Es un problema de probabilidad condicional. Notamos con P(A|B) a la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurrió B.
P (fecha equivocada | sin fondos) = 1 = P (fecha equivocada y sin fondos) / P (sin fondos) =
P (fecha equivocada y sin fondos) / 0,1
O sea que: P (fecha equivocada y sin fondos) = 0,1
(Uno podría pensar directamente, que la probabilidad de que el cheque tenga fecha equivocada y sea sin fondos es igual a la probabilidad de que sea sin fondos, dado que todos los que son sin fondos tienen fecha equivocada. Es decir, si uno considera el conjunto de cheques sin fondos, intersecarlo con el conjunto de los cheques que tienen fecha equivocada es redundante).
Después:
P (fecha equivocada) = P (fecha equivocada y con fondos) + P (fecha equivocada y sin fondos) =
P (fecha equivocada | con fondos) * P (con fondos) + P (fecha equivocada y sin fondos) =
0,001*0.9 + 0,1 = 0,109
Finalmente:
P (sin fondos | fecha equivocada) = P (sin fondos y fecha equivocada) / P (fecha equivocada) =
0,1 / 0,109 = 0,92 aproximadamente.
No sé si se entiende algo... / significa divsión, y * multiplicación. Es que no quise usar latex porque es prácticamente todo texto. Cualquier cosa preguntá.
Una aclaración: para resolver esto me tomé una licencia sobre el enunciado original. Interpreté el que "el 90% de los clientes tienen fondos", como que "el 90% de los cheques emitidos tienen fondos", y el que "la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0,001" como que "la probabilidad de que un cheque con fondos tenga fecha equivocada es de 0,001". Esto no es del todo acertado en la vida real, a menos que sepamos que todo cliente emite un y sólo un cheque en toda su vida (o si son más, que todos los clientes emiten la misma cantidad de cheques en el mismo momento cada vez y que su estado de crédito nunca varía con el tiempo (o bien que cada uno se funde justo al mismo tiempo que otro se recupera económicamente y viceversa)), pero a efectos del problema interpreto que es lo que se pide suponer, dado que no se nos da ninguna información sobre cuántos cheques emite cada cliente.
