[lauri_mat]

Hola, me he atascado en un ejercicio que dice:

Sea \( g: S\longrightarrow{}\mathbb{R} \) una funcion convaca y se E= \( \left\{{X\in{}S:g(X)\neq{}0}\right\} \). Entonces \( f:E\rightarrow{}\mathbb{R} \), \( f(X)=\displaystyle\frac{1}{g(X)} \) es una funcion convexa.

Yo he empezado: \( 0\leq{}a\leq{}1 \)
\( f(aX+(1-a)Y)=\displaystyle\frac{1}{g(aX+(1-a)Y)}\leq{}\displaystyle\frac{1}{ag(X)+(1-a)g(Y)} \)
 pero a partir de aqui no se como llegar a que lo anterior es \( \leq{}\displaystyle\frac{a}{g(X)}+\displaystyle\frac{1-a}{g(Y)} \)

Si alguien tiene una idea lo agradeceria!!!

[*Rafa*]

Hola.

¿Estas segura de que lo que te piden es cierto?

Esque, si no ando muy mal, para que una función sea convexa (o cóncava), el dominio de definición de tu función ha de ser un conjunto convexo, a no ser que haya otra forma de definirla salvando este problemilla.

Por ejemplo, g\( :\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), g\( :(x)=x \) (concava y convexa). El conjunto \( E \) sería \( E=\mathbb{R}-\{0\} \) que no es un conjunto convexo. ¿Ves el problema que puede haber si tratamos de definir algún tipo de función concava/convexa sobre \( E \) ? Pero ya digo, que a lo mejor me estoy saltando algo.

Si aclaramos eso tal vez pueda ayudar un poco más.

Saludos.

[lauri_mat]

Hola, si que entiendo lo que dices, pero en teoria das por supuesto que esas cosas se cumplen. El enunciado pide demostrar, y el profesor ha dicho que es cierto, el problema es que dictando enunciados es algo impreciso, y tiende a olvidar hipotesis...

Por tanto S es el conjunto convexo, y E son todos los elementos de S tales que \( g(X)\neq{}0 \), no es \( \mathbb{R}-\left\{{0}\right\} \)... No se si me explico...

Muchas gracias!

[*Rafa*]

Hola.

Creo que no me explico bien. En el ejemplo que puse tendría que haber llamado a la función por g para no confundir (corregido arriba).

Lo que quiero decir:
Tomemos el ejemplo \( g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( g(x)=x \). \( g \) es concava en su dominio, \( \mathbb{R} \).

Ahora, tal como defines el conjunto \( E \), en este ejemplo \( E \) sería \( E=\{X\in{\mathbb{R}}:g(x)=x\neq{0}\}=\mathbb{R}-\{0\} \).

Y lo que comentaba, es que no tiene sentido decir que \( f:\mathbb{R}-\{0\}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=1/g(x)=1/x \) es una función convexa, porque su dominio no es convexo.

Tal vez tu profesor quiso escribir \( E=\{x\in{S}:g(x)>0\} \).

Saludos.

[*Rafa*]

Si fuese E como digo arriba, habría que comprobar que E es convexo (qué pesado soy ) y la prueba se reduciría a hacer lo que habías escrito al principio.

Para demostrar que \( \displaystyle\frac{1}{ag(X)+(1-a)g(Y)}\leq{}\displaystyle\frac{a}{g(X)}+\displaystyle\frac{1-a}{g(Y)} \), simplemente estudia el signo de \( \displaystyle\frac{1}{ag(X)+(1-a)g(Y)}-\displaystyle\frac{a}{g(X)}-\displaystyle\frac{1-a}{g(Y)} \) (es fácil, teniendo en cuenta que g(x), g(y)>0).

Saludos.

[lauri_mat]

Creo que ya se lo que quieres decir!!!

Voy a reflexionarlo!!jejeje, y lo aplico al ejercicio!

Muchas graciasss!

[Luis Fuentes]

Hola

 El resultado de hecho es falso.

 La función \( g:R\longrightarrow{}R, f(x)=-x^2-1 \) es cóncava pero \( f(x)=1/g(x) \) no es convexa.

 Si estamos hablando de funciones de variable real, si es cierto que si \( g:R\longrightarrow{}R \) es cóncava, entonces \( f(x)=1/g(x) \) es convexa en cada componente conexa del conjunto:

 \( \{x\in R|g(x)>0\} \)

Saludos.