[josepapaiii]

Hola, piden demostrar:

\( a=\frac{ \sigma_x_y}{ \sigma_x^2} \) y \( b=\bar{y}-\frac{ \sigma_x_y}{ \sigma_x^2}\bar{x} \)

Mediante el siguiente sistema:
\( -2\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^p{}f_i_j(y_i-(ax_i+b))x_i=0 \)
\( -2\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^p{}f_i_j(y_i-(ax_i+b))=0 \)

De ahí obtenemos a y b para obtener la recta de regresión.

Un saludo a todo el foro.

[Luis Fuentes]

Hola

 En principio puedes inspirarte en este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,31167.0.html

Saludos.

[josepapaiii]

Gracias el_manco, ¿no hay una manera más sencilla?, es que es para una optativa, y me piden cosas como:

"¿qué ocurre si el coeficiente de correlación es 0?"
"¿una variable puede ser dependiente con covarianza 0?"

Cosas muy elementales y veo que la demostración son berenjenales que 2 cosas: 1.Me da a entender aún lo muchísimo que me queda por aprender (en términos coloquiales, soy un paquete, intentamos mejorar día a día)y 2. Que es una demostración que no sé si será para esta asignatura.

Un saludo a todo el foro

[josepapaiii]

He vuelto a leer la práctica y expone:

Demostrar, resolviendo el sistema que a es tal y b es tal.

No sé si eso cambia la resolución.

[Luis Fuentes]

Hola

 Creo que te has dejado asustar por la palafernaria del post que te enlacé.

 A partir de la respuesta #11 la cosa se reduce a resolver un sistema de ecuaciones análogo al tuyo.

 Lo que aquí son \( a,b,x_i,y_i \) allí son respectivamente \( m,c,x_i,y_i \); allí los puntos son equiprobables por los que las frecuencias relativas \( f_i \) valen \( 1/n \).

 Entonces con pequeñas diferencias es todo muy similar; en el fondo resolver el sistema es sólo hacer cuentas y lo allí expuesto debiera inspirarte para, al menos, intentar atacar tu problema.

 Insisto en que le eches un nuevo vistazo y trates de atacarlo.

Saludos.

P.D. No estoy seguro de en tus fórmulas que papel juega el índice \( j \) y la letra \( p \). ¿Qué están denotando?.

[josepapaiii]

p y k son n, pero en el ejercicio viene denotado por p y k.

Voy a intentarlo, muchísimas gracias el_manco.

Un saludo a todo el foro.

[josepapaiii]

Hola el_manco, llevo desde ayer con el ejercicio, no consigo resolverlo, multiplico arriba y abajo por \( x_i \), lo divido igualmente, trato de quitar el -2, pero es que no llego a entender las sumatorias, no sé trabajar con ellas. a ver si puedes echarme una mano sin llegar a decirme la solución, seguro que será obvia para ti, pero estoy totalmente atrancado.

Miro y miro el hilo que me has pasado, aún así, ni chila.

Un saludo a todo el foro.

[josepapaiii]

Sigo mirando, lo que me tiene muy perdido es por qué tengo en mi ejercicio 2 sumatorias y en el ejercicio del hilo sólo hay una:

\( -2\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^p{}f_i_j(y_i-(ax_i+b))x_i=0 \)
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{}a_i(ma_i-n-b_i)=0 \)

La explicación de que hay 2 sumatorias y en el otro ejercicio será obvia, pero no la veo.

Un saludo a todo el foro.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Sabes lo que representan \( f_{ij} \)? Supongo que es la frecuencia relativa del par \( (x_i,y_j). \)

 Las fórmulas entonces tienen un errata. Debieran de ser:

\( -2\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^p{}f_i_j(\color{red}y_j\color{black}-(ax_i+b))x_i=0 \)

\( -2\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^p{}f_i_j(\color{red}y_j\color{black}-(ax_i+b))=0 \)

 Entonces es claro que podemos dividr cada expresión por \( -2 \).  Sacando factor común a \( a,b \) en lo sumatorios y quitando parénteis quedan:

\( \left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}y_jx_i\right)-a\left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}x_i^2\right)-b\left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}x_i\right)=0 \)

\( \left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}y_j\right)-a\left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}x_i\right)-b\left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}\right)=0 \)

 Ahora ten en cuenta que:

\( \left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}y_jx_i\right)=E(XY) \)

\( \left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}x_i^2\right)=E(X^2) \)

\( \left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}x_i\right)=E(X) \)

\( \left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}y_j\right)=E(Y) \)

\( \left(\sum_{i=1}^k{}\sum_{j=1}^pf_{ij}\right)=1 \)

donde \( E \) es el operador esperanza. Entonces tus ecuaciones quedan:

\(  E(XY)-aE(X^2)-bE(X)=0 \)
\(  E(Y)-aE(X)-b=0 \)

 Ahora es un sistema elemental de dos ecuaciones y dos incógnitas.

 Para finalizar recuerda que:

\(  \sigma_X^2=E(X^2)-E(X)^2 \)

\(  \sigma_{XY}=E(XY)-E(X)E(Y) \)

\(  \overline{Y}=E(Y) \)

\(  \overline{X}=E(X) \)

Saludos.

[josepapaiii]

Una vez visto he visto donde cometía el error, he aprendido bastante de esto.

Muchísimas gracias el_manco