[luchoferronir]

Demostrar que la suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos nunca puede ser un cuadrado.

[luchoferronir]

Yo hice ésto:

\( x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=k^2 \)

Descomponiendo:

\( x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4=k^2 \)

Sumando:

\( 3x^2+6x+5=k^2 \)

Pero vemos que el miembro de la izquierda es congruente con 2 módulo 3. Y como no existe cuadrado perfecto que sea congruente con dos módulo 3, no existe una solución.

Q.E.D.

Creo que está bien, si alguien me corrige, les agradecería MUCHÍSIMO.

Saludos

[cambio]

Hola.

Esta bien lo que hiciste pero porque mejor no demuestras que no existe cuadrado perfecto que sea congruente con dos módulo tres( O nose si lo ves tan evidente o lo tienes de antemano probado).

Hasta pronto.

[Teón]

Hola.
Lo que has hecho es correcto.
Por otro lado.

\(
\begin{eqnarray}
1^2 &\equiv& 1\mod 3\\
2^2 &\equiv& 1\mod 3\\
3^2 &\equiv& 0\mod 3\\
\end{eqnarray}
 \)

Como se ve, 2 no es residuo cuadrático módulo 3.
Saludos.

[luchoferronir]

Gracias, Teón.

Podrías ayudarme con un problema que puse en el Foro de Problemas de Olimpiadas?

Me tiene muy a maltraer 

[Hant.a]

Por el algoritmo de la división tenemos que todo número natural es de la forma \( 3q+r \), donde \( r=0,1 \) o \( 2 \). Si elevamos al cuadrado dicho número, es decir, sea \( (3q+r)^2 \), esto es \( (3q+r)^2=(3q)^2+2(3q)r+r^2=3(3q^2)+3(2qr)+r^2=3(3q^2+2qr)+r^2 \). Recuerde que r tiene 3 posibles valores, los cuales son \( 0,1 \) o \( 2 \). Si \( r=0 \), entonces \( r^2=0 \) y, por tanto, es divisible por \( 3 \) lo que es congruente con \( 0 \) módulo \( 3 \). Si \( r=1 \), entonces \( r^2=1 \), así \( (3q+1)^2 \) deja residuo \( 1 \), lo que es congruente con \( 1 \) módulo \( 3 \). Al fin, si \( r=2 \), entonces \( r^2=4=3+1 \), así \( 3(3q^2+2qr)+ (3+1) = 3(3q^2+2qr+1) + 1 \), es decir, es congruente con \( 1 \) módulo \( 3 \).

Por tanto, todo cuadrado al ser dividido por \( 3 \) deja residuo \( 0 \) o \( 1 \), o lo que es, no existe cuadrado que deje residuo \( 2 \).
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Yo hice ésto:

\( x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=k^2 \)

Descomponiendo:

\( x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4=k^2 \)

Sumando:

\( 3x^2+6x+5=k^2 \)

Pero vemos que el miembro de la izquierda es congruente con 2 módulo 3. Y como no existe cuadrado perfecto que sea congruente con dos módulo 3, no existe una solución.

Está bien.

Saludos.

P.D. ¡Ah! Es un problema "antiguo". No me di cuenta.