[evoj2]

Hola.

No entiendo muy bien qué es lo que debo hallar en este ejercicio:
Encontrar y resolver la relación de recurrencia de la sucesión \( a_n \) que da el número de sucesiones ternarias (los términos de la sucesión pertenecen al conjunto \( \{0, 1, 2\} \)) de longitud \( n \) que no tienen dos ceros consecutivos.

Agradecería cualquier aclaración.

Un saludo.

[Héctor Manuel]

Se refiere a que fijado \( n \), \( a_n \) nos dice cuántos números de \( n \) no contienen dos ceros consecutivos, y todas las demás cifras son 1 ó 2.

Por ejemplo, para \( n=2 \), tenemos la lista \( \left\{{01,10,02,20,11,12,21,22}\right\} \). Por tanto \( a_2=8 \)

Saludos

[evoj2]

Ah.

Muchas gracias.

Ahora lo comprendo.

Lo que no sé es cómo hallar un término general para la relación.

Me explico:
Está claro que \( a_0 = 0,\; a_1 = 3 \) y \( a_2 = 8 \).

Después, utilizando técnicas de recuento, he llegado a la conclusión de que \( a_3 = 22 \) y que \( a_4 = 64 \).

Sin embargo, no encuentro ningún término general para llegar a estas conclusiones.

Y, por ende, no puedo encontrar qué relación hay entre \( a_n \) y sus anteriores.

¿Pueden orientarme?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que toda sucesión de \( n \) términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) sin ceros adyacentes se construye tomando una sucesión de \( n-1 \) términos y poniendo delante \( 1 \) ó \( 2 \), o cogiendo una de \( n-2 \) y poniendo delante \( 01 \) ó \( 02 \):

\(  a_n=2(a_{n-1}+\color{red}a_{n-2}\color{black}) \)

Saludos.

CORREGIDO (gracias Braguildur)

[evoj2]

Hola.

No me queda claro cómo construyes ese \( a_n \).

Además, no se cumple, usando esa relación, que \( a_3 = 22 \).

¿Qué ocurre?

Un saludo.

[EnRlquE]

Hola.

 Sobre tus anteriores resultados, ¿seguro que has contado bien?, a mi me parece que \( a_{4}=60 \). Y sobre lo que escribió el _manco, creo que lo que en realidad quiso escribir es que para \( n>2 \) se cumple que \( a_{n}=2(a_{n-1}+a_{n-2}) \).

 Para darte cuenta de esto, observa que para \( n>2 \) podemos repartir a las sucesiones de \( n \)  términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) y sin ceros adyacentes en cuatro conjuntos mutuamente excluyentes.

 \( (1) \) Las sucesiones que empiezan en \( 1 \),

 \( (2) \) Las sucesiones que empiezan en \( 2 \),

 \( (3) \) Las sucesiones que empiezan en \( 01 \) y finalmente

 \( (4) \) Las sucesiones que empiezan en \( 02 \).

 Ahora intenta ver cuántos elementos tiene cada uno de estos conjuntos. Cualquier duda, pregunta.

Saludos.

[evoj2]

Hola.

Sigo sin verlo.

Si \( a_{n-1} \) empieza por \( 1 \), puedo añadir delante \( 0 \), \( 1 \) o \( 2 \): 3 posibilidades.
Si \( a_{n-1} \) empieza por \( 2 \), puedo añadir delante \( 0 \), \( 1 \) o \( 2 \): 3 posibilidades.
Si \( a_{n-1} \) empieza por \( 01 \), puedo añadir delante \( 1 \) o \( 2 \): 2 posibilidades.
Si \( a_{n-1} \) empieza por \( 02 \), puedo añadir delante \( 1 \) o \( 2 \): 2 posibilidades.

No veo qué relación hay entre eso y expresión escrita por el_manco.

Agradezco cualquier ayuda.

Un saludo.

[EnRlquE]

Hola.

 En realidad \( a_{n} \) es la cantidad de sucesiones de \( n \) términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) y sin ceros adyacentes, no es una de estas sucesiones, así que no tiene mucho sentido decir que \( a_{n} \) o \( a_{n-1} \) empieza por \( 1,\;2 \), etc.

 Lo que ocurre es que si tenemos una sucesión de \( n \) términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) y sin ceros adyacentes, en cada una de las posibilidades que mencioné antes

 \( (1) \) Si la sucesión empieza en \( 1 \), los \( n-1 \) términos siguientes pueden ser cualquier sucesión de \( \color{blue}n-1 \) términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) y sin ceros adyacentes, luego la cantidad de sucesiones de \( n \) términos que empiezan en \( 1 \) es \( a_{n-1} \).

 \( (2) \) Similarmente, si la sucesión empieza en \( 2 \), los \( n-1 \) términos siguientes pueden ser cualquier sucesión de \( \color{blue}n-1 \) términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) y sin ceros adyacentes, luego la cantidad de sucesiones de \( n \) términos que empiezan en \( 2 \) también es \( a_{n-1} \).

 \( (3) \) Si la sucesión empieza en \( 01 \), los \( n-2 \) términos siguientes pueden ser cualquier sucesión de \( \color{blue}n-2 \) términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) y sin ceros adyacentes, luego la cantidad de sucesiones de \( n \) términos que empiezan en \( 01 \) es \( a_{n-2} \).

 \( (4) \) Y finalmente, si la sucesión empieza en \( 02 \), los \( n-2 \) términos siguientes pueden ser cualquier sucesión de \( \color{blue}n-2 \) términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) y sin ceros adyacentes, luego la cantidad de sucesiones de \( n \) términos que empiezan en \( 02 \) también es \( a_{n-2} \).

 Como cualquier sucesión de \( n \) términos escogidos en \( \{0,1,2\} \) y sin ceros adyacentes esta en uno de los anteriores casos y los casos son mutuamente excluyentes, concluimos que \( a_{n}=a_{n-1}+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-2}=2(a_{n-1}+a_{n-2}) \).

Saludos.