Autor Tema: Dictado del Curso de Análisis en R^n (basado en libro de Elon Lages Lima)

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01 Febrero, 2010, 04:56 am
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enloalto

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Lo que inicialmente había sido un proyecto para resolver ejercicios de un libro, ahora se ha transformado en un curso de análisis, basado en el libro de Elon Lages Lima.

Responsables del curso: enloalto.

Prerrequisitos: Cálculo de una variable y álgebra lineal (ver más adelante en "Introducción").

Exámenes: Habrá algún examen, aún no se ha determinado con exactitud.

Para participar en el curso es necesario inscribirse, para ello responder al hilo de "Organización".

Enlace de organización del curso: Organización del curso

Para comentarios, dudas o sugerencias, clic en este enlace: Consultas, comentarios, dudas y sugerencias

En caso de comentarios generales, o dudas, se ruega no responder directamente a este hilo, sino en los enlaces indicados arriba.



Este es el mensaje original de Francis20:

Cita de: Francis20
Hola a todos, voy a poner los ejercicios del libro "Curso de Analise" de Elon Lages Lima, puesto que varias universidades trabajan con él y sería muy bueno para todos, empezaré desde el Capítulo II y trataré de poner y resolver todos los que se pueda. Espero que entre todos podamos hacer su solucionario. Bueno empiezo,

Por favor, para tener un orden y hacerlo muy bonito, les pediría a los interesados que se inscriban en el link de organización con frases como "me inscribo", "me apunto" o similares, y pondré aca los nombres. Muchas gracias por su comprensión.



Ahora se ha agregado teoría para mejor sostén de los ejercicios, y conformar un curso de análisis de en \( \mathbb{R}^n \).

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Hola argentinator y francis20, bueno, voy a tratar de hacerlo lo más ordenadito posible, puesto que como ya estoy en el 10mo ciclo(último de la carrera de matemática) este ciclo que empieza en abril es probable que ayude a un profesor que dicte el curso.

Bueno escribiré aca y ustedes lo ordenan por favor. Empiezo con una pequeña introducción y objetivos del curso.

Introducción

Este curso de análsis se trata de las funciones de varias variables reales. Como es natural, su lectura presupone una cierta familiaridad con el estudio de funciones de una variable para los cuales cualquier libro de Introducción al Análisis Matemático como PRINCIPIOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO de WALTER RUDIN, CALCULUS de SPIVAK, tambien el de Bartle, entre otros. Además de eso, voy asumir conocido algunas nociones básicas de Álgebra Lineal(espacios vectoriales, transformaciones lineales, matriz asociada a una matriz y producto interno y unas cosillas más), aunque si es necesario podemos ponerlo en Spoiler.

Las principales diferencias entre el análisis de una y de varias variables tiene sus orígenes en dos hechos:
  • La topología de los subconjuntos de \( \mathbb{R}^n \) es mucho más complicada cuando \( n>1 \). Por ejemplo, los únicos subconjuntos conexos de la recta real son los intervales, más, es imposible clasificar topológicamente los subconjunos de \( \mathbb{R}^n \) si \( n>1 \).
  • El Álgebra Lineal que en dimensión 1 no es necesaria, pues las matrices \( 1\times{1} \) y las transformaciones lineales de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \) se confunden con números reales, es indispensable para formular los conceptos y demostrar los teoremas del Cálculo Diferencial de las funciones con más de una variable.

La infinita variedad de tipos topológicos de subconjuntos del espacio \( \mathbb{R}^n \), que servirán de dominios para las funciones que estudiaremos, da a estas notas un contenido bastante geométrico, lo que nos lleva a dedicar todo el primer capítulo a la topología del espacio Euclidiano.  Los conceptos que se presentarán y el punto de vista adoptado se situan en el contexto de la Topología General (esto servirá como un adelanto a lo que estudiarán en el curso de TOPOLOGÍA que está dictando argentinator) ;) ;)

En el segundo capítulo estudiaremos las funciones vectoriales de variable real, llamadas caminos en el Espacio Euclidiano, veremos sus propiedades, como diferenciabilidad, rectificabilidad, integración, curvatura, torsión, etc.

En el tercer y último capítulo de este primer curso de análisis en \( \mathbb{R}^n \) estudiaremos las propiedades fundamentales de las funciones reales de varias variables, tales como derivadas parciales, direccionales, teorema de la funcion implícta y unos más.

El objetivo de las notas es darle estudiante las nociones básicas de la topología en \( \mathbb{R}^n \) que lo familiarizará con el estudio de espacios métricos y la topología general, la parte de análisis de las aplicaciones diferenciables dará nociones para un curso posterior de variedades diferenciables.

Espero que pueda ayudar con algo a muchos compañeros del foro, y les pediría toda su ayuda y comprensión si se me presenta algún problema con alguna definición o prueba de un resultado importante, trataré de darlo lo mejor de mí, con mucho empeño y ganas de que todos podamos aprender.

También me gustaría que los interesados se inscriban.
Muchas gracias.

Sin más preámbulos, empiezo con el contenido

CONTENIDO

CAPÍTULO 1: TOPOLOGÍA DEL ESPACIO EUCLIDIANO
  • 1.1   El espacio vectorial \( \mathbb{R}^n \)
  • 1.2   Producto interno y norma
  • 1.3   Bolas y conjuntos acotados
  • 1.4   Sucesiones en el espacio euclidiano
  • 1.5   Puntos de acumulación
  • 1.6   Aplicaciones continuas
  • 1.7   Homeomorfismos
  • 1.8   Límites
  • 1.9   Conjuntos abiertos
  • 1.10 Conjuntos cerrados
  • 1.11 Conjuntos compactos
  • 1.12 Distancia entre dos conjuntos; diámetro
  • 1.13 Conexidad
  • 1.14 La norma de una transformación lineal

CAPÍTULO 2: CAMINOS EN EL ESPACIO EUCLIDIANO
  • 2.1 Caminos diferenciables
  • 2.2 Integral de un camino
  • 2.3 Los teoremas clásicos del cálculo
  • 2.4 Caminos rectificables
  • 2.5 La longitud de arco como parámetro
  • 2.6 Curvatura y torsión
  • 2.7 La función ángulo

CAPÍTULO 3: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
  • 3.1   Derivadas parciales
  • 3.2   Derivadas direccionales
  • 3.3   Funciones diferenciables
  • 3.4   La diferencial de una función
  • 3.5   El gradiente de una función diferenciable
  • 3.6   La Regla de Leibnitz
  • 3.7   El Teorema de Schawrz
  • 3.8   La Fórmula de Taylor; puntos críticos
  • 3.9   El Teorema de la Función Implícita
  • 3.10 Multiplicadores de Lagrange
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

01 Febrero, 2010, 05:01 am
Respuesta #1

enloalto

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CAPÍTULO 1

TOPOLOGÍA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

1.1 El espacio vectorial \( \color{red}\mathbb{R}^n \)


Definicíon 1.1.1. Sea \( n \) un número natural. El espacio euclidiano n-dimensional es el producto de \( n \) factores iguales a \( \mathbb{R} \):
\( \mathbb{R}^n=\underbrace{\mathbb{R}\times{\ldots\times{\mathbb{R}}}}_{n factores} \).

Los puntos de \( \mathbb{R}^n \) son pues, todas las \( n \)-uplas \( x=(x_1,...,x_n) \) cuyas coordenadas \( x_1,...,x_n \) son números reales. Dados \( x=(x_1,...,x_n) \) y \( y=(y_1,...,y_n) \) en \( \mathbb{R}^n \) se tiene \( x=y \) si, y solamente si, \( x_1=y_1,...,x_n=y_n \).

Observaciones 1.1.1.

(1) \( \mathbb{R}^1=\mathbb{R} \) es la recta, esto es, el conjunto de los números reales.

(2) \( \mathbb{R}^2 \) es el plano, o sea, el conjunto de los pares ordenados \( z=(x,y) \) de número reales.

(3) \( \mathbb{R}^3 \) es el espacio euclidiano tri-dimensional de la geometría analítica, cuyos puntos son ternas ordenadas \( p=(x,y,z) \) de números reales.

(4) A veces también es conveniente considerar \( \mathbb{R}^0=\left\{{\theta}\right\} \), el espacio de dimensión cero, formado por el único punto \( \theta \).

Definición 1.1.2. Dados \( x=(x_1,...,x_n),y=(y_1,...,y_n) \) en \( \mathbb{R}^n \) y un número real \( \alpha \), definimos la suma \( x+y \) y el producto \( \alpha\cdot{x} \) como:
\( x+y=(x_1+y_1,...,x_n+y_n) \),
\( \alpha\cdot{x}=(\alpha x_1,...,\alpha x_n). \)

Es importante resaltar en la definición del producto que \( \alpha \) es un número real, y \( \alpha\cdot{x} \) es un vector cuyas coordenadas son los numeros reales \( \alpha x_i \), con \( i=1,...,n \) lo que da sentido al producto. Utilizaremos el punto \( \cdot{} \) para denotar cuando se multiplica un número real con un vector, cuando no haya confusión escribiremos \( \alpha x \) en lugar de \( \alpha\cdot{x} \).

Estas operaciones hacen de \( \mathbb{R}^n \) un espacio vectorial de dimensión \( n \) sobre el cuerpo de los números reales, en el cual el elemento neutro para la adición es \( \theta=(0,...,0) \) y el simétrico de \( x=(x_1,...,x_n) \) es \( -x=(-x_1,...,-x_n) \).

Observaciones 1.1.2.

(1) Los elementos de \( \mathbb{R}^n \) serán a veces llamados puntos o vectores. Geométricamente, considerar \( x\in{\mathbb{R}^n} \) como vector significa imaginar la recta que tiene origen en el punto \( \theta=(0,...,0) \) y extremo final en \( x \).

(2) En el espacio vectorial \( \mathbb{R}^n \), se destaca la base canónica o base natural \( (e_1,...,e_n) \), formada por lo vectores \( e_1=(1,0,...,0) \), \( e-2=(0,1,0,...,0) \), ..., \( e_n=(0,0,...,1) \), que tiene una coordenada igual a 1 y las otras son cero.

Dado \( x=(x_1,...,x_n)\in{\mathbb{R}^n} \), \( x \) es una combinación lineal de elementos de la base canónica \( (e_1,...,e_n) \), es decir,
\( x=x\cdot{e_1}+\ldots+x_n\cdot{e_n} \).

Recordando un poco la teoría del álgebra lineal, la base canónica permite establecer una biyección natural entre el conjunto \( L(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n) \) de las aplicaciones (o transformaciones) lineales \( T:\mathbb{R}^m\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) y el conjunto \( \mathbb{R}^{n\times{m}} \) de las matrices reales \( (a_{ij}) \) con \( n \) filas y \( m \) columnas. La matriz \( (a_{ij}) \) que corresponde a la transformación lineal \( T \) es definida por las igualdades
\( T(e_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{a_{ij}e_i} \), (\( j=1,...,m \)).                          (*)

Así, la matriz \( A_T=(a_{ij}) \) de la transformación lineal \( T:\mathbb{R}^m\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) tiene como columnas los \( m \) vectores \( A(e_j)=(a_{1j},...,a_{nj})\in{\mathbb{R}^n} \) que son las imágenes de los vectores de la base canónica de \( \mathbb{R}^n \) bajo la transformación \( T \). Recíprocamente, dada una matriz \( A=(a_{ij}) \) con \( n \) filas y \( m \) columnas, las igualdades (*) definen los valores de una transformación lineal \( T_A:\mathbb{R}^m\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) en los \( m \) vectores de la base canónica. Esto es suficiente para definir el valor de \( T \) en cualquier vector \( x=(x_1,...,x_m)\in{\mathbb{R}^m} \), teniéndose:

\( T(x)=x_1\cdot{T(e_1)+\ldots+x_m\cdot{T(e_m)}}. \)

Cada matriz real \( n\times{m} \) puede ser considerada como un punto del espacio euclidiano \( \mathbb{R^{nm}} \); basta escribir sus columnas, una después de otra en una línea. Así, siempre que sea conveniente, podemos sustituir el conjunto \( L(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n) \) de las aplicaciones lineales de \( \mathbb{R}^m \) en \( \mathbb{R}^n \), ahora por el conjunto \( \mathbb{R}^{n\times{m}} \) de las matrices reales \( (a_{ij}) \) con \( n \) filas y \( m \) columnas, y este a su vez por el espacio euclidiano \( nm- \)dimensional \( \mathbb{R}^{nm} \)

Definición 1.1.3. Sea \( T\in{L(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)} \), cuando \( n=1 \), es decir, el espacio de llegada es la recta, la transformación lineal se llama funcional lineal y es común denotarlo por la letra \( f \), es decir, \( f:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R} \).

Observaciones 1.1.3.

(1) Dado el funcional lineal \( f \), sean \( a_1=f(e_1) \), ..., \( a_m=f(e_m) \) los valores que él asume en los vectores de la base canónica. Para cualquier \( x=(x_1,...,x_m)\in{\mathbb{R}^m} \), tenemos \( x=\displaystyle\sum_{i=1}^m{x_ie_i} \), luego \( f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^m{x_if(e_i)} \), o sea:
\( f(x)=a_1x_1+\ldots{+a_mx_m} \).

Note que \( (a_1,...,a_m) \) es la matriz \( 1\times{m} \) de la aplicación lineal  \( f \).

(2) En particular, dado el número natural \( i\in{[1,m]} \), sea \( \pi_i:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R} \) el funcional que se anula en todos los vectores de la base canónica excepto en uno, a saber, en el vector \( e_i \) para el cual se tiene: \( \pi_i(e_i)=1 \). Entonces \( \pi_i (x)=x_i \) es la i-ésima coordenada del punto \( x\in{\mathbb{R}^m} \). Así, \( \pi_i \) es la i-ésima proyección del producto cartesiano \( \mathbb{R}^m \) en su factor \( \mathbb{R} \). Los funcionales  lineales \( \pi_1,\pi_2, ..., \pi_m \) constituyen una base del espacio vectorial \( L(\mathbb{R}^m,\mathbb{R})=(\mathbb{R}^m)^* \), llamada la base dual de la base canónica de \( \mathbb{R}^m \).

