Hola
Este es un problema viejo que dice así. Supongamos que una persona con determinada cantidad de dinero \( A \) (no se sabe la cantidad) y dos sobres rojo y azul. Divide esa cantidad en tres partes iguales. Tira una moneda si sale cara pone un tercio del dinero en el sobre rojo y los otros dos tercios en el sobre azul, si sale cruz pone dos tercios en el sobre rojo y el resto en el sobre azul.
Se una persona tuviera que elegir entre uno de los sobres (y quedarse con el dinero de adentro)¿tendría preferencia por alguno de los dos sobres?
Se suele argumentar que uno debe elegir el sobre rojo, por el siguiente razonamiento.
a) Supongamos que la persona piensa que el sobre azul tiene la cantidad \( X \) entonces el sobre rojo tendrá la cantidad \( 2X \) o \( \displaystyle\frac{X}{2} \) con igual probabilidad. Por lo tanto el valor esperado en el sobre rojo será \( 2X\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{X}{2}\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{5}{4}X \) que es mayor a \( X \). Por lo tanto, debería elegirse el sobre rojo.
b) Sea \( X \) la cantidad de dinero en el sobre rojo y sea \( Y \) la cantidad de dinero en el sobre azul. Defino la v.a. \( Z=\displaystyle\frac{X}{Y} \) entonces esta variable aleatoria será igual a \( Z=2 \) o \( Z=\displaystyle\frac{1}{2} \) con igual probabilidad, siendo \( E(Z)=\displaystyle\frac{5}{4} \), por lo tanto uno deberá elegir el sobre rojo.
Similares razonamientos podría indicar que debería elegirse el sobre azul.
¿Dónde está el error en los razonamientos?
¿Ayudaría en algo la elección si se supiera la cantidad total de dinero?
Saludos
