[evoj2]

Hola.

Me piden lo siguiente:
¿Cuántos números de 6 dígitos no tienen 3 dígitos consecutivos iguales? Considera en este problema que un número puede empezar por cero, es decir, que se admiten los números 012345 y 001122 pero no se admiten, por ejemplo, 000987 ni 12224.

He intentado calcular utilizando el principio de inclusión-exclusión. Para ello, sea \( U \) el conjunto de todos los números de seis dígitos sin restricción:
\( \left |{U}\right | = 10^6 \).

Sea \( A \) el conjunto de números de 6 dígitos con 3 dígitos consecutivos iguales. Mi idea es obtener \( \left |{A}\right | \) para, luego, calcular \( \left |{U}\right | - \left |{A}\right | \). Pero, ¿cómo calcular \( A \)? Porque lo he intentado, pero he contando varias veces los números con más de 3 dígitos consecutivos iguales.

Agradezco cualquier ayuda.

Un saludo.

[evoj2]

He estado pensando al respecto.

Para calcular \( \left |{A}\right | \) podría considerar los casos en los que no hay ningún dígito consecutivo igual, hay dos consecutivos iguales, hay tres..., para luego restarlos a \( \left |{U}\right | \)

Ahora bien, para calcular el caso en que, por ejemplo, hay dos consecutivos iguales. Tendría que tener en cuenta, primero, que los dos dígitos estuviesen al principio y entonces, el tercer dígito no podría ser igual. Análogamente, que los dos dígitos estuviesen al final, y entonces, el cuarto dígito no podría ser igual. Y, luego, habría que pensar en las situaciones en las que los dos dígitos estuviesen en la segunda y la tercera respectivamente (la primera y la cuarta posición no podrían ser iguales), así como en las que los dos dígitos estuvieran en la tercera y la cuarta, y la cuarta y la quinta.

¿Sería esto correcto?

Lo veo un poco laborioso.

Muchas gracias.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Te es más cómodo como hacías al principio calcular los que tienen tres o más dígitos repetidos consecutivos.

 Entonces:

 1) Calcula los que tienen exactamente \( 6 \) dígitos consecutivos: obivo.
 2) Calcula los que tienen exactamente \( 5 \) dígitos consecutivos: muy fácil.
 3) Calcula los que tienen exactamente \( 4 \) dígitos consecutivos: fácil.
 4) Calcula los que tienen exactamente tres dígitos consecutivos. Desglosamos:

 4.1) Los que tienen tres dígitos consecutivos a la izquierda del todo: \( 10\cdot 9\cdot 10\cdot 10 \).
 4.2) Los que tienen tres dígitos consecutivos a partir de la posición dos: \( 10\cdot 9\cdot 9\cdot 10  \).
 4.3) Los que tienen tres dígitos consecutivos a partir de la posición tres: \( 10\cdot 10\cdot 9\cdot 9  \).
 4.4) Los que tienen tres dígitos consecutivos a la derecha pero no a la izquierda: \( 10\cdot 9\cdot 10\cdot 10-10\cdot 9 \).

Saludos.

[evoj2]

Hola.

Lo comprendo todo, pero no obtengo los resultado finales.

El conjunto universal tiene \( \left |{U}\right | = 10^6 \).

A partir de aquí (numero igual que en el mensaje anterior):
1) \( 1 \)
2) \( 10\cdot{9}+9\cdot{10} = 2\cdot{9}\cdot{10} \)
3) \( 10\cdot{9}\cdot{9} + 9\cdot{19}\cdot{9} + \cdot{9}\cdot{9}\cdot{10} = 3\cdot{10}\cdot{9}\cdot{9} \)
4) \( 10\cdot{9}\cdot{9}\cdot{9}+\cdot{9}\cdot{10}\cdot{9}\cdot{9}+ 9\cdot{9}\cdot{10}\cdot{9}+9\cdot{9}\cdot{9}\cdot{10} = 4\cdot{10}\cdot{9}\cdot{9}\cdot{9} \).

Restamos la suma de 1), 2), 3), 4) a \( \left |{U}\right | \) y se acabó.

¿Cómo he calculado, por ejemplo, 4) para que difiera de los resultados de tu mensaje anterior?
Yo he considerado los siguientes casos (R designa a un dígito repetido; _ representa uno de los otros dígitos):
R R R _ _ _ :  Elegimos un dígito para R (\( 10 \)). Elegimos un dígito para cada guion (\( 9 \cdot{9}\cdot{9} \)).
_R R R _ _
_ _ R R R _
_ _ _ R R R

¿Qué hago mal?