(3) Una aplicación \( \varphi:\mathbb{R}^m\times{\mathbb{R}^n}\rightarrow{\mathbb{R}^p} \) se llama bilineal cuando es lineal separadamente en relación a cada una de sus variables. Esto significa que se tiene:
\( \varphi(x+x',y)=\varphi(x,y)+\varphi(x',y) \),
\( \varphi(x,y+y')=\varphi(x,y)+\varphi(x,y') \),
\( \varphi(\alpha x,y)=\alpha\varphi(x,y) \),
\( \varphi(x,\alpha y)=\alpha\varphi(x,y) \),

para cualesquiera que sean \( x,x'\in{\mathbb{R}^m} \), \( y,y'\in{\mathbb{R}^n} \) y \( \alpha\in{\mathbb{R}} \). Si \( \varphi \) es bilineal entonces, para \( x=(x_1,...,x_m) \) y \( y=(y_1,...,y_n) \) arbitrarios, vale:
\( \varphi(x,y)=\varphi\left({\displaystyle\sum_{i=1}^m{x_ie_i},\displaystyle\sum_{j=1}^n{y_je_j}}\right)=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{m,n}{x_iy_j\varphi(e_i,e_j)} \),
de modo que \( \varphi \) queda enteramente determinada por los \( mn \) valores \( \varphi(e_i,e_j)\in{\mathbb{R}^p} \) que asume en los pares ordenados básicos \( (e_i,e_j) \). Note que \( \varphi(x,0)=\varphi(0,y)=0 \) para cualesquiera que sean \( x\in{\mathbb{R}^m} \), e \( y\in{\mathbb{R}^n} \).

FIN DE LA PRIMERA SECCIÓN.
Spoiler
Ejercicios 1.1.


1.1. Muestre que las operaciones usuales de suma de aplicaciones y producto de una aplicación por un número real hacen del conjunto \( L(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n) \) un espacio vectorial. Análogamente para el conjunto \( \mathbb{R}^{n\times{m}} \). Muestre que las biyecciones establecidas en las clases entre estos conjuntos y \( \mathbb{R}^{nm} \) so isomorfismos entre espacios vectoriales. Exiba explícitamente bases para los espacios \( L(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n) \) y \( \mathbb{R}^{n\times{m}} \).

1.2. Sea \( E=L(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^p) \) el conjunto de las aplicaciones bilineales \( \ro:\mathbb{R}^m\times{\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}^p}} \). Muestre que las operaciones usuales hacen de E un espacio vectorial de dimensión \( mnp \).

1.3. Sea \( E \) el espacio vectorial de las funciones bilineales \( \varphi:\mathbb{R}^n\times{\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}}} \). Establezca un isomorfismo entre E y el espacio vectorial \( \mathbb{R}^{n\times{n}} \) de las matrices reales \( n\times{n} \). Defina función bilineal simétrica y muestre que tal isomorfismo lleva funciones bilineales simétricas en matrices simétricas. Muestre que la matriz correspondiente a la función bilineal \( \varphi \) es invertible si, y solamente si, \( \varphi \) es no degenerada, esto es, que si \( \varphi(x,y)=\theta \) para todo \( y\in{\mathbb{R}^n} \) entonces \( x=\theta \).

1.4. Sea \( E\subseteq{\mathbb{R}^n} \) un subespacio vectorial de dimensión \( m \). Pruebe que existe \( n-m \) funcionales lineales \( f_1,...,f_{n-m}:\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}} \) tales que \( E=\left\{{x\in{\mathbb{R}^n}:f_1(x)=f_2(x)=...=f_{n-m}(x)=0}\right\} \). Concluya que existe una aplicación lineal sobreyectiva \( A:\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}^{n-m}} \) tal que \( E=A^{-1}(0) \).
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Llovizna queriendo ser lluvia de verano

01 Febrero, 2010, 03:16 pm
Respuesta #2

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1.2 Producto interno y norma

Definición 1.2.1. Un producto interno en un espacio vectorial real \( E \) es una regla que hace corresponder a cada par de vectores \( x,y\in{E} \) un número real, indicado por \( \left<{x,y}\right> \), de tal modo que, para cualesquiera \( x,x',y\in{E} \) y \( \alpha \in{\mathbb{R}} \) se tenga:
PI.1. \( \left<{x,y}\right>=\left<{y,x}\right> \)
PI.2. \( \left<{x+x',y}\right>=\left<{x,y}\right>+\left<{x',y}\right> \)
PI.3. \( \left<{\alpha x,y}\right>=\alpha\cdot{\left<{x,y}\right>}=\left<{x,\alpha y}\right> \)
PI.4. \( x\neq{0}\Rightarrow{\left<{x,x}\right>}>0 \).

Esto se resumen diciendo que un producto interno es una función real, simétrica, bilineal, positiva \( E\times{E}\rightarrow{\mathbb{R}} \).

El ejemplo más importante es el producto interno canónico del espacio euclidiano \( \mathbb{\mathbb{R}^n} \), el cual es dado por:

\( \left<{x,y}\right>=x_1y_1+\ldots+x_ny_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_iy_i} \).

donde \( x=(x_1,...,x_n) \) e \( y=(y_1,...,y_n) \).

Salvo mención explícita, el producto interno canónico es el único que consideraremos en el espacio euclidiano \( \mathbb{R}^n \).

Observación 1.2.1.

La manera más general de definir un producto interno en \( \mathbb{R}^n \) es la siguiente: tomemos una matriz real, \( A=(a_{ij}) \), de orden \( n\times{n} \), simétrica positiva(esto es, se cumple \( \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{a_{ij}x_ix_j}>0 \), para todo \( x\neq{\theta} \)), y definimos

\( \left<{x,y}\right>=\displaystyle\sum_{i,j=1}^n{a_{ij}x_iy_j} \).

En particular, si tomamos \( A=I \), donde I es la matriz identidad de orden \( n\times{n} \), tenemos
\( \left<{x,y}\right>=\displaystyle\sum_{i,j=1}^n{a_{ij}x_iy_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_iy_i} \)
que es el producto interno canónico.

Definición 1.2.2. Dado \( x\in{\mathbb{R}^n} \), escribimos \(  \left\|{x}\right\|=\sqrt[ ]{\left<{x,x}\right>} \), es decir, \(  \left\|{x}\right\|=\sqrt[ ]{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2} \).

Entonces se tiene que \(  \left\|{x}\right\|^2=\left<{x,x}\right> \), de modo que \(  \left\|{x}\right\|=0\Leftrightarrow{x=\theta} \) y \(  \left\|{x}\right\|>0\Leftrightarrow{x\neq{\theta}} \).

Definimos la norma euclidiana o la longitud del vector \( x\in{\mathbb{R}^n} \) al número\(  \left\|{x}\right\| \).

Definición 1.2.3. Dos vectores \( x,y\in{\mathbb{R}^n} \) se dice que son ortogonales cuando \( \left<{x,y}\right>=0 \). Evidéntemente, el vector \( \theta \) es ortogonal a todos los vectores de \( \mathbb{R}^n \). De la definición dada, es fácil probar que \( e_i \) es ortogonal a \( e_j \) si \( i\neq{j} \).

OBSERVACIÓN IMPORTANTE 1.
Un caso menos banal de ortogonalidad es la siguiente: dados dos vectores \( x,y\in{\mathbb{R}^n} \), con \( y\neq{\theta} \), podemos conseguir un vector ortogonal, \( z \), a \( y \). En efecto, definamos \( \alpha=\displaystyle\frac{\left<{x,y}\right>}{ \left\|{y}\right\|^2} \), el vector \( z=x-\alpha y \) es el vector buscado. Es un fácil ejercicio probar esta afirmación.

Utilizaremos ahora la observación anterior para demostrar una desigualdad fundamental de la Geometría Euclidiana.

Teorema 1.2.1.(Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Para cualesquiera \( x,y\in{\mathbb{R}^n} \), se tiene \( |\left<{x,y}\right>|\leq{||x||\cdot{||y||}} \). La igualdad se tiene si, y solamente si, uno de los vectores,x,y es múltiplo escalar del otro(son paralelos).
Demostración.
Si \( y=\theta \), el resultado es trivial.
Supongamos entonces \( y\neq{\theta} \) y sea \( \alpha=\displaystyle\frac{\left<{x,y}\right>}{||y||^2} \) como arriba. Como hemos visto, el vector \( z=x-\alpha y \) es ortogonal a \( y \). Se sigue de ahí que:
\(  \left\|{x}\right\|^2=\left<{x,x}\right>=\left<{z+\alpha y,z+\alpha y}\right>= \left\|{z}\right\|^2+\alpha^2 \left\|{y}\right\|^2 \).
Luego,
\(  \left\|{x}\right\|^2\geq{\alpha^2 \left\|{y}\right\|}^2=\displaystyle\frac{\left<{x,y}\right>^2}{ \left\|{y}\right\|^2} \).
De donde obtenemos:
\(  \left\|{x}\right\|^2 \left\|{y^2}\right\|\geq{\left<{x,y}\right>^2} \).
Como se quería demostrar. De \(  \left\|{x}\right\|^2= \left\|{z}\right\|^2+\alpha^2 \left\|{y}\right\|^2 \), vemos que la igualdad se da si, y solamente si, \( z=\thetha \), o sea, \( x=\alpha y \). \( \boxed{} \)

Observaciones 1.2.2.

(1) La prueba anterior es válida para cualquier producto interno, con \(  \left\|{x}\right\|=\sqrt[ ]{\left<{x,x}\right>} \).

(2) La norma euclidiana \(  \left\|{x}\right\|=\sqrt[ ]{\left<{x,x}\right>} \) goza de las siguientes propiedades, donde \( x,y\in{\mathbb{R}^n} \), \( \alpha\in{\mathbb{R}} \) y \( \left |{\alpha}\right | \) significa el valor absoluto del número real \( \alpha \):
N1. \(  \left\|{x+y}\right\|\leq{ \left\|{x}\right\|}+ \left\|{y}\right\| \),
N2. \( \left\|{\alpha\cdot{x}}\right\|=|\alpha|\cdot{ \left\|{x}\right\|} \),
N3. \( x\neq{\theta}\Rightarrow{ \left\|{x}\right\|}>0 \).

Las dos últimas son evidentes, mientras que la primera propiedad se obtiene al aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la dejamos como ejercicio.

(3) De un modo general, una norma en un espacio vectorial \( E \) es cualquier función real \(  \left\|{\cdot{}}\right\|:E\rightarrow{\mathbb{R}} \) que cumple las condiciones N1, N2, N3 arriba mencionadas.

(4) Nótese que, tomando \( \alpha=0 \) en N2 vemos que \(  \left\|{\theta}\right\|=0 \) y haciendo \( \alpha =-1 \) vemos también que \(  \left\|{-x}\right\|= \left\|{x}\right\| \). Haciendo \( y=-x \) en N1 obtenemos \( 0= \left\|{\theta}\right\|= \left\|{x+(-x)}\right\|\leq{ \left\|{x}\right\|}+ \left\|{-x}\right\|=2 \left\|{x}\right\| \), de donde \(  \left\|{x}\right\|\geq{0} \) para todo \( x\in{E}. \)

(5) Observe también que \(  \left\|{x-y}\right\|= \left\|{-(x-y)}\right\|= \left\|{y-x}\right\| \).

Existe una infinidad de normas que se pueden considerar en el espacio euclidiano \( \mathbb{R}^n \). La norma euclidiana es motivada por la fórmula de la longitud de un vector en el plano en coordenadas cartesianas, que se prueba con el Teorema de Pitágoras. Para nociones geométricas, ella es la más natural. Cuando no decimos explícitamente cual es la norma que estamos considerando en \( \mathbb{R}^n \), queda sobrentendido que se trata de la euclidiana. Por otro lado, hay dos normas que son de más simples de manipular, las cuales podremos utilizar por conveniencia en \( \mathbb{R}^n \). Ellas son:

\(  \left\|{x}\right\|_M=Max\{|x_1|,|x_2|,...,|x_n|\} \),  Norma del Máximo
\(  \left\|{x}\right\|_S=|x_1|+|x_2|+...+|x_n| \),  Norma de la Suma

Para estas dos normas, las condiciones N1, N2, N3 son fáciles de demostrar. También es simple mostrar que, para todo \( x\in{\mathbb{R}^n} \) vale

\(  \left\|{x}\right\|_M\leq{ \left\|{x}\right\|}\leq{ \left\|{x}\right\|}_S\leq{n\cdot{ \left\|{x}\right\|}}_M \),

donde \(  \left\|{x}\right\| \) es la norma euclidiana. Estas desigualdades servirán para mostrar que las tres normas definidas arriba, son equivalentes, en el sentido que se definirá en la sección 4.

Definición 1.2.4. Sea \(  \left\|{\cdot{}}\right\| \) una norma en un espacio vectorial \( E \). Dados \( x,y\in{E} \), la distancia de \( x \) a \( y \) es definida por:
\( d(x,y)= \left\|{x-y}\right\| \).

Las condiciones N1, N2, N3 que satisface una norma, implican inmediatamente que la distancia goza de las siguientes propiedades para \( x,y,z\in{E} \) cualesquiera:

d1. \( d(x,y)\leq{d(x,z)+d(z,y)} \),
d2. \( d(x,y)=d(y,x) \),
d3. \( x\neq{y}\Rightarrow{d(x,y)>0} \).

La primera de esas propiedades es llamada la desigualdad triangular. Ella nos dice que la longitud de uno de los lados de un triángulo no excede a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Su demostración se deja como ejercicio.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE 2
Repasando lo estudiado, hemos empezado con un producto interno, a partir del cual hemos definido una norma, ¿podemos decir que toda norma proviene de un producto interno? La respuesta es NO. Una norma arbitraria \(  \left\|{\cdot{}}\right\| \) en un espacio vectorial \( E \) puede no provenir de un producto interno, esto significa, que no siempre existe un producto interno \( \left<{,}\right> \) en \( E \) tal que \(  \left\|{x}\right\|^2=\left<{x,x}\right> \) para todo \( x\in{E} \). En efecto, si la norma proviene de un producto interno, entonces vale la identidad del paralelogramo:

\(  \left\|{x+y}\right\|^2+ \left\|{x-y}\right\|^2=2( \left\|{x}\right\|^2+ \left\|{y}\right\|^2) \),

que afirma que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados. En efecto, tenemos que
\(  \left\|{x+y}\right\|^2=\left<{x+y,x+y}\right>= \left\|{x}\right\|^2+ \left\|{y}\right\|^2+2\left<{x,y}\right> \).

