Hola.
Me preguntan de cuántas maneras es posible colorear cada vértice \( a_i \) de la figura, con \( n \) colores, de forma que 2 vértices unidos por una línea deban tener colores diferentes.
La figura es esta:
\( a_1 \) --- \( a_2 \)
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| / |
| / |
\( a_3 \) --- \( a_4 \)
Yo lo he resuelto de manera sencilla por el principio del producto, así:
1) Colocar \( a_1 \): \( n \)
2) Colocar \( a_2 \): \( n-1 \)
3) Colocar \( a_3 \): \( n-2 \)
4) Colocar \( a_4 \): \( n-2 \)
Resultado: \( n(n-1)(n-2)^2 \).
Sin embargo, me piden que lo resuelva aplicando el principio de inclusión-exclusión y mediante funciones generatrices.
¿Cómo puedo plantearlo?
Muchas gracias.
Un saludo.
PD: Lamento haber dibujado el diagrama superior, pero ignoraba cómo realizar grafos con LaTeX.