Muchas gracias de antemano. Tus respuestas siempre me son de gran ayuda.

Un saludo.

[evoj2]

Ah. Ya comprendo.

R R R _ _ _

Elegimos un dígito para R (\( 10 \)). Elegimos uno para el primer _ (\( 9 \)). Elegimos para los otros dos _ (\( 10 \cdot{10} \)).

_ R R R _ _

Elegimos un dígito para _ (\( 10 \)). Elegimos un dígito para R (\( 9 \)). Elegimos un dígito para el segundo _ (\( 9 \)). Elegimos un dígito para el otro _ ((\( 10 \)).

Lo único que sigo sin comprender es la resta que haces en el punto 4.4).

Gracias.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que en 4.1 contamos los que empiezan por tres cifras iguales.

 Si en 4.4 contamos los que terminan en tres cifras iguales (sin preocuparnos por las tres primeras), entonces habría números que hemos contado dos veces entre 4.1 y 4.4. Por ejemplo:
 
\(  222333,777111,888000 \),etcétera

 Por eseo descontamos aquellos que ya contamos en 4.1, es decir, los que empiezna y terminan por tres cifras iguales entre ellas pero diferentes entre amos tripletes. Son \( 10\cdot 9 \) números.

Saludos.

[evoj2]

Muchas gracias.

Ya lo he entendido.

Un saludo.

[skan]

Yo esto no lo veo claro.
¿Me podeis pasar un link o un pdf en el que haya ejemplos explicados?
Por ejemplo ¿Cuántos números con al menos 3 digitos iguales consecutivos hay entre todos los de 8 digitos?

¿Por qué decís que sólo hay un número de 6 dígitos consecutivos?
En realidad habría 10
000000
111111
222222
333333
444444
555555
666666
777777
888888
999999

¿No?

[Luis Fuentes]

Hola

Yo esto no lo veo claro.
¿Me podeis pasar un link o un pdf en el que haya ejemplos explicados?
Por ejemplo ¿Cuántos números con al menos 3 digitos iguales consecutivos hay entre todos los de 8 digitos?

¡Pero aquí mismo tienes un ejemplo explicado!. Basado en él intenta hacer el nuevo ejercicio que planteas y pregunta las dudas concretas que te surjan.

¿Por qué decís que sólo hay un número de 6 dígitos consecutivos?
En realidad habría 10
000000
111111
222222
333333
444444
555555
666666
777777
888888
999999

¿No?

¡Si!. Pero era un errata. Si te fijas hay alguna más:

1) \( \color{red}1\color{black} \)
2) \( 10\cdot{9}+9\cdot{10} = 2\cdot{9}\cdot{10} \)
3) \( 10\cdot{9}\cdot{9} + \color{red}9\cdot{19}\cdot{9}\color{black} + \cdot{9}\cdot{9}\cdot{10} = 3\cdot{10}\cdot{9}\cdot{9} \).

Sería.

1) \( \color{red}10\color{black} \)
2) \( 10\cdot{9}+9\cdot{10} = 2\cdot{9}\cdot{10} \)
3) \( 10\cdot{9}\cdot{9} + \color{red}9\cdot{10}\cdot{9}\color{black} + \cdot{9}\cdot{9}\cdot{10} = 3\cdot{10}\cdot{9}\cdot{9} \).

Saludos.

[skan]

¡Si!. Pero era un errata. Si te fijas hay alguna más:
...

Ok gracias.

Por eseo descontamos aquellos que ya contamos en 4.1, es decir, los que empiezna y terminan por tres cifras iguales entre ellas pero diferentes entre amos tripletes. Son \( 10\cdot 9 \) números.

Pues yo no acabo de ver la forma fácil de ver eso que ya has explicado, como calculas los que ya fueron contados antes. Bueno, creo que sí, pero quizá sólo para los casos fáciles. Estás restando todos los que tengan un grupo al principio (10) x los que tengan un grupo al final excepto el mismo grupo.

Por ejemplo en el caso de números de 10 dígitos, y estás en el paso de ver cuantos de ellos tienen 4 dígitos iguales consecutivos.
En ese caso no sólo tendrías que ver los que has contado antes (con grupos de 5,6,7,8,9 o 10 digitos) sino que además tienes algunos números de 10 dígitos que pueden tener dos grupos de 4 consecutivos, por ejemplo 2222342222.