[algebraico]

Hola es el siguiente ejercicio:
Si tengo cuatro "2" y cuatro "5" cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar? La respuesta es 30, de acuerdo en que 25555 ,con un "2" y cuatro "5"serían cinco números, con un "5" y cuatro "2" serían otros cinco números, 52222,25222,22522,22252,22225, a la inversa con cuatro "5" y un "2", pero con dos "2" y tres "5" cuántos serían, así como con tres "2" y  dos "5", en total la respuesta es 30, pero como salen los 20 números que faltan?? ya sé que 10 de 22555 y otros 10 de 55222, serían variaciones porque el orden importa supongo, gracias de antemano.

[Héctor Manuel]

Creo que el razonamiento está bien. Pero vamos a limpiar un poco:
Tenemos 4 5's y 4 2's. Queremos hacer números de cinco cifras. 
Por casos: un 2 y 4 cincos: De los cinco lugares posibles, escogemos uno en dónde colocar el 2.  Esto se hace de\( \displaystyle\binom{5}{1}=5 \) formas (tal como dijiste).

Con dos 2's y tres 5's:
De los cinco lugares posibles, escogemos dos de ellos para colocar los 2's: \( \displaystyle\binom{5}{2}=10 \)

Con tres 2's y dos 5's:
De los cinco lugares posibles, escogemos tres de ellos para colocar los 2's: \( \displaystyle\binom{5}{3}=10 \)

Con cuatro 2's y un 5:
De los cinco lugares posibles, escogemos cuatro de ellos para colocar los 2's: \( \displaystyle\binom{5}{4}=5 \)

Con eso, tenemos que la respuesta es 30 (que es lo que proponías). Pero de paso, hemos visto cómo se hacen los casos que desconocías.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Otra forma. Sin limitación de doses y cincos, números de cinco cifras dónde sólo aparezcan \( 2 \) y \( 5 \) son:

\(  2^5=32 \)

 (para cada una de las cinco posiciones hay dos opciones)

 Como sólo tenemos cuatro números de cada tipo excluimos los casos en los que todos son doses o todos son cincos:

\(  32-2=30 \)

Saludos.

[algebraico]

Hola, es curioso como un mismo problema, puede ser resuelto de 2 formas distintas  pero correctas, combinaciones en el primero y variaciones con repetición el segundo, gracias, un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si, aunque en realidad el argumento generaliza de manera natural. Las variacioens con repetición de dos elementos pueden expresarse como suma de combinaciones y es lo que se está utilizando:

\(  VR_{2,n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}C_{n,k} \)  (*)

 La idea es que para contar de cuantas formas pueden formarse grupos ordenados de \( n \) elementos escogidos entre dos \( A,B  \) posibles; uno puede contarlo "directamente" (con
variaciones) o ir sumando el número de grupos que contiene una \( A \), dos \( A \)es, tres \( A \)es, etcétera (combinaciones).

 Formalmente la fórmula (*) es el desarrollo por el Binomio de Newton de:

 \( 2^n=(1+1)^n \)

Saludos.