Hola a todos.
Tengo algunas dudas con otro ejercicio de geometría proyectiva... a ver si podéis echarme una mano. El ejercicio es el siguiente:
Se considera en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \) un sistema de referencia \( R \) y una homografía \( F \) de clase matriz respecto de \( R \) dada por:
\( M(F)=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{-1}&{0}&{-1}&{0}\\{-1}&{-1}&{0}&{0}\\{-1}&{1}&{1}&{1}\end{bmatrix} \)
a) Encontrar un sistema de referencia \( R_L \) en el plano \( L=H_{\infty}:x_0=0 \) lo más simple posible.
b) Demostrar que \( L \) es plano fijo de \( F \) y calcular unas ecuaciones de \( F'=F|_L \) la restricción de \( F \) a\( L \).
c) Obtener la configuración invariante de \( F' \) a partir de la de \( F \).
d) Demostrar que \( F' \) es involutiva \( (F')^2=id \).
El apartado a) sería \( R_L=\{(0:1:1:1),(0:1:0:0),(0:0:1:0),(0:0:0:1)\} \)
El apartado b) sería \( L:x_0=0 \) es un plano fijo de \( F \) si su dual, el punto \( (1:0:0:0) \), es punto fijo del dual de \( F \),\( F^* \) y esto aocurre si y sólo si \( (1:0:0:0) \) es un autovector de \( (M(F))^t \). Lo cual se cumple.
Mi primera duda:
El problema viene con la segunda parte del apartado b) porque no sé trabajar muy bien con la restricción de \( F \) a \( L \).
Y es que no sé si la restricción toma un punto cualquiera de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \) y lo transforma en uno de \( F(H_{\infty}) \) o si bien sólo puede tomar puntos de \( H_{\infty} \).
Mi segunda duda:
El apartado c)... no sé qué es "la configuración invariante de \( F' \)
Para el apartado d) creo que podré solucionarlo solo cuando resuelva mis dudas anteriores.
Espero que puedan ayudarme... Muchas gracias de antemano
Un saludo
