Hola
Para la parte c), ¿no se cumple que
\( E|X_n|=E|X|=\displaystyle\int_{|x|\leq c}|X|dP+\displaystyle\int_{|x|> c}|X|dP\leq c+1 \) utilizando la integrabilidad uniforme de \( \left\{{X_n}\right\} \) esa esperanza es finita?
Si, pero eso ya estaba probado en (a). Lo que tienes que probar es el recíproco.
En ese caso simplemente:
\( sup_{n\in N}\displaystyle\int_{|x_n|>c}|X_n|dP=\displaystyle\int_{|x|>c}|X|dP \)
Ahora como \( E|X|<\infty \) la integral:
\( \displaystyle\int|X|dP \)
es convergente. Por tanto:
\( \displaystyle\lim_{c \to{+}\infty}{}\displaystyle\int_{|x|\leq c}|X|dP=E|X| \)
y dado \( \epsilon>0 \) existe un \( c \) tal que:
\( \displaystyle\int_{|x|>c}|X|dP=E|X|-\displaystyle\int_{|x|\leq c}|X|dP<\epsilon \)
y tenemos la convergencia uniforme.
Respecto al punto a), creo que es sii.
¡Demonios! ¿te refieres a qué es un si y sólo si?¿te refieres por tanto a qué (b) es cierto?. Te he dado dos razones para pensar que NO es cierto:
i) Los apuntes que enlacé.
ii) Más importante: un ejemplo concreto de que NO es cierto.
Quizá ambas cosas estén erradas: hazmelo ver. ¿Has hecho las cuentas con el ejemplo?.
Saludos.