\(  \left\|{x-y}\right\|^2=\left<{x-y,x-y}\right>= \left\|{x}\right\|^2+ \left\|{y}\right\|^2-2\left<{x,y}\right> \).

Y sumando miembro a miembro, obtenemos la igualdad deseada.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE 3
La identidad del paralelogramo no es válida para todas las normas. Por ejemplo, las normas \(  \left\|{x}\right\|_M=Max\{|x_1|,|x_2|,...,|x_n|\} \) y \(  \left\|{x}\right\|_S=\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i|} \) en \( \mathbb{R}^n \) no la cumplen, basta tomar \( x=e_1 \), \( y=e_2 \). Luego esas normas no provienen de producto interno alguno en \( \mathbb{R}^n \).

Una consecuencia simple, pero muy útil, de los axiomas N1, N2, N3 es que, dada una norma \( \left |{}\right | \) en \( \mathbb{R}^n \),para  \( x,y\in{\mathbb{R}^n} \) cualesquiera, se tiene:
\( \left |{ \left\|{x}\right\|- \left\|{y}\right\|}\right |\leq{ \left\|{x-y}\right\|} \).

Dejamos la verificación de este hecho como ejercicio.

Fin de la sección 2.

Spoiler
Ejercicios 1.2.

1.2.1. Probar que para todo funcional lineal \( f\in{(\mathbb{R}^n)*} \) existe un único vector \( y\in{\mathbb{R}^n} \) tal que \( f(x)=\left<{y,x}\right> \) cualquiera que sea \( x\in{\mathbb{R}^n} \).

1.2.2. Un conjunto \( \left\{{u_1,...,u_r}\right\}\subseteq{\mathbb{R}^n} \) se dice ortonormal cuando \( \left<{u_j,u_j}\right>=1 \) y \( \left<{u_i,u_j}\right>=0 \) para cualesquiera \( i\neq{j} \). Todo conjunto ortonormal es parte de una base ortonormal. Probar que si \( \left\{{u_1,...,u_r}\right\} \) es una base ortonormal, entonces \( x=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\left<{x,u_i}\right>u_i} \) para todo \( x\in{\mathbb{R}^n} \).

1.2.3. Considere en \( \mathbb{R}^m \) y \( \mathbb{R}^n \) la norma euclidiana. Demuestre:
a) Dada una aplicación lineal, \( A:\mathbb{R}^m\rightarrow{\mathbb{R}^n} \), existe una única aplicación lineal \( A*:\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}^m} \), llamada  la transpuesta o (adjunta) de A, tal que \( \left<{A(x),y}\right>=\left<{x,A*(y)}\right> \) para cualesquiera \( x\in{\mathbb{R}^m} \) y \( y\in{\mathbb{R}^n} \).
b) Dado \( b\in{\mathbb{R}^n} \), la ecuación \( A(x)=b \) posee solución \( x\in{\mathbb{R}^m} \) si, y solamente si, \( b \) es ortogonal a todo elemento del núcleo de \( A* \).
c) Concluya que el núcleo de \( A* \) y la imagen de A tienen la misma dimensión.

1.2.4. Una aplicación lineal \( A:\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) se dice simétrica cuando \( A=A* \). Pruebe que el conjunto S de las aplicaciones lineales simétricas constituye un subespacio vectorial de dimensión \( n(n+1)/2 \) en \( \mathfrak{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n) \). Cuando \( A*=-A \), se dice que A es antisimétrica. Pruebe que el conjunto T de todas las aplicaciones lineales antisimétricas es un subespacio vectorial de dimensión \( n(n-1)/2 \) en \( \mathfrak{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n) \) y que toda aplicación lineal \( A \) se escribe, de modo único, como suma de una aplicación simétrica con una antisimétrica, esto es, \( \mathfrak{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)=S\oplus{T} \).

1.2.5. Considere en \( \mathbb{R}^m \) y \( \mathbb{R}^m \) la norma euclidiana. Probar que las siguientes afirmaciones al respecto de una transformación lineal \( A:\mathbb{R}^m\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) son equivalentes

a)\( ||A(x)||=||x|| \) para todo \( x\in\mathbb{R}^m \).
b)\( ||A(x)-A(y)||=||x-y|| \) para todo \( x,y\in\mathbb{R}^m \).
c)\( <A(x),A(y)>=<x,y> \) para todo \( x,y\in\mathbb{R}^m \).
d)Todo conjunto ortonormal en \( \mathbb{R}^m \) es transformado por \( A \) en un conjunto ortonormal en \( \mathbb{R}^n \).
e)\( A*A=I \), la aplicación identidad de \( \mathbb{R}^m \)
f) Las columnas de la matriz de \( A \) forman un conjunto ortonormal en \( \mathbb{R}^n \).

Cuando \( m=n \), se tiene también \( A*A=I \) y la aplicación lineal \( A \) se llama ortogonal.

1.2.6. Si \( A \) es ortogonal, pruebe que \( det(A)=\pm{1} \).

1.2.7. Dados los números reales \( a,b,c \). Pruebe que a fin de que existan en \( \mathbb{R}^2 \) un producto interno tal que \( <e_1,e_1>=a\quad <e_1,e_2>=<e_2,e_1>=b \) y \( <e_2,e_2>=c \), es necesario y suficiente que \( a>0 \) y \( ac>b^2 \).

1.2.8. Pruebe que existe en \( \mathbb{R}^3 \) un producto interno tal que \( <e_1,e_1>=2 \), \( <e_2,e_2>=3 \), \( <e_3,e_3>=4 \), \( <e_1,e_2>=0 \) y \( <e_2,e_3>=<e_1,e_3>=1. \).

1.2.9. Pruebe que si \( c\in [a,b] \), entonces \( ||b-a||=||b-c||+||c-a|| \). Si la norma proviene de un producto interno, vale la recíproca. Además, pruebe también que para una norma arbitraria se puede tener la igualdad anterior con \( c\not\in [a,b] \).
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05 Febrero, 2010, 05:08 am
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1.3 Bolas y conjuntos acotados

Una norma en \( \mathbb{R}^n \) permite que se definan algunas nociones geométricas básicas, las cuales pasamos a presentar.

Definición 1.3.1. Una bola abierta de centro en un punto \( a\in{\mathbb{R}^n} \) y radio \( r>0 \) es el conjunto de puntos \( x\in{\mathbb{R}^n} \) cuya distancia al punto \( a \) es menor que \( r \). Utilizaremos la notación \( B(a;r) \) para indicar a este conjunto. Así,
\( B(a;r)=\{x\in{\mathbb{R}^n}| \left\|{x-a}\right\|<r\} \).

Análogamente tenemos las siguientes definiciones:

Definición 1.3.2. La bola cerrada y la esfera ambas con centro en el punto \( a \) y radio \( r \), denotadas por \( B[a,r] \) y \( S[a,r] \) respectivamente, son los conjuntos definidos por

\( B[a;r]=\{x\in{\mathbb{R}^n}| \left\|{x-a}\right\|\leq{r}\} \).
\( S[a;r]=\{x\in{\mathbb{R}^n}| \left\|{x-a}\right\|=r\} \).

Observaciones 1.3.1.

(1) De las definiciones tenemos que \( B[a;r]=B(a;r)\cup S[a;r] \).

(2) Cuando \( n=1 \), la bola abierta \( B(a;r) \) de centro \( a \) y radio \( r \) en la recta \( \mathbb{R} \) es el intervalo abierto \( (a-r,a+r) \), la bola cerrada \( B[a;r] \) es el intevalo cerrado \( [a-r;a+r] \) y la esfera \( S[a;r] \) se reduce al conjunto \( \{a-r,a+r\} \).

(3) Las tres normas usuales del espacio euclidiano coinciden en el caso \( n=1 \).

(4) Para \( n=2 \), tomando la norma euclidiana, las bolas en el plano se llaman disco (abiertos o cerrados) y las esferas se reducen a círculos.

(5) Para \( n=3 \), la norma euclidiana define en el espacio bolas y esferas que corresponden a las imágenes que ya conocemos.

La forma geométrica de las bolas y esferas dependen en general, es claro, de la norma que se utiliza. Por ejemplo, si en vez de tomar la norma euclidiana, tomáramos en el plano \( \mathbb{R}^2 \), la norma del máximo, es decir, si \( z=(x,y)\in{\mathbb{R}^2} \), \(  \left\|{z}\right\|_M=Max\{|x|,|y|\} \), la bola de centro \( c=(a,b) \) y radio \( r \) será el cuadrado de lados paralelos a los ejes coordenados, cada lado con longitud \( 2r \), y las diagonales se cortan en el punto \( c \). Por otro lado, si tomamos la norma de la suma, \(  \left\|{z}\right\|_S=|x|+|y| \), la bola de centro \( c=(a,b) \) y radio \( r \) será el cuadrado cuyas diagonales son paralelas a los ejes coordenados, ambas de longitud \( 2r \), cortándose ambas en el punto \( c \) como se puede apreciar en la figura siguiente. ¿Pueden decir cuál es la bola con la norma de la suma y del máximo?

Análogamente, la norma del máximo en el espacio \( \mathbb{R}^3 \) produce bolas con forma de cubos de aristas paralelas a los ejes, en cuanto que con la norma de la suma, las bolas en
 \( \mathbb{R}^3 \) son octaedros con diagonales paralelas a los ejes.

De un modo más general, observemos que si \( a=(a_1,a_2,...,a_n) \) entonces la bola \( B[a;r]\subseteq{\mathbb{R}^n} \), definida por la norma \(  \left\|{x}\right\|_M=Max\{|x_1|,|x_2|,...,|x_n|\} \) es el producto cartesiano
\( B[a;r]=[a_1-r,a_1+r]\times{\ldots[a_n-r,a_n+r]} \).

En efecto, \(  \left\|{x}\right\|_M\leq{r}\Leftrightarrow{|x_1-a_1|\leq{r},...,|x_n-a_n|\leq{r}} \). De la misma manera, pero con la norma del máximo obtenemos la bola abierta

\( B(a;r)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{(a_i-r,a_i+r)} \)

Estas propiedades convierten a la norma del máximo muy conveniente cuando se trabaja con el producto cartesiano.

Ya hemos visto que se pueden generar diferentes bolas dependiendo de la norma que se elija, ¿ habrá alguna relación o propiedad en común entre las bolas relativas a diferentes normas en \( \mathbb{R}^n \)? La respuesta es afirmativa, y antes de responderla introduciremos el concepto de convexidad.

Definición 1.3.3. Sean \( x,y\in{\mathbb{R}^n} \). El segmento de recta de extremos \( x \) e \( y \) es el conjunto
\( [x,y]=\{(1-t)x+ty|0\leq{t}\leq{1}\} \).

Definición 1.3.4. Sea \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) un subconjunto, decimos que \( X \) es un conjunto convexo si contiene a cualquier segmento de recta cuyos extremos pertenezcan a \( X \), o sea,

\( x,y\in{X}\Longrightarrow{[x,y]\subseteq{X}} \).

Observaciones 1.3.2.

(1) Todo subespacio vectorial \( E\subseteq{\mathbb{R}^n} \) es convexo.

(2) Un (2) de un espacio vectorial \( E \) es el conjunto \( a+E=\{a+x|x\in{E}\} \) es convexo.

(3) Si \( X\subseteq{\mathbb{R}^m} \) y \( Y\subseteq{\mathbb{R}^n} \) son convexos, entonces sl producto cartesiano \( X\times{Y}\subseteq{\mathbb{R}^{m+n}} \) también es convexo(verificar).

(4) Un ejemplo de un conjunto no convexo es \( X=\mathbb{R}^n-\{\theta\} \). Basta tomar \( e_1\in X \), luego \( -e_1\in X \), mas \( e_1+(-e_1)=\theta\not\in{X} \).

Teorema 1.3.2. Toda bola \( B\subseteq{\mathbb{R}^n} \) es convexa.
Demostración.
Sea \( B=B(a;r) \) la bola abierta de centro \( a \) y radio \( r>0 \). Si \( x,y\in{B} \), entonces tenemos \(  \left\|{x-a}\right\|<r \) y \(  \left\|{y-a}\right\|<r \). Tomemos un \( t\in [0,1] \) arbitrario, luego
\(  \left\|{(1-t)x+ty-a}\right\|=\left\|{(1-t)(x-a)+t(y-a)}\right\|\leq{(1-t)\left\|x-a}\right\|+t\left\|y-a}\right\|}<r. \)
Es decir, \( [x,y]\subseteq{B(a;r)} \).

Para el caso de la bola cerrada, \( B[a;r] \), es exáctamente análogo.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE 4.
En la demostración del teorema anterior se utilizaron las propiedades N1, N2 y N3 de la norma, que puede ser cualquiera.

Definición 1.3.5. Sea \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \), de dice que \( X \) es acotado cuando existe un número real \( c>0 \) tal que \(  \left\|{x}\right\|\leq{c} \) para todo \( x\in{X} \). Esto es equivalente a decir que \( X \) está contenido en la bola cerrada de centro en el origen y radio \( c \).

Si existe alguna bola \( B=B[a;r] \), de centro arbitrario, tal que \( X\subseteq{B} \), entonces para tod \( x\in{X} \), se tiene \(  \left\|{x-a}\right\|\leq{r}. \) Haciendo \( c=r+ \left\|{a}\right\| \) tenemos

\( x\in{X}\Longrightarrow{ \left\|{x}\right\|= \left\|{x-a+a}\right\|}\leq{ \left\|{x-a}\right\|+ \left\|{a}\right\|}\leq{r+ \left\|{a}\right\|}=c, \)

Por tanto, tenemos que \( X \) es acotado. En resumen

Un conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) es ACOTADO si, y solamente si, está contenido en alguna bola(cuyo centro no necesariamente es el origen).

Observaciones 1.3.3.

(1) En las tres normas usuales del espacio \( \mathbb{R}^n \), las relaciones básicas

\(  \left\|{x}\right\|_M\leq{ \left\|{x}\right\|}\leq{ \left\|{x}\right\|}_S\leq{n\cdot{ \left\|{x}\right\|}}_M \)

muestran que un conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) es acotado en relación a una de sus normas si, y solamente si, es acotado en relación a cualquiera de las otras dos.

(2) Para cada \( i=1,2,...,n \), la i-ésima proyeciión \( \pi_i:\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}} \) fue definida por \( \pi_i(x)=x_i= \)i-ésma coordenada de \( x \).

Propisición 1.3.1. Dados los conjuntos \( C_1,...,C_n\subseteq{\mathbb{R}^n} \) y \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) se tiene

\( X\subseteq{C_1\times C_2\times ...\times C_n}\Longleftrightarrow{\pi_1(X)\subseteq{C_1},...,\pi_n(X)\subseteq{C_n}} \)

Dejamos la demostración como ejercicio.

Finalizamos esta sección con el siguiente Teorema:

Teorema 1.3.3. Un conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) es acotado si, y solamente si, sus proyecciones \( X_1=\pi_i(X),...,X_n=\pi_n(X) \) son conjuntos acotados en \( \mathbb{R} \).
Demostración.
Por la observación 1.3.3(1) podemos trabajar con cualquiera de las tres normas usuales de \( \mathbb{R}^n \). Tomemos entonces, la norma del máximo. Entonces
\( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) es acotado si, y solamente si, \( X\subseteq{B[0;c]}=\underbrace{[-c,c]\times ...\times [-c,c]}_{\mbox{ n factores}} \) y por la proposición 1.3.1.
\( \pi_1(X)\subseteq{[-c,c]},...,\pi_n(X)\subseteq{[-c,c]}\Leftrightarrow{\pi_1(X),...,\pi_n(X)} \) son acotados en \( \mathbb{R} \).

Fin de la sección 3.

Para un mejor estudio de esta sección es MUY recomendable mirar la seccion de topología del espacio n-dimensional del curso de topología,

Curso de Topología (Munkres)

Spoiler
Ejercicios 1.3.

1.3.1. Probar que para cualquier norma en \( \mathbb{R}^n \), (\( n>1 \)), la esfera unitaria \( S=\{x\in{\mathbb{R}^n}:||x||=1\} \) es un conjunto infinito.

1.3.2. Dados \( x\in{S[a:r]} \) y \( \varepsilon >0 \), pruebe que existen \( y\in{B[a;r]} \) y \( z\not\in{B[a;r]} \) tales que \( ||y-x||<\varepsilon \) y \( ||z-x||<\varepsilon \).

1.3.3. Si \( X\subseteq{\mathbb{R}^m} \) e \( Y\subseteq{\mathbb{R}^n} \) son convexos, entonces su producto cartesiano \( X\times Y\subset  \mathbb{R}^{m+n} \) es convexo.

1.3.4. Pruebe que la intersección de una familia arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto conexo.

1.3.5. Dados \( X,Y\subseteq{\mathbb{R}^n} \), sea \( X*Y \) la reunión de todos los segmentos de recta \( [x,y] \), donde \( x \) varía en \( X \) e \( y \) en \( Y \). Si \( X \) e \( Y \) son convexos probar que \( X*Y \)

1.3.6. Dados \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) y \( \varepsilon >0 \), sea \( B(X;\varepsilon) \) la reunión de las bolas \( B(x;\varepsilon) \), con \( x\in X \). Si \( X \) es convexo, probar que \( B(X;\varepsilon) \) es convexo.

1.3.7. Dado \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \), la envoltura convexa de X es la intersección \( C(X) \)  de todos los subconjuntos convexos de \( \mathbb{R}^n \) que contienen a \( X \). Pruebe que \( C(X) \) es el conjunto de todas las combinaciones lineales \( \alpha_1x_1+\dots+\alpha_kx_k \) tales que \( x_1,...,x_k\in{X} \), \( \alpha_1\geq{0},...,\alpha_k\geq{0} \) y \( \alpha_1+\dots+\alpha_k=1 \).
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21 Febrero, 2010, 11:24 pm
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1.4 Sucesiones en el espacio euclidiano

Definición 1.4.4. Una sucesión en \( \mathbb{R}^n \) es una aplicación \( x:\mathbb{N}\rightarrow{\mathbb{R}^n} \), definida en el conjunto \( \mathbb{N} \) de los números naturales. El valor que esa aplicación asume en el número \( k \) es indicado por \( x_k \) en lugar de \( x(k) \) y se llama el k-ésimo término de las sucesión. Utilizaremos las notaciones \( (x_k) \), \( (x_k)_{k\in{\mathbb{N}}} \) o \( (x_1,x_2\ldots,x_k,\dots) \) para indicar a una sucesión cuyo k-ésimo término es \( x_k\in{\mathbb{R}^n} \).

Definición 1.4.4. Una subsucesión de \( (x_k) \) es la restricción de la sucesión a un subconjunto infinito \( \mathbb{N}'=\{k_1<k_2<\dots<k_i<\ldots\}\subseteq{\mathbb{N}} \). La subsucesión es indicada por las notaciones \( (x_k)_{k\in{\mathbb N}'} \) o \( (x_{k_i})_{i\in{\mathbb N}} \) o \( (x_{k_1},x_{k_2}\ldots,x_{k_i},\dots) \).

Definición 1.4.4. Una sucesión es (o está) acotada cuando el conjunto de sus términos es acotado en \( \mathbb{R}^n \), osea, cuando existe un número real \( c>0 \) tal que \( ||x_k||\leq{c} \) para todo \( k\in\mathbb{N} \).

Observaciones 1.4.1.

(1) Una sucesión \( (x_k) \) en \( \mathbb{R}^n \) equivale a \( n \) sucesiones de números reales. En efecto, para cada \( k\in\mathbb{N} \) tenemos \( x_k=(x_{k1},x_{k2},\dots\,x_{kn}) \) donde \( x_{ki}=\pi_i(x_k)=i \)-ésima coordenada de \( x_k \), con \( i=1,2,...,n \).

(2) Las \( n \) sucesiones \( (x_{ki})_{k\in\mathbb{N}} \), \( i=1,2,...,n \) son llamadas las sucesiones de las coordenadas de \( (x_k) \). Así, por ejemplo, en el plano \( \mathbb{R}^2 \) una sucesión de puntos \( z_k=(x_k,y_k) \) es lo mismo que un par de sucesiones \( (x_k) \), \( (y_k) \) de números reales.

(3) Por el Teorema 1.3.3 se sigue que una sucesión \( (x_k) \) en  \( \mathbb{R}^n \) es acotada si, y solamente si, cada una de sus sucesiones de coordenadas \( (x_{ki})_{k\in\mathbb N} \), \( (1\leq{i}\leq{n}) \) es acotada \( \mathbb{R} \).

Definición 1.4.5. Sea \( (x_k)\subseteq{\mathbb{R}^n} \) una sucesión, se dice que el punto \( a\in{\mathbb{R}^n} \) es el límite de \( (x_k) \) cuando, para todo \( \varepsilon >0 \) dado, es posible obtener (osea, existe) \( k_0\in{\mathbb{N}} \) tal que si \( k>k_0 \) entonces \( ||x_k-a||<\varepsilon \). En este caso, se dice también que \( (x_k) \) converge para \( a \) o tiende para \( a \), se escribe \( \displaystyle\lim{x_k}=a \), \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \),  \( \displaystyle\lim\limits_{k\in \mathbb{N}}{x_k}=a \), o simplemente \( x_k\rightarrow{a} \).

Cuando existe el límite \( a=\displaystyle\lim{x_k} \), se dice que la sucesión \( (x_k) \) es convergente. Caso contrario, se dice que \( (x_k) \) es divergente.

Observaciones 1.4.2.

(1) Una sucesión constante \( (a,...,a) \) es obviamente convergente y su límite es \( a \).

(2) Si \( a\neq{b} \), la sucesión \( (a,b,a,b...) \) es una sucesión divergente.

(3) De la definición tenemos que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \) si, y solamente, si \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{||x_k-a||}=0 \) y como \( y_k=||x_k-a|| \) es un número real, hallar el límite de una sucesión en \( \mathbb{R}^n \) se reduce a una sucesión de números reales no negativos.

(4) En términos de bolas, se tiene \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \) si, y solamente si, cualquier bola abierta con centro \( a \) contiene a todos los términos \( x_k \) salvo, posiblemente a un número finito de índices \( k \). En efecto, si \( \varepsilon>0 \)  es el radio de la bola, y \( k_0 \) es el número natural que corresponde a \( \varepsilon>0 \) en la definición de límite, fuera de la bola \( B(a;\varepsilon) \) solo podrán existir, a lo más, algunos de los términos \( x_1,...,x_{k_0} \)

(5) Resulta de la observación anterior que toda sucesión convergente es acotada. De hecho, si \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \) entonces fuera de la bola abierta de centro \( a \) y radio \( 1 \) existen a lo más los términos \( x_1,...,x_{k_0} \) de la sucesión. Si \( r \) es el mayor de los números \( 1,||x_1-a||,||x_2-a||,...,||x_{k_0}-a|| \), vemos que todos los términos de la sucesión están contenidos en la bola \( B[a;r] \).

(6) La recíproca es falsa, la sucesión \( (1,-1,1,-1,...) \) está acotada, pero es divergente.

(7) Se sigue también de la caracterización de límite por medio de bolas que si \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \) entonces toda subsucesión de \( (x_k) \) tiene límite igual a \( a \). Es decir, toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente y tienen¡ el mismo límite.

(8) Se deja como ejercicio probar que el límite de una sucesión convergente es único.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE 5

En la observación  1.4.2(7) vimos que si una sucesión es convergente, entonces toda subsucesión es convergente, pero lo contrario, no siempre se cumple, es decir, si \( (x_k) \) es una sucesión, y si alguna subsucesión de \( (x_k) \) es convergente, esto no implica que la sucesión original sea convergente, por ejemplo tomemos la sucesión \( (1,-1,1,-1,...) \), vemos que no es convergente, pero la subsucesión \( (1,1,1,...,1,...) \) es convergente.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE 6

En la definición de límite de una sucesión en \( \mathbb R ^n \) se hace el uso de una norma, pero recordemos que tenemos tres normas usuales cuyas desigualdades nos dan

\( ||x_k-a||_M\leq{||x_k-a||}\leq{||x_k-a||_S}\leq{n||x_k-a||}_M \)

entonces tenemos que
\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{||x_k-a||_M}=0\Leftrightarrow{\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{||x_k-a||_}=0}\Leftrightarrow{\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{||x_k-a||_S}=0} \)

Por tanto, la afirmación \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \) es independiente de cualquiera de las tres normas usuales que estamos considerando.

En la demostración del teorema siguiente, usaremos en \( \mathbb{R}^n \) la norma del máximo, por conveniencia. Resulta de lo que acabamos de decir que el hecho en el enunciado es válido sea cual sea la norma, dentro de las tres usuales, que sea tomada en la definición de límite.

Teorema 1.4.4. Una sucesión \( (x_k) \) en \( \mathbb{R}^n \) converge al punto \( a=(a_1,...,a_n) \) si, y solamente si, para cada \( i=1,2,...,n \), se tiene \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_{ki}}=a_{i} \), o sea, cada coordenada de \( x_k \) converge para la coordenada correspondiente de \( a \).
Demostración: Recordemos que \( |x_{ki}-a_i|\leq{||x_k-a||} \), entonces si \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_{k}}=a\Rightarrow{\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_{ki}}=a_{i}} \). Recíprocamente, si \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_{ki}}=a_{i} \) para cada \( i=1,2,...,n \), entonces, dado \( \varepsilon>0 \), existen números naturales \( k_1,k_2,...,k_n \) tales que si \( k>k_i \) entonces \( |x_{ki}-a_i|<\varepsilon \). Sea \( k_0=\mbox{máx}\{k_1,...,k_n\} \).
Entonces, si \( k>k_0 \), se tiene \( ||x_k-a||=\mbox{máx\limits_{i}}|x_{ki}-a_i|<\varepsilon \), recordemos que estamos utilizando la norma del máximo. Luego \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_{k}}=a \).

Corolario. Dadas las sucesiones convergentes de puntos \( x_k,y_k\in{\mathbb{R}^n} \) y \( \alpha_k\in{\mathbb{R}} \), sean \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \), \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{y_k}=b \) y \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\alphax_k}=\alpha \).Entonces:

(1) \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(x_k+y_k)}=a+b \).
(2) \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(\alpha_k\cdot{x_k})}=\alpha\cdot{a} \).
(3) \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\left<{x_k,y_k}\right>}=\left<{a,b}\right> \).
(4) \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{ \left\|{x_k}\right\|}= \left\|{a}\right\| \).
Demostración.
Basta utilizar el Teorema 1.4.1 y los resultados conocidos para sucesiones reales.

Teorema 1.4.5.(Bolzano-Weierstrass) Toda sucesión limitada en \( \mathbb R ^n \) posee una subsucesión convergente.
Demostración:
Sabemos por el Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones de números reales, que toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente. Tomemos pues una sucesión \( (x_k) \) en \( \mathbb{R}^n \), entonces por la observación 1.4.1(3) sus sucesiones coordenadas son acotadas, tomemos la primera, es decir, \( (x_{k1})_{k\in{\mathbb{N}}} \) es acotada, y como está sucesión es de números reales, por el teorema de Bolzano-Weierstrass posee una subsucesión convergente. Es decir, existen un subconjunto infinito \( \mathbb{N}_1\subseteq{\mathbb{N}} \) y un número real \( a_1 \) tales que \( \displaystyle\lim_{k\in\mathbb{N}_1}{x_{k1}}=a_1 \). Tomemos ahora la segunda sucesión coordenada \( (x_{k2})_{k\in{\mathbb{N}}} \) es acotada, en particular, tomando \( k\in{\mathbb{N}_1} \), tenemos que \( (x_{k2})_{k\in{\mathbb{N}_1}} \) es acotada. Nuevamente, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, podemos obtener un subconjunto infinito \( \mathbb{N}_2\subseteq{\mathbb{N}_1} \) y un número real \( a_2 \) tales que \( \displaystyle\lim_{k\in\mathbb{N}_2}{x_{k2}}=a_2 \). Y prosiguiendo de la misma manera, encontramos conjuntos infinitos \( \mathbb{N}_1,\mathbb{N}_2,...,\mathbb{N}_n \) y números reales \( a_1,...,a_n \) tales que \( \mathbb{N}\supset{\mathbb{N}_1\supset{\mathbb{N}_2}\dots \supset{\mathbb{N}_n}} \) y \( \displaystyle\lim_{k\in\mathbb{N}_i}{x_{ki}}=a_i \), para \( i=1,2,...,n \). Entonces, tomando \( a=(a_1,...,a_n) \) y vemos que por el Teorema 1.4.4. que \( \displaystyle\lim_{k\in\mathbb{N}_n}{x_{k}}=a \), lo que concluye la demostración.

Definición 1.4.6. Sea \( (x_k) \) una sucesión en \( \mathbb{R}^n \), decimos que el punto \( a\in{\mathbb{R}^n} \) es un valor de adherencia de \( (x_k) \) cuando alguna subsucesión de \( (x_k) \) converge para \( a \).

Observaciones 1.4.3.

(1) Por el Teorema 1.4.5, el conjunto de los valores de adherencia de una sucesión acotada en \( \mathbb{R}^n \) nunca es vacío.

(2) Si una sucesión \( (x_k) \) en \( \mathbb{R}^n \) (necesariamente no acotada) no posee valores de adherencia, se escribe \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=\infty \). Esto siginifica que \( (x_k) \) no posee subsucesión acotada, osea, que para todo número real \( A \), dado arbitrariamente, existe \( k_0\in{\mathbb{N}} \) tal que si \( k>k_0 \) entonces \( ||x_k||>A \).

(2) Del mismo modo que para una sucesión de números reales, se puede mostrar que el punto \( a\in{\mathbb{R}^n} \) es un valor de adherencia de una sucesión \( (x_k) \) si, y solamente si, toda bola de centro \( a \) contiene términos con índices arbitrariamente grandes. Más precisamente: dados \( \varepsilon>0 \) y \( k_0\in\mathbb{N} \), existe \( k>k_0 \) tal que \( ||x_k-a||<\varepsilon \).

(3) Una sucesión convergente posee un único valor de adherencia. El recíproco es falso, la sucesión de números reales \( (1,2,1,3,1,4,1,5,...) \) posee a 1 como único valor de adherencia, sin embargo, no es convergente. Tenemos entonces el siguiente teorema:

Teorema 1.4.6. Una sucesión acotada en \( \mathbb R ^n \) es convergente si, y solamente si, posee un único valor de adherencia.
Demostración:

La primera parte es inmediata, entonces supongamos que la sucesión acotada \( (x_k) \) posee un único valor de adherencia, sea éste \( a \). Supongamos que no se cumple \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \) entonces por definición existe \( \varepsilon>0 \) tal que el conjunto \( \mathbb{N}'=\{k\in{\mathbb{N}}:x_k\not\in{B(a;\varepsilon)}\} \) es infinito (esto niega que el número de términos de la sucesión que están fuera de la bola sea finito, tal como se pide en la definición de límite). La subsucesión \( (x_k)_{k\in{\mathbb{N}'}} \) es acotada y sus términos satisfacen la condición \( ||x_k-a||\geq{\varepsilon} \). Por el Teorema 1.4.5 ella posee una subsucesión convergente a un punto \( b\in{\mathbb{R}^n} \). Ahora, puesto que \( ||x_k-a||\geq{\varepsilon} \) para todo \( {k\in{\mathbb{N}'}} \), concluimos al tomar límite que \( ||b-a||\geq{\varepsilon} \). Entonces \( b\neq{a} \) y la sucesión \( (x_k) \) tiene por lo menos dos valores de adherencia distintos, lo que contradice la hiótesis. Por tanto, \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \), y así, \( (x_k) \) es convergente.

Extenderemos ahora al plano euclidiano el Criterio de Cauchy para la convergencia de sucesiones reales.

Definción 1.4.6. Una sucesión \( (x_k) \) en \( \mathbb{R}^n \) se dice una sucesión de Cauchy o sucesión fundamental cuando para todo \( \varepsilon>0 \) existe \( k_0\in{\mathbb{N}} \) tal que si \( k,r>k_0 \) entonces \( ||x_k-x_r||<\varepsilon \).

OBSERVACIÓN IMPORTANTE 7

Utilizando en \( \mathbb{R}^n \) la norma del máximo, tenemos \( ||x_k-x_r||=\mbox{máx}\{|x_{k1}-x_{r1}|,...,|x_{kn}-x_{rn}|\} \),luego \( (x_k) \) es una sucesión de Cauchy en \( \mathbb{R}^n \) si, y solamente si, para cada \( i=1,...,n \) la sucesión \( (x_{1i},x_{2i},...,x_{ki},...) \) de sus \( i- \)ésimas coordenadas es una sucesión de Cauchy de números reales. Esto nos induce a

Teorema 1.4.7. Una sucesión \( (x_k) \) en \( \mathbb R ^n \) es de Cauchy si, y solamente si, es convergente.
Demostración:
Si \( (x_k) \) es de Cauchy, entonces, para cada \( i=1,2,...,n \) sus \( i- \)ésimas coordenadas forman una sucesión de Cauchy de números reales \( (x_{ki})_{k\in{\mathbb{N}}} \), la cual posee, como ya sabemos, el límite \( a_i=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_{ki}} \). Tomando \( a=(a_1,...,a_n) \), por el Teorema 1.4.4. tenemos que \( a=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k} \). Por tanto, toda sucesión de Cauchy en \( \mathbb{R}^n \) es convergente. La recíproca es inmediata.

Generalizando las desigualdades que relacionan a las 3 normas usuales del espacio euclidiano, tenemos la siguiente

Definción 1.4.7. Dos normas \( \left |{\quad}\right | \) y \(  \left\|{\quad}\right\| \) en \( \mathbb{R}^n \) son equivalentes cuando existen constantes \( a>0 \) y \( b>0 \) tales que
\( \left |{x}\right |\leq{a \left\|{x}\right\|} \) y \(  \left\|{x}\right\|\leq{b\left |{x}\right |} \) para todo \( x\in{\mathbb{R}^n} \).

Observaciones 1.4.4.

(1) Si para todo \( x\in{\mathbb{R}^n} \) y todo \( r>0 \), indicamos con las notaciones \( B(x;r) \) y \( B((x;r)) \) respectivamente a la bola abierta de centro \( x \) y radio \( r \) respecto a las normas \( \left |{\quad}\right | \) y \(  \left\|{\quad}\right\| \), las desigualdades anterioressignifican que

\( B((x;r))\subseteq{B(x;ar)} \) y \( B(x;r)\subseteq{B((x;br))} \) para todo \( x\in{\mathbb{R}^n} \).

(2) La equivalencia entre normas es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Las tres normas usuales del espacio euclidiano son equivalentes unas a las otras.

(3) Si \( \left |{\quad}\right | \) y \(  \left\|{\quad}\right\| \) son equivalentes, entonces \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{ \left |{x_k-a}\right |}=0\Leftrightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{ \left\|{x_k-a}\right\|}}=0 \), esto es, normas equivalentes dan la misma noción de límite en el espacio \( \mathbb{R}^n \).

(4) Si dos normas en \( \mathbb{R}^n \) son equivalentes, el conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) es acotado en relación a una de ellas si, y solamente si, es acotado en relación a las otras.

Teorema 1.4.8. Dos normas cualesquiera en el espacio \( \mathbb R ^n \) son equivalentes.
Demostración:
Tomemos primero tomemos la norma de la suma \(  \left\|{x}\right\|_S=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\left |{x_i}\right |} \). Por transitividad basta demostrar que una norma arbitraria, \(  \left\|{x}\right\| \) en \( \mathbb{R}^n \) es equivalente a esta.

Sea \( b=\mbox{máx}\{ \left\|{e_1}\right\|,..., \left\|{e_n}\right\|\} \). Entonces, para cualquier \( x=(x_1,...,x_n)\in{\mathbb{R}^n} \) tenemos
\(  \left\|{x}\right\|= \left\|{x_1+e_1+\ldots +x_ne_n}\right\|\leq{\left |{x_1}\right | \left\|{e_1}\right\|+\ldots +\left |{x_n}\right | \left\|{e_n}\right\|}\leq{b|\left |{x}\right ||_S} \).

Nos falta mostrar que existe \( a>0 \) tal que \( |\left |{x}\right ||_S\leq{a \left\|{x}\right\|} \) para todo \( x\in{\mathbb{R}^n} \). Supongamos, por el absurdo, que no sea así. Entonces para cada \( k\in{\mathbb{N}} \), podemos hallar \( x_k\in{\mathbb{R}^n} \) tal que \( |\left |{x_k}\right ||_S>k \left\|{x_k}\right\| \). Sea \( u_k=\displaystyle\frac{x_k}{||x_k||_S} \). Esto nos da \(  \left\|{u_k}\right\|=\displaystyle\frac{||x_k||}{||x_k||_S}<\displaystyle\frac{1}{k} \) y \(  \left\|{u_k}\right\|=1 \) para todo \( k \). Por tanto, la sucesión \( (u_k) \) es acotada en relación a la norma de la suma. Por el teorema de Bolzano-Wierestrass, ella posee una subsucesión convergente \( (u_{k_j}) \) que converge a un punto \( u\in{\mathbb{R}^n} \).Por otro lado, tenemos \( ||u||_S=\displaystyle\lim_{j \to{+}\infty}{||u_{k_j}||_S}=1 \), de donde tenemos que \( u\neq{\theta} \). Por otro lado, para todo \( j\in{\mathbb{N}} \) tenemos
\( ||u||\leq{||u_{k_j}}-u||+||u_{k_j}||\leq{b||u_{k_j}}-u||_S+\displaystyle\frac{1}{k_j} \).

Tomando límite cuando \( j\rightarrow{+\infty} \) concluimos que \( ||u||=0 \) , de donde \( u=\theta \) que es una contradicción. Esta contradicción muestra el teorema.

Prácticamente todos los conceptos introducidos y por introducir, bien como resultados demostrados o a demostrar en estas notas, tienen su extensión y su validez inalteradas si sustituimos la norma que estamos utilizando por otra equivalente. En este sentido, el Teorema 1.4.8 nos dice que para esos hechos, podemos usar cualquier norma en \( \mathbb{R}^n \). Continuaremos admitiendo que, salvo mención explícita lo contrario, que la norma adoptada en \( \mathbb{R}^n \) es la euclidiana. Esto tiene la ventaja de dejar un producto interno a nuestra disposición. Cuando sea conveniente, utilizaremos otra, que casi siempre será una de las llamadas usuales.

Terminamos esta sección con un ejemplo.

Ejemplo 1.4.1 Aplicando el teorema anterior, mostraremos que una sucesión de polinomios \( p_k(t)=a_{k0}+a_{k1}t+\ldots +a_{kn}t^n \), todos de grado menor o igual que \( n \), converge para el polinomio \( p(t)=a_0+a_1+\ldots +a_nt^n \) uniformemente en el intervalo no degenerado \( [\alpha,\beta] \), si, y solamente si, para cada \( i=0,1,...,n \), la sucesión \( (a_{ki})_{k\in{\mathbb{N}}} \) de los coeficientes de \( t^i \) en los polinomios \( p_k \) converge para el coeficiente \( a_i \) de \( t^i \) en el polinomio \( p \). En efecto, sabemos que existe un isomorfismo entre \( \mathbb{R}^{n+1} \) y el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor igual a \( n \), el cual hace corresponder a cada punto \( x=(a_0,...,a_n)\in{\mathbb{R}^{n+1}} \) el polinomio \( p_x(t)=a_0+a_1t+\ldots +a_nt^n \). Se ve fácilmente que \(  \left\|{x}\right\|=sup\{|p_x(t)|;t\in{[\alpha,\beta]}\} \) define una norma en \( \mathbb{R}^{n+1} \). En relación a esta norma, \( x_k\rightarrow{a} \) en \( \mathbb{R}^{n+1} \) significa que \( p_{x_k}\rightarrow{p_a} \) uniformemente en el intervalo \( [\alpha,\beta] \). Como dos normas cualesquiera en \( \mathbb{R}^{n+1} \) son equivalentes, haciendo \( x_k=(a_{k0},a_{k1},...,a_{kn}) \) y \( a=(a_0,a_1,...,a_n) \) tenemos
\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{a_{ki}}=a_i \) para todo \( i \) \( \Leftrightarrow{\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_k}}=p \) uniformemente en \( [\alpha,\beta] \).

Fin de la sección 1.4.
Spoiler
Ejercicios 1.4.

1.4.1. Probar que si existen sucesiones de puntos \( (x_k), (y_k) \) en \( \mathbb{R}^n \), con \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \) , \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{y_k}=b \) y \(  \left\|{y_k-a}\right\|<r< \left\|{x_k-b}\right\| \) para todo (\( k\in{\mathbb{N}} \)), entonces \(  \left\|{a-b}\right\|=r \)

1.4.2. Probar que las siguientes afirmaciones respecto a una sucesión \( (x_k) \) de puntos de \( \mathbb R ^n \) son equivalentes:
(a) \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{|x_k|}=+\infty \);
(b) \( (x_k) \) no posee sucesión convergente;
(c) Para todo conjunto acotado \( L\subseteq{\mathbb{R}^n} \), el conjunto de los índices \( k \) tales que \( x_k\in{L} \) es finito.

1.4.3. Si \( b\in{B(a;r)\subseteq{\mathbb{R}^n}} \) y \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=b \) probar que existe \( k_0\in{\mathbb{N}} \) tal que si \( k>k_0 \) entonces \( x_k\in{B(a;r)} \).convexo.

1.4.4.

1.4.5.

1.4.6.

1.4.7.

1.4.8.
[cerrar]

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23 Febrero, 2010, 04:24 am
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1.5 Puntos de acumulación

Definición 1.5.1. Sea \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \). Un punto \( a\in{\mathbb{R}^n} \), se llama punto de acumulación del conjunto \( X \) cuando toda bola abierta de centro \( a \) contiene algún punto de \( X \), diferente del punto \( a \). En otros términos, para todo \( \varepsilon >0 \), debe existir \( x\in{X} \) tal que \( 0< \left\|{x-a}\right\|<\varepsilon \).

Ejemplo 1.5.1. Sea \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) la bola abierta de centro en el origen y radio \( r>0 \). Todo punto \( a\in{\mathbb{R}^n} \) con \(  \left\|{a}\right\|=r \) es punto de acumulación de \( X \). En efecto, dado \( \varepsilon >0 \), podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que \( \varepsilon<2r \). Entonces el punto \( x=\left({1-\cfrac{\varepsilon}{2r}}\right)a \) pertenece a la bola \( X \), es diferente de \( a \) y se tiene \(  \left\|{a-x}\right\|=\cfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon. \)

Definición 1.5.2. El conjunto de los puntos de acumulación de un conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \) será representado por la notación \( X' \), \( X' \) se llama el conjunto derivado de \( X \)

Vimos en el ejemplo 1.5.1 que todo punto de la frontera de la bola es punto de acumulación de la bola abierta, es decir, los puntos de acumulación de un conjunto no necesariamente pertenecen al conjunto.

Teorema 1.5.1. Dados \( X\subset{\mathbb{R}^n} \) y \( a\in{\mathbb{R}^n} \), las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) \( a \) es punto de acumulación de \( X \).
(2) Existe una sucesión de puntos \( x_k\in{X} \), con \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \) y \( x_k\neq{a} \) para todo \( k\in{\mathbb{N}} \).
(3) Toda bola de centro \( a \) contiene una infinidad de puntos de \( X \).

Demostración:

\( \boxed{1)\Rightarrow{2)}} \) Por definición para cualquier \( \varepsilon >0 \) existe \( x_{\varepsilon}\in{X} \) tal que \( 0<\|x_{\varepsilon}-a\|<\varepsilon \). Sea \( k\in{\mathbb{N}} \) arbitrario, y tomemos \( \varepsilon=1/k \), entonces existe \( x_{\varepsilon}=x_k\in{X} \) tal que \( 0<\|x-a\|<1/k \). Luego, \( x_k\neq{a} \) y \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \).

\( \boxed{2)\Rightarrow{3)}} \)
Para cualquier \( k_0\in{\mathbb{N}} \), el conjunto \( \{x_{k_0},x_{k_0+1},...,\}=\{x_k;k\geq{k_0}\} \) es infinito, pues en caso contrario existe un término \( x_k \) que se repetiría infinitas veces, creando así una subsucesión de una sucesión convergente para el límite \( x_k \) que tiene que ser diferente de \( a \) por hipótesis. Lo que es una contradicción.

\( \boxed{3)\Rightarrow{1)}} \)
Es inmediato.

Corolario. Si \( X'\neq{\emptyset} \), entonces \( X \) es infinito.

Lo recíproco no es cierto, es decir, un conjunto infinito puede no poseer puntos de acumulación. Tal es el caso del conjunto de los número enteros \( \mathbb{Z} \). Dejo la verificación de esto como ejercicio para recordar la definición.

Teorema 1.5.2. Si \( X\subseteq{\mathbb{R}\n} \) es infinito y acotado, entonces \( X'\neq{\emptyset} \).
Demostración:

Como \( X \) es infinito, entonces posee un subconjunto numerable, sea este \( \{x_1,x_2,...,x_k,...\} \). De esta manera obtenemos una sucesión \( (x_k) \) acotada, y por el Teorema 1.4.5.(Bolzano-Weierstrass) admite una subsucesión convergente a un punto \( a\in{\mathbb{R}^n} \). Puesto que los términos de la sucesión son 2 a 2 distintos, y puede suceder que dicho límite, \( a \) pertenezca a la sucesión, a lo más uno de ellos es igual a \( a \). Eliminando dicho término si es necesario, obtenemos una sucesión de puntos de \( X \), todos diferentes de \( a \) con \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \). Por el Teorema 1.5.1(2) \( a \) es punto de acumulación de \( X \) y se tiene lo pedido.

Definición 1.5.3. Sea \( a\in{X} \) un punto que no es de acumulación, decimos que \( a \) es un punto punto aislado de \( X \). Para que esto suceda, es necesario y suficiente que exista \( \varepsilon >0 \) tal que \( B(a;\varepsilon)\cap X=\{a\} \).

Cuando todo punto \( a\in{X} \) es aislado, decimos que \( X \) es un conujnto discreto.

Fin de la sección 5.

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27 Febrero, 2010, 06:32 pm
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1.6 Aplicaciones continuas

Definición 1.6.1. Sea \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) una aplicación definida en el conjunto \( X\subset\mathbb R^n \). Se dice que \( f \) es continua en el punto \( a\in X \) cuando para cualquier \( \varepsilon >0 \) dado, se puede obtener \( \delta>0 \) tal que todo punto \( x\in X \) cuya distancia al punto \( a \) sea menor que \( \delta \) es transformado por \( f \) en un punto \( f(x) \) que dista de \( f(a) \) menos que \( \varepsilon  \). En lenguaje simbólico.

\( \varepsilon>0 \), existe \( \delta>0 \); \( x\in X \), \( \|x-a\|<\delta\Rightarrow{\|f(x)-f(a)\|}<\varepsilon \).

Observaciones 1.6.1.

(1) En términos de bolas, la continuidad de \( f \) en el punto \( a \) se resumen así: para toda bola abierta \( B' \) de centro \( f(a) \) en \( \mathbb R^n \) existe una bola abierta \( B \) de centro \( a \) en \( \mathbb R^n \) tal que \( f(B\cap X)\subset B' \).

(2) Si \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) es continua en todos los puntos del conjunto \( X \), se dice simplemente que \( f \) es una aplicación continua.
 
(3) La continuidad es un fenómeno local: si cada punto \( a\in X \) es centro de una bola \( B \) tal que la restricción \( f|(B\cap X) \) es continua, entonces \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) es continua.

(4) Aunque la definición de continuidad de una aplicación \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \)(\( X\subset \mathbb R^m \)) hace uso de una norma en \( \mathbb{R}^m \) y otra en  \( \mathbb{R}^n \)(ambas indicadas arriba con la misma notación), se sigue de la definición de normas equivalentes y del Teorema 1.4.8. que la continuidad (o descontinuidad) de \( f \) en un punto persiste si alteramos una de esas normas o ambas.

(5) Si \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) es continua, entonces para \( Y\subset X \), la restricción \( f|Y \) también es una aplicación continua.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE 8

Si \( a \) es un punto aislado del conjunto \( X \), entonces TODA aplicación \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) es necesariamente continua en el punto \( a \). En efecto, existe \( \delta>0 \) tal que \( B(a;\delta)\cap X=\{a\} \). Así, para cualquier \( \varepsilon >0 \) dado, tomamos este valor de \( \delta \) y tomemos \( x\in X \) con \( \|x-a\|<\delta\Rightarrow{x=a\Rightarrow{\|f(x)-f(a)\|=0<\varepsilon}} \).

Ejemplo 1.6.1. (Funciones Lipschitzianas). Dado \( X\subset \mathbb R^m \), una aplicación \( f:X\rightarrow \mathbb R^n \) se dice Lipschitziana cuando existe \( k>0 \) llamada Constante de Lipschitz de \( f \) tal que, para cualesquiera \( x,y\in X \), se tiene \( \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\| \). Toda aplicación Lipschitz es continua: dado \( \varepsilon >0 \) basta tomar \( \delta=\varepsilon/k \). Entonces \( \|x-a\|<\delta\Rightarrow{\|f(x)-f(a)\|\leq{k\|x-a\|}}<k\cdot\varepsilon/k=\varepsilon \). Ser o no ser Lipschitziana es independiente de las normas.

Ejemplo 1.6.2. Toda transformación lineal \( T:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^n \) es Lipschitziana. En efecto, sea \( c=\mbox{máx}\{\|T(e_1)\|,...,\|T(e_1)\|\} \). Entonces, para todo \( x=(x_1,...,x_m)\in\mathbb R^m \) tenemos
\( \|T(x)\|= \left\|{T\left({\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_ie_i}}\right)}\right\|= \left\|{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_iT(e_i)}}\right\|\leq{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\|x_i\|\cdot\|T(e_i)\|}}\leq c\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^n{\|x_i\|} \).

Tomando en \( \mathbb R^m \) la norma de la suma, tenemos \( \|T(x)\|\leq c\|x\| \) para todo \( x\in\mathbb R^m \). Entonces para
\( x,y\in\mathbb R^m \) arbitrarios, vale
\( \|T(x)-T(y)\|=\|T(x-y)\|\leq{c\|x-y\|} \).
Así, \( T \) cumple la condición de Lipschitz, con una constante igual a la mayor de las normas de los vectores columnas de su matriz. En particular, \( T \) es continua.

Ejemplo 1.6.3. Sea ahora \( \varphi:\mathbb R^m\times\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^p \) una aplicación bilineal. Salvo en el caso trivial en que es idénticamente nula, \( \varphi \) no es Lipschitziana más, como mostraremos ahora, goza de esa propiedad en cada parte acotada de \( \mathbb R^m\times\mathbb R^n=\mathbb R^{n+m} \). Consideremos en este espacio la norma de la suma y sea \( c \) el mayor de los números \( \|\varphi(e_i,e_j)\| \), donde \( 1\leq i \leq m \), \( 1\leq j\leq n \).
Para cuales quiera \( x\in\mathbb R^m \), \( y\in\mathbb R^n \), tenemos
\( x=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_ie_i} \), \( y=\displaystyle\sum_{j=1}^m{y_je_j} \), \( \|x\|\|y\|=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n,m}{\|x_i\|\|y_j\|} \) y \( \varphi(x,y)=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n,m}x_iy_j\varphi(e_i,e_j) \).
Luego
\( \|\varphi(x,y)\|\leq\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n,m}\|x_i\|\|y_j\|\|\varphi(e_i,e_j)\|\leq c\cdot\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n,m}\|x_i\|\|y_j\|=c\cdot\|x\|\|y\|. \)

Entonces, dados arbitrariamente \( z=(x,y) \) y \( z'=(x',y') \) en \( \mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n \), vale
\( \|\varphi(z)-\varphi(z')\|=\|\varphi(x,y-y')+\varphi(x-x',y')\|\leq{\|\varphi(x,y-y')\|+\|\varphi(x-x',y')\|}\leq{c(\|x\|\|y-y'\|+\|y'\|\|x-x'\|)}. \)

Si \( z,z' \) pertenecen ambos a la bola \( B[0;r] \) en \( \mathbb{R}^{n+m} \), tenemos en particular \( \|x\|\leq r \) y \( \|y'\|\leq r \). Así:
\( \|\varphi(z)-\varphi(z')\|\leq{c\cdot r\cdot(\|x-x'\|+\|y-y'\|)}=c\cdot r\cdot \|z-z'\|. \)

Por tanto, \( \varphi \) cumple la condición de Lipschitz (con constante \( c\cdot r \)) en cada bola \( B[0;r] \) del espacio \( \mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{n+m} \). En particular, toda aplicación bilineal es continua. Casos especiales de aplicaciones bilineales son:

(1) La multiplicación de números reales. \( \varphi:\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}} \), \( \varphi(x,y)=xy \).

(2) La multiplicación de un escalar por un vector. \( \varphi:\mathbb{R}\times{\mathbb{R}^n}\rightarrow{\mathbb{R}^n} \), \( \varphi(\alpha,x)=\alpha\cdot x \)

(3) El producto interno. \( \varphi:\mathbb{R}^n\times{\mathbb{R}^n}\rightarrow{\mathbb{R}} \), \( \varphi(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i \).

(4) La multiplicación de matrices. \( \varphi:\mathbb{R}^{m\times n}\times{\mathbb{R}^{n\times p}}\rightarrow{\mathbb{R}^{m\times p}} \), \( \varphi(X,Y)=X\cdot Y \).

(5) \( \varphi:\mathcal{L}(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)\times \mathbb{R}^m\rightarrow{\mathbb{R}^n \), \( \varphi(T,x)=T(x). \).

Se sigue que todas estas aplicaciones son continuas.

Definición 1.6.2. Sea \( X\subset\mathbb R^m \), una aplicación \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \) se dice inmersión isométrica si preserva las distancias, es decir, se cumple
\( \|f(x)-f(y)\|=\|x-y\| \) para cualesquiera \( x,y\in X \).

Observaciones 1.6.2.

(1) Una inmersión isométrica \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \) siempre es inyectiva, pues si \( f(x)=f(y) \), entonces \( \|x-y\|=\|f(x)-f(y)\|=0 \), de donde \( x=y \).

(2) Cuando \( m<n \), un ejemplo clásico de inmersión es la función \( f:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^n \) dada por \( f(x)=f(x_1,...,x_m)=(x_1,...,x_m,0,...,0) \).

(3) Una inmersión isométrica \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \), con \( f(X)=Y \), se llama una isometría de \( Y \) sobre \( X \) sobre \( Y \). Su inversa, \( f^{-1}:Y\rightarrow\mathbb R^m \) también es una isometría de \( Y \) sobre \( X \).

Ejemplo 1.6.4. Ejemplos simples de isometrías son las traslaciones, dado un vector fijo \( a\in\mathbb R^m \), se define \( T_a:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^m \) por: \( T_a(x)=x+a \). Es evidente que toda traslación \( T_a \) es biyectiva, pues \( T_{-a}=(T_a)^{-1} \). Las traslaciones no son aplicaciones lineales, salvo \( T_0 \), que es la aplicación identidad.

Ejemplo 1.6.4. Una transformación lineal \( T:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^m \) es una isometría si, y solamente si es ortogonal, es deir, si \( <T(x),T(y)>=<x,y> \), para \( x,y\in\mathbb R^m \) arbitrarios.

Definición 1.6.3. Sea \( X\subset\mathbb R^m \), una aplicación \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \) se dice contracción débil si es una aplicación Lpischitziana con \( k=1 \), o sea, si

\( \|f(x)-f(y)\|\leq\|x-y\| \) para cualesquiera \( x,y\in X\subset\mathbb R^m \).

Ejemplo 1.6.5. Ejemplos de contracciones débiles son:
(a) La suma de vectores: \( S:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^n \) definida por \( S(x,y)=x+y \). En efecto, tomemos la norma de la suma en \( \mathbb R^n\times\mathbb R^n=\mathbb R^{2n} \), luego
\( \|S(x,y)-S(x',y')\|_S=\|(x+y)-(x'+y')\|_S=\|(x-y)+(y-y')\|_S\leq \|x-x'\|_S+\|y-y'\|_S=\|(x,y)-(x',y')\|_S. \)

(b) Las proyecciones \( \pi_i:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R \), defindas por \( \pi_i(x)=x_i \), donde \( x=(x_1,...,x_m) \). Se tiene \( \|\pi_i(x)-\pi_i(y)\|=\|x_i-y_i\|\leq\|x-y\| \), y podemos tomar en \( \mathbb R^m \) cualquiera de las tres normas usuales.

(c) La norma \( \|\cdot|\ :\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R \), su verificación lo dejamos como ejercicio. Resulta de ahí, que la distancia \( d:\mathbb R^m\times\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R \), definida por \( d(x,y)=\|x-y\| \), también es una contracción si tomamos la norma de la suma.

En particular, las aplicaciones consideradas en (a),(b),(c) son continuas.

Si cambiamos la norma de \( \mathbb R^m \) o de \( \mathbb R^n \), una contracción débil continúa siendo Lipschitziana(y por tanto continua) mas la constante cambia y dicha contracción débil puede dejar de serlo.

Teorema 1.6.1. La composición de dos aplicaciones continuas es continua. Más explícitamente, dados \( X\subseteq{\mathbb{R}^m} \), \( Y\subseteq{\mathbb{R}^n} \), \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) continua en el punto \( a\in{X} \), con \( f(X)\subseteq{Y} \), \( g:Y\rightarrow{\mathbb{R}^p} \) continua en el punto \( b=f(a) \), entonces \( g\circ{f}:X\longrightarrow{\mathbb{R}^p} \) es continua en el punto \( a \).
Demostración:
Tomemos un \( \varepsilon>0 \) arbitrario, puesto que \( g \) es continua, existe un número \( \eta>0 \) tal que \( y\in Y \), \( \|y-f(a)\|<\eta\Rightarrow \|g(y)-g(f(a))\|<\varepsilon \). Pero a su vez, dado ese \( \eta>0 \) la continuidad de \( f \) nos da un \( \delta>0 \) tal que \( x\in X \) con \( \|x-a\|<\delta\Rightarrow\|f(x)-f(a)\|<\eta \). Por tanto, si \( x\in X \) con \( \|x-a\|<\delta \) se tiene \( \|g(f(x))-g(f(a))\|<\varepsilon \), luego \( g\circ f \) es continua en el punto \( a \).

Sea \( X\subset\mathbb R^m \). Dar una aplicación \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \) es lo mismo que dar \( n \) funciones reales \( f_1,...,f_n:X\rightarrow\mathbb R \), definidas por \( f_i=\pi_i\circ f \), las cuales son llamadas las coordenadas de la aplicación \( f \). Para todo \( x\in X \), tenemos \( f(x)=(f_1(x),...,f_n(x)) \). Para indicar que las \( f_i \) son las funciones coordenadas de \( f \), se escribe \( f=(f_1,...,f_n) \).

Teorema 1.6.2. Una aplicación \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \), definida en el conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^m} \), es continua en un punto \( a\in{X} \) si, y solamente si, cada una de sus funciones coordenadas \( f_i=\pi_i\circ{f}:X\rightarrow{\mathbb{R}} \) es continua en el punto \( a \).
Demostración:
Sabemos que las proyecciones son continuas, luego la continuidad de \( f \) implica la continuidad de las \( f_i \) por el teorema anterior. Recíprocamente, si cada \( f_i:X\rightarrow\mathbb R^n \) es continua en el punto \( a\in X \), dado \( \varepsilon>0 \), existen números \( \delta_1,...,\delta_n>0 \) tales que si \( x\in X \) con \( \|x-a\|<\delta_i\Rightarrow\|f_i(x)-f_i(a)\|<\varepsilon \). Tomemos en \( \mathbb R^n \) la norma del máximo. Sea \( \delta \) el menor de los \( \delta_i \). Entonces si \( x\in X \) con \( \|x-a\|<\delta\Rightarrow \|f(x)-f(a)\|_M<\varepsilon \). Luego \( f \) es continua en el punto \( a \).

Corolario. Dadas \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^m} \) y \( g:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \), sea \( (f,g):X\rightarrow{\mathbb{R}^m\times \mathbb R^n}=\mathbb{R}^{m+n} \) definida por \( (f,g)(x)=(f(x),g(x)) \). Entonces, \( (f,g) \) es continua si, y solamente si, \( f \) y \( g \) son ambas continuas.
Demostración:
Si \( f_1,...,f_m \) son las funciones coordenadas de \( f \) y \( g_1,...,g_n \) las de \( g \), entonces las funciones coordenadas de \( (f,g) \) son \( f_1,...,f_m,g_1,...,g_n \).

Observación 1.6.3.

(a) Los Teorema 1.6.1. y Teorema 1.6.1. son instrumentos de gran utilidad para establecer la continuidad de ciertas aplicaciones. Veamos algunos ejemplos para mostrar como se hace esto:

Ejemplo 1.6.6. Sean \( X\subset\mathbb R^m \) y \( f,g:X\rightarrow\mathbb R^n \), \( \alpha:X\rightarrow\mathbb R \) aplicaciones continuas. Entonces también son continuas las aplicaciones:

(1) \( f+g:X\rightarrow\mathbb R^n \), \( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \).

(2) \( \alpha\cdot f:X\rightarrow\mathbb R^n \), \( (\alpha\cdot f)(x)=\alpha(x)\cdot f(x) \).

(3) \( <f,g>:X\rightarrow\mathbb R \),
\( <f,g>(x)=<f(x),g(x)> \).

(4) \( 1/\alpha:X\rightarrow\mathbb R \),
\( (1/\alpha)(x)=1/\alpha(x) \), definida si \( 0\not\in{\alpha(X)} \).

En efecto, sean:
\( S:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n \), dada por \( S(x,y)=x+y \).
\( \varphi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n \), dada por \( \varphi(t,x)t\cdot x \).
\( \upsilon:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^ \), dada por \( \upsilon(x,y)=<x,y> \).
\( \rho:\mathbb{R}-\{0\}\rightarrow\mathbb{R}^m \) dada por \( \rho(t)=1/t \).

Entonces, utilizando la notación \( (f,g):X\rightarrow\mathbb R^n\times\mathbb R^n \) para indicar que \( (f,g)(x)=(f(x),g(x)) \), tenemos:
\( f+g=s\circ(f,q) \).
\( \alpha\cdot f=\varphi\circ(\alpha,f) \).
\( <f,g>=\upsilon\circ(f,g) \).
\( 1/\alpha=\rho\circ\alpha \).

Sabemos que \( s,\varphi,\upsilon \) y \( \rho \) son continuas, entonces por los teoremas 1.6.1. y 1.6.2. se demuestran las afirmaciones.

Ejemplo 1.6.7. Sea \( f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R \) dada por \( f(x,y)=(\sen x)\cdot e^{x^2+y^3} \).Probemos que \( f \) es continua. Vemos que \( f \) es el producto de las funciones \( g:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R \) y \( h:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R \) donde \( g(x,y)=\sen x \) y \( h(x,y)=e^{x^2+y^3} \). Por un lado tenemos \( g=\sen\circ\pi_1 \), donde \( \pi_1:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R \) es la proyección que sabemos que es continua, y la función \( \sen:\mathbb R\rightarrow\mathbb R \) que también es continua. Por otro lado, \( h=\exp\circ\varphi \), con \( \exp (t)=e^t \) y  \( \varphi(x,y)=x^2+y^3 \). Solo nos queda probar que \( \varphi:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R \) es continua, pero \( \varphi \) es la suma de las funciones \( (x,y)\mapsto x^2 \) y \( (x,y)\mapsto y^3 \). La primera de estas es la composición  \( \upsilon\circ\pi_1 \), donde \( \upsilon (x)=x^2 \) y la segunda es la composición \( \zeta\circ\pi_2 \), donde \( \zeta (y)=y^3 \). Así, vemos que \( \varphi \) es continua, y por lo tanto, \( f \) lo es.

Observaciones 1.6.4.

(1) En la práctica, verificaciones rutinarias como la que hemos hecho arriba son sustituidas por la simple observación de que, para obtener \( f(x,y) \) se presentan las coordenadas \( x \) e \( y \) a operaciones definidas por funciones continuas.

(2) Dentro de este punto de vista, la verificación de que una aplicación lineal \( T:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^n \) es continua se hace así: cada función coordenada \( T_i:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R \), \( i=1,...,n \) de \( T \) es un funcional lineal. Ahora, dado un funcional lineal \( f:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R \), se tiene \( f(x)=a_1x_+\ldots+a_mx_m \), donde \( a_i=f(e_i) \). Luego, \( f \) es una combinación lineal, con coeficientes constantes, de las proyecciones \( x\mapsto x_i \) y por tanto es continua. Por tanto, tenemos que \( T \) es continua.
 
Teorema 1.6.3. Una aplicación \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \), definida en el conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^m} \), es continua en un punto \( a\in{X} \) si, y solamente si, para toda sucesión de puntos \( x_k\in{X} \) con \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \), se tiene \( \displaystyle\lim_{k\to{+}\infty}{f(x_k)}=f(a) \).
Demostración:
Supongamos que \( f \) es continua en el punto \( a \) y \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \). Dado \( \varepsilon>0 \), existe \( \delta>0 \) tal que \( x\in X \), \( \|x-a\|<\delta\Rightarrow{\|f(x)-f(a)\|<\varepsilon} \). Como \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \), existe \( k_0\in\mathbb N \) tal que si \( k>k_0\Rightarrow{\|f(x_k)-f(a)\|<\varepsilon} \) lo que prueba que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f(x_k)}=f(a) \).
Para demostrar la recipróca se procede por contradicción y se deja como ejercicio.

Observación 1.6.5.

(1) En vista del Teorema 1.6.3., el corolario del Teorema 1.4.4. es otra manera de decir que la suma, la multiplicación por un escalar y el producto interno en \( \mathbb{R}^n \) son operaciones continuas.

Definición 1.6.4. Una aplicación \( f:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^n \) se dice continua en relación a la variable \( x_i \), (\( 1\leq i\leq m \)) cuando, para cada \( (a_1,...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_m) \) fijo, la "aplicación parcial" \( t\mapsto f(a_1,...,a_{i-1},t,a_{i+1},...,a_m) \) es continua.

Observaciones 1.6.6.

(1) Toda aplicación continua \( f:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^n \) es separadamente continua en relación a cada una de las variables, pues sus aplicaciones parciales son composiciones de \( f \) con una aplicación continua del tipo \( t\mapsto (a_1,..,a_{i-1},t,a_{i+1},...,a_m) \).

(2) La recíproca es falsa, la función \( f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R \), definida por \( f(x,y)=\cfrac{xy}{x^2+y^2} \) si \( x^2+y^2\neq 0 \) y \( f(0,0)=0 \).

Veamos una noción de gran utilidad teórica es la de continuidad uniforme, que pasamos a definir.

Definición 1.6.5. Una aplicación \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \), definida en \( U\subset\mathbb R^m \), se dice uniformemente continua, cuando para todo \( \varepsilon>0 \) dado, se puede obtener \( \delta>0 \) tal que si \( x,y\in X \) con \( \|x-y\|\Rightarrow \|f(x)-f(y)\|<\varepsilon \).

Ejemplo 1.6.8. Toda aplicación Lipschitziana \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \) es uniformemente continua. Como \( \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\| \), para \( x,y\in X \) arbitrarios, dado \( \varepsilon>0 \), tomamos \( \delta=\cfrac{\varepsilon}{k} \). Entonces \( \|x-y\|\leq \delta\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\leq k(\varepsilon/k)= \).

Observaciones 1.6.7.

(1) En particular, toda aplicación \( T:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^n \) es uniformemente continua, lo mismo sucede con la restricción de una aplicación bilineal \( \varphi:\mathbb R^m\times\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^p \) a un subconjunto acotado \( X\subset\mathbb R^m\times\mathbb R^n \).

(2) No toda función uniformemente continua es Lipschitziana, como lo muestra la función \( f:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb R \) definida por \( f(x)=\sqrt[ ]{x} \).

(3) La composición de dos aplicaciones uniformemente continuas es uniformemente continua.

(4) Una aplicación \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \) es uniformemente continua si, y solamente si, sus funciones coordenadas \( f_1,...,f_n:X\rightarrow\mathbb R^ \) lo son.

Teorema 1.6.4. Una aplicación \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \), es uniformemente continua si, y solamente si, para toda para de sucesiones \( (x_k),(y_k) \) en \( X \), con \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(x_k-y_k)}=0 \) se tiene \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(f(x_k)-f(y_k))}=0 \).
Demostración:
\( \boxed{\Rightarrow{}} \)
Supongamos que \( f \) es uniformemente continua y sean \( (x_k),(y_k) \) sucesiones en \( X \), con \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(x_k-y_k)}=0 \). Dado cualquier \( \varepsilon>0 \), por la definición de continuidad uniforme, existe \( \delta>0 \) tal que si \( x,y\in X \) con \( \|x-y\|<\delta\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|<\varepsilon \). Para ese \( \delta \), existe \( k_0\in\mathbb N \) tal que si \( k>k_0\rightarrow\|x_k-y_k\|<\delta \). Luego, si \( k>k_0\Rightarrow\|f(x_k)-f(y_k)\|<\varepsilon \). De donde \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(f(x_k)-f(y_k))}=0 \).

\( \boxed{\Leftarrow{}} \)
Supongamos que \( f \) no es uniformemente continua, entonces existe \( \varepsilon>0 \) tal que para todo \( \delta>0 \) tal que \( \|x-y\|<\delta \) y \( \|f(x)-f(y)\|\geq\varepsilon \). Tomando sucesivamente \( \delta=1,1/2,1/3,...,1/k,... \) obtenemos, para cada \( k\in\mathbb N \) un para de puntos \( x_k,y_k\in X \) con \( \|x_k-y_k\|<1/k \) y \( \|f(x_k)-f(y_k)\|\geq \varepsilon \). De donde \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(x_k-y_k)}=0 \), pero no se cumple \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(f(x_k)-f(y_k))}=0 \), lo que contradice la hipótesis. Por tanto se tiene el resultado.

Ejemplo 1.6.9. La función \( f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R \) definida por \( f(x)=\cos x^2 \) no es uniformemente continua. Es suficiente tomar \( x_k=\sqrt[ ]{(k+1)\pi} \) y \( y_k=\sqrt[ ]{k\pi} \). Luego
\( x_k-y_k=\cfrac{(\sqrt[ ]{(k+1)\pi}-\sqrt[ ]{k\pi})(\sqrt[ ]{(k+1)\pi}+\sqrt[ ]{k\pi})}{\sqrt[ ]{(k+1)\pi}+\sqrt[ ]{k\pi}}=\cfrac{\pi}{\sqrt[ ]{(k+1)\pi}+\sqrt[ ]{k\pi}} \).

