[alucard]

Hola tengo en siguiente enunciado:

Se le hurtan las  4 ruedas a un automóvil . Al encontrarlas  se las repone al azar ¿ que valores toma la variable aleatoria

\( \mathbb{X} \)=número de ruedas repuestas en la misma  dispocisión en que estaban ? Halle su esperanza 

El problema lo pude resolver pero no de una manera muy matemática, arme una tabla con todas las posibilidades, me quedo gigante de 24 filas

por 4 columnas, de donde llegue a que

\(
P(\mathbb{X}=4)=\displaystyle\frac{1}{24}\\

P(\mathbb{X}=2)=\displaystyle\frac{6}{24}\\

P(\mathbb{X}=1)=\displaystyle\frac{8}{24}\\

P(\mathbb{X}=0)=\displaystyle\frac{9}{24}\\

E(\mathbb{X})=1 \)

Todos estos resultados los saque por la información que me da la tabla, ¿algún metodo más matematico que me ahorre el hacer la tabla?

desde ya gracias 

[Luis Fuentes]

Hola

 Se llaman desarreglos de \( n \) elementos al número de permutaciones de tales elementos que no dejan fijo ninguno de ellos.

 Puede verse que el número de desarreglos de \( n \) elementos es:

 \( D(n)=n(1-\dfac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{1}{n!}) \)

 (se supone por convención que \( D(0)=1 \))

 Ahora el número de permutaciones de \( n \) elementos que dejan fijo exactamente \( k \) de ellos es:

 \( f(n,k)=\displaystyle\binom{n}{k}D(n-k) \)

 (escogemos las posibilidades para los que quedan fijos y multiplicamos por las permutacioens que mueven todos los demás)

 Entonces en tu caso:

\(  P(X=k)=\dfrac{f(4,k)}{4!} \)

 De todas formas para "tan pocas" permutaciones es tan o más trabajoso usar las fórmulas que hacerlo a mano. 

Saludos.