
Entonces F y \( \pi_{|F-\left\{{0}\right\}}:F-\left\{{0}\right\}\longrightarrow L \) define en L estructura de espacio proyectivo de dimensión d.

Demostración:
a) \( \pi_{|F-\left\{{0}\right\}} \) es exhaustiva por definición de L
b)\( \pi_{|F-\left\{{0}\right\}}(v)=\pi_{|F-\left\{{0}\right\}}(w) \) si y sólo si existe \( \lambda \) tal que \( v= \lambda w \), con \( v,w \in L \), ya que esto pasa más generalmente con \( \pi \)




1.2.2 - Incidencia de variedades lineales.

Proposición: Sean \( L=[F],L'=[F'] \) variedades lineales. Entonces \( L\subset L' \; \Leftrightarrow \; F\subset F' \)

Demostración
Demostración: Veamos en primer lugar la implicación hacia la izquierda, es decir, supongamos \( F\subset F' \).Sean:
\( L=\pi(F-\left\{{0}\right\}) \) y \( L'=\pi(F')-\left\{{0}\right\} \).
Así si \( F\subset F' \), tenemos que \( F-\left\{{0}\right\}\subset F'-\left\{{0}\right\} \), que nos implica \( \pi(F-\left\{{0}\right\}) \subset \pi(F'-\left\{{0}\right\}) \).

Recíprocamente, supongamos que \( L\subset L' \).Entonces, \( \pi^{-1}(L) \subset \pi^{-1}(L') \). Pero tenemos que
\( \pi^{-1}(L)=F-\left\{{0}\right\} \) y \( \pi^{-1}(L')=F'-\left\{{0}\right\} \)
Por lo tanto, ya tenemos que \( F \subset F' \)
[cerrar]


Proposición: Sean \( L,L' \) variedades lineales. Se cumple entonces:
  • \( L\subset L' \; \Rightarrow \; dim\,L \, \leq \, dim \, L' \)
  • Si \( L\subset L' \) y además \( dim\, L = dim \, L' \). Entonces se cumple \(  L=L' \)

Demostración
Demostración: Supongamos que \( L=[F] \) y \( L'=[F'] \). Entonces:

a) Si \( L \subset L' \), tenemos que \( F \subset F' \) por la proposición anterior. Esto nos dice que \( dimF \, \leq \, dimF' \). Así se tiene lo que buscamos:
\( dim \, L \; = \; dim \, F\; -1 \; \leq \; dim \, F' \; -1 \; = \; dim\, L' \)

b) Si  \( L \subset L' \; \Rightarrow F\subset F' \). Pr otro lado,
\( dim\, L \; = dim \, L' \; \Rightarrow \; dim \, F \; = \; dim \, F' \)
Por lo tanto, ya sabemos que  \( F=F' \), de forma que \( L=L' \)
[cerrar]

(Continuará)

08 Octubre, 2011, 01:45 am
Respuesta #2

Alpha Floor

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Hola!

Es curioso, en mi carrera se estudia Geometría Proyectiva obligatoriamente y en primer curso como parte de la asignatura de Sistemas y Técnias de Representación (coloquialmente conocida como dibujo). La geometría proyectiva es difícil, al menos en mi escuela, y se imparte en 2 meses que me parece ridículo. Es una asignatura que merece un cuatrimestre entero al menos, por eso provocaba tantos suspensos.

Como no tienes libro te voy a dar una idea: "Geometría aplicada al diseño" de Manuel Prieto Alberca, editorial ADI

El título te parecerá que no tiene nada que ver con la geometría proyectiva, pero no es así. Es un libro muy riguroso y engloba los temas más importantes de esta asignatura, que también incluyes en tu temario del curso.

La misma editorial publicó una colección de problemas de examen de la asignatura: "Problemas de geometría para ingenieros, una metodología híbrida" Mª Dolores Sondesa Freire.

Me costó muchísimo aprobar la dichosa geometría proyectiva, todo sea dicho...
A algunos siempre les quedará París y a nosotros... ¡siempre nos quedarán los desarrollos en serie!