Luego, \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(x_k-y_k)}=0 \), pero \( \cos(x_k^2)=\cos(k+1)\pi=\pm{1} \) y \( \cos(y_k^2)=\cos(k\pi)=\mp{1} \), de donde \( \|f(x_k)-f(y_k)\|=2 \), para todo \( k\in\mathbb{N} \). Por tanto no se tiene \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{(f(x_k)-f(y_k))}=0 \).

Fin de la sección 1.6(Al fin!!!)


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28 Febrero, 2010, 08:15 am
Respuesta #7

enloalto

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1.7 Homeomorfismos

Definición 1.7.1. Dados dos conjuntos \( X\subseteq{\mathbb{R}^m} \) y \( Y\subset \mathbb R^n \), un homeomorfismo entre \( X \) e \( Y \) es una biyección continua \( f:X\rightarrow Y \), cuya inversa \( f^{-1}:Y\rightarrow{X} \) también es continua. Cuando existe un homeomorfismo entre \( X \) e \( Y \), se dicen que son conjuntos homeomorfos.

Observaciones 1.7.1.

(1) Una biyección \( f:X\rightarrow Y \) puede ser continua sin que su inversa lo sea. Por ejemplo, la aplicación \( f:[0,2\pi)\rightarrow S^1 \), del intervalo semiabierto \( [0,2\pi) \) sobre el círculo unitario \( S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2;x^2+y^2=1\} \), definida por \( f(t)=(\cos t, \sen t) \). Por el Teorema 1.6.2, \( f \) es continua. Además de eso, \( f \) evidentemente es biyectiva. Pero su inversa \( f^{-1}:S^1\rightarrow [0,2\pi)} \) es discontinua en el punto \( p=(1,0) \). En efecto, para cada \( k\in\mathbb N \) sean \( t_k=2\pi-1/k \) y \( z_k=f(t_k) \). Entonces \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{z_k}=p \), pero no es verdada que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f^{-1}(z_k)}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{t_k}=2\pi\neq 0=f^{-1}(p) \).

(2) Un ejemplo simple de homeomorfismo de \( \mathbb R^n \) sobre si mismo es dado por una aplicación lineal invertible \( T:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n \), pues su inversa \( T^{-1}:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n \) es lineal, y por tanto continua.

(3) La aplicación compuesta de dos homeomorfismos es un homeomorfismos. También el inverso de un homeomorfismo es un homeomorfismo.

(4) Los homeomorfismos desempeñan en la Topología un papel análogo al de las congruencias o movimientos rígidos en el Geometría Euclidiana: dos conjuntos homeomorfos son indistinguibles desde el punto de vista topológico.

Ejemplo 1.7.1. Las Traslaciones. \( T_a:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^m \), definida por \( T_a(x)=x+a \). Cada \( T_a \) es una isometría, luego es una aplicación continua. Como \( (T_a)^{-1}=T_{-a} \) vemos que su inversa también es continua.

Ejemplo 1.7.2. Las Homotecias. \( H_\lambda:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^m \), \( H_\lambda(x)=\lambda\cdot x \), con \( 0\neq \lambda\in\mathbb R \). Cada homotecia \( H
_\lambda \) es una transformación lineal invertible, con \( (H_\lambda)^{-1}=H_{\lambda^{-1}} \).

Ejemplo 1.7.3. Dos bolas abiertas cualesquiera en \( \mathbb R^m \) son homeomorfas, lo mismo sucede con dos bolas cerradas arbitrarias en \( \mathbb R^m \) o dos esferas en el mismo espacio euclidiano. En efecto, dadas \( B(a;r) \) y \( B(b;s) \), dos bolas abiertas en \( \mathbb R^m \), consideremos el homeomorfismo \( \varphi:\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^m \), dado por \( \varphi=T_b\circ H_{\cfrac{s}{r}}\circ T_{-a} \). Para cada \( x\in \mathbb R^m \), tenemos \( \varphi(x)=b+\cfrac{s}{r}(x-a) \). Esto nos muestra que \( \varphi \) consiste primero en trasladar \( B(a;r) \) de modo que el centro sea ahora el origen, luego se multiplican todos los vectores con origen en \( \theta \) por \( s/r \) de modo que los vectores de longitud menor que \( r \) tengan ahora longitud menor que \( s \). Finalmente, se traslada la bola \( B(0;s) \) de tal manera que su nuevo centro sea en el punto \( b \). Luego, el homemorfismo \( \varphi \) transforma \( B(a;r) \) en \( B(b;s) \) y por restricción, define un homeomorfismo entre esas bolas. Note que \( \varphi|{B[a;r]} \) también es un homeomorfismo sobre la bola cerrada \( B[b;s] \). Análogamente, \( \varphi \) transforma de manera homeomorfa la esfera \( S[a;r] \) en la esfera \( S[b;s] \).

Ejemplo 1.7.4. Toda bola abierta en \( \mathbb R^m \) es homeomorfa al espacio euclidiano \( \mathbb R^m \) Como dos bolas en \( \mathbb R^m \) son siempre homeomorfas, basta establecer un homemorfismo entre \( \mathbb R^m \) y la bola unitaria \( B(0;1) \), de centro en el origen y radio 1. Sea \( f:\mathbb R^m\rightarrow B \) y \( B\rightarrow\mathbb R^m \) definidas por:
\( f(x)=\cfrac{x}{1+\|x\|} \) y \( g(y)=\cfrac{y}{1-\|y\|} \).
Evidentemente, \( f \) y \( g \) son continuas. Se verifica fácilmente que \( g(f(x))=x \) y \( f(g(y))=y \) para todo \( x\in\mathbb R^m \) y todo \( y\in B \). Luego, \( f \) y \( g \) son homeomorfismos, uno siendo el inverso del otro.

Ejemplo 1.7.5. El gráfico de una aplicación continua Sea \( f:X\mathbb^n \) una aplicación continua, definida en el conjunto \( \mathbb R^m \). Su gráfico es el conjunto \( G\subset\mathbb R^m\times \mathbb R^n=\mathbb R^{m+n} \), formado por los puntos \( (x,f(x)) \), donde \( x\in X \). Afirmamos que el dominio \( X \) y el gráfico \( G \) de la aplicación continua \( f \) son homeomorfos. Basta considerar \( \widehat{f}:X\rightarrow G \), definida por \( \widehat{f}(x)=(x,f(x)) \). Por el corolario del teorema 1.6.2., \( \widehat{f} \) es continua. Su inversa \( g:G\rightarrow X \), dada por \( g(x,f(x))=x \) es continua, pues es la restricción a \( G \) de la proyección \( \pi_1:\mathbb R^m\times\mathbb R^n\rightarrow \nmathbb R^m \). Como caso particular de este ejemplo tenemos:

Ejemplo 1.7.6. La Proyección Estereográfica

Ejemplo 1.7.7.








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04 Marzo, 2010, 04:25 pm
Respuesta #8

enloalto

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1.8 Límites

Definición 1.8.1. Sean \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) una aplicación definida en un conjunto \( X\subset \mathbb{R}^m \) y \( a\in{\mathbb{R}^m} \) un punto de acumulación de \( X \). Se dice que el punto \( b\in\mathbb{R}^n \) es el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende para \( a \) y se escribe
\( b=\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)} \),

para expresar lo siguiente:

Dado cualquier \( \varepsilon >0 \), se puede obtener \( \delta >0 \) tal que \( x\in{X} \), \( 0< \left\|{x-a}\right\|<\delta\Longrightarrow{\|f(x)-f(a)\|<\varepsilon} \).

Observaciones 1.8.1.
(1) Para que tenga sentido la afirmación \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}}=b \) no es necesario que \( a \) pertenezca a \( X \), osea, que \( f \) esté definida en el punto \( a \). Por el contrario, incluso si \( a \) pertenece al dominio de \( f \), el valor \( f(a) \) no desempeña papel alguno en la definición de límite: solo nos interesan los valores \( f(x) \) para \( x \) muy cercanos, pero diferentes, de \( a \).

(2) Cuando existe, el límite es único.

(3) La continuidad se puede definir en términos de límite: si el punto \( a\in X \) es aislado, entonces toda aplicación \( f:X\rightarrow \mathbb R^n \) es continua en el punto \( a \). Si, por ejemplo, \( a\in X' \), entonces \( f \) es continua en el punto \( a \) si, y solamente si, \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=f(a) \).

(4) Para que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=b \) es necesario y suficiente que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f(x_k)}=b \), para cualquier sucesión de puntos \( x_k\in X - \{a\} \) con \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \).

(5) De la observación anterior, podemos decir que: Para que exista \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)} \) es suficiente que exista \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f(x_k)} \), para cualquier sucesión de puntos \( x_k\in X - \{a\} \) con \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k}=a \).

(6) Vale para límites el análogo al Teorema 1.6.2:
Sea \( a \) un punto de acumulación del conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^m} \). Dada una aplicación \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) cuyas funciones coordenadas son  \( f_1,f_2,...,f_n:X\rightarrow{\mathbb{R}} \), se tiene \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=b \)  si, y solamente si, \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f_i(x)}=b_i \) para cada \( i=1,2,...,n \). Su demostración es la misma que en el Teorema 1.6.2.

(7) La noción de límite se relaciona con las operaciones del espacio vectorial \( \mathbb R^n \) del siguiente modo: Sean \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \),  \( a\in{X'} \), \( b,c\in{\mathbb{R}^n} \), \( f,g:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) y \( \alpha:X\rightarrow{\mathbb{R}} \) tales que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=b \), \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=c \), \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\alpha(x)}=\alpha_0 \). Entonces:

(i) \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{(f(x)+g(x))}=b+c \).

(ii) \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\alpha(x)\cdot f(x)}=\alpha_0\cdot b \).

(iii) \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{<f(x),g(x)>}=<b,c> \).

(iv) Además de eso, sea \( \varphi:\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^p\rightarrow{\mathbb{R}^p} \) bilineal. Dadas ahora \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^m} \), \( g:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) con \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=0 \) y \( g \) es acotada, entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\varphi(f(x),g(x))}=0 \). Como un caso particular de este último item, tenemos \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{<f(x),g(x)>}=0 \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\alpha(x)\cdot f(x)}=0 \) si uno de los factores es acotado y el otro tiende para cero.

Las tres primeras afirmaciones son consecuencias inmediatas de la caracterización del límite por medio de sucesiones, junto al corolario del Teorema 1.4.4.. En la afirmación (iv) se tiene \( |\varphi(f(x),g(x))|\leq{M|f(x)||g(x)|} \) para una constante \( M>0 \) que depende solo de la aplicación bilineal \( \varphi \).

Ejemplo 1.8.1. Sea \( f:\mathbb{R}^2-\{0\}\rightarrow{\mathbb{R}} \) definida por \( f(x,y)=\cfrac{x^2y}{x^2+y^2} \). Probemos que \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{f(x,y)}=0 \). Vemos que \( f(x,y) \) es el producto de \( x \) por \( \cfrac{xy}{x^2+y^2} \) y evidentemente \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{x}=0 \), solo falta mostrar que \( \cfrac{xy}{x^2+y^2} \) es una función acotada. Para \( (x,y)\neq{(0,0)} \), tenemos
\( \cfrac{xy}{x^2+y^2}=\left({\cfrac{x}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\right)\left({\cfrac{x}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\right)=\cos\theta\cdot \sen\theta \),

donde \( \theta \) es el ángulo que el vector \( z=(x,y) \) forma con el eje de las abcisas. Luego \( \left |{\cfrac{xy}{x^2+y^2}}\right |\leq 1 \).

OBSERVACIÓN IMPORTANTE. Existe una relación entre el límite y la composición de aplicaciones que es la siguiente: Sean \( f:X\rightarrow\mathbb R^n \), \( g:Y\rightarrow\mathbb R^p \), \( a\in X' \), \( b\in Y' \) y \( f(X)\subset Y \).

(1) Si \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=b \) y \( g \) es continua en el punto \( b \), entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(f(x))}=g(b) \) .

(2) Si \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=b \), \( \displaystyle\lim_{y \to{b}}{g(y)}=c \) y \( x\neq a \) implica \( f(x)\neq b \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(f(x))}=c \). Basta utilizar que si \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=b \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{|f(x)|}=|b| \).

Utilizando la afirmación (2), concluimos que si existe \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=b \) entonces, para cualquier vector \( u\neq 0 \) se tiene \( \displaystyle\lim_{t \to{0}}{f(a+tu)}=b \). Se sigue de aquí que no existe \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\cfrac{xy}{x^2+y^2}} \), pues si tomamos \( u=(a,b) \) tenemos que \( \displaystyle\lim_{t \to{0}}{f(ta,tb)}=\cfrac{ab}{a^2+b^2} \) y este límite cambia al cambiar \( a \) y \( b \).

Además de las reglas de operaciones con límites, el manejo formal del símbolo \( \mbox{lím} \) se facilita mucho por el principio de permanencia de las desigualdades, que mostraremos a continuación. Se trata del siguiente

Teorema 1.8.1. Sean \( f,g:X\rightarrow{\mathbb{R}} \) definidas en el conjunto \( X\subset\mathbb R^m \)  y sea \( a\in X' \). Supongamos que \( f(x)\leq{g(x)} \) para todo \( x\in X-\{a\} \). Si existen \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=b \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=c \) se tiene \( b\leq{c} \).
Demostración:

Supongamos que ocurre lo contrario, entonces se tendría \( c<b\Rightarrow 0<b-c \) y por tanto tomando \( \varepsilon=\cfrac{b-c}{2}>0 \). Por la definición de límite, para este \( \varepsilon \) existe un \( \delta>0 \) tal que si \( x\in X \), \( 0<\|x-a\|<\delta \) se tiene \( f(x)\in (b-\varepsilon,b+\varepsilon) \) y \( g(x)\in (c-\varepsilon,c+\varepsilon) \). Como \( b-\varepsilon=c+\varepsilon \) se tiene que \( g(x)<f(x) \) para todos esos valores de \( x \), lo que es una contradicción.

Los hechos más importantes que deseamos discutir sobre límites serán establecidos ahora.

Teorema 1.8.2. Sea \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) uniformemente continua en el conjunto \( X\subseteq{\mathbb{R}^n} \). Entonces para todo \( a\in{X}' \), existe \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)} \).
Demostración:

Como \( f \) es uniformemente continua, manda sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy, tomemos entonces \( (x_k)\subset X \) una sucