Hola.. tengo un problemita con esto.. a ver si alguien me puede ayudar por favor.. es en la parte b), donde no se como comenzar a deducir.. ojalá alguien me pueda ayudar.. les dejo el problema:
Sea \( (\Omega,\mathbb{F},\mathbb{R}) \) espacio de probabilidad y \( X, Y \): \( \Omega \rightarrow \mathbb{R} \), variables aleatorias tales que \( \mathbb{E}\left |{X^2}\right | \),\( \mathbb{E}\left |{Y^2}\right |\le{\infty} \).
Def.: Se define el coeficiente de correlación lineal entre \( X e Y \) como:
\( \rho_{XY}:=\displaystyle\frac{Cov(X,Y)}{Var(X)Var(Y)}. \)
Se probará que \( \left |{\rho_{XY}}\right |\right |{\leq{1}} \). Por simplicidad se supondrá que \( (X,Y) \) es un par de variables aleatorias conjuntamente continuo.
a) Defina \( \bar{X}:= X - \mathbb{E}(X) y \bar{Y}:= Y - \mathbb{E}(Y) \). Para \( t \in {\mathbb{R}} \), calcule \( \mathbb{E}((\bar{X}+t\bar{Y})^2) \) en términos de \( t, Cov(X,Y), Var(X) \;y\; Var(Y). \)
b) Estudiando la función \( f(t)\mapsto\mathbb{E}((\bar{X}+t\bar{Y})^2) \) deduzca el resultado pedido buscado.
Eso, de antemanos gracias.. en la otra parte piden ver que el modulo es 1 ssi existe t tal que \( \bar{X}=t\bar{Y} \), pero eso creo que es rápido.. pero lo dejo para el que quiera verlo..
Saludos.. Nama..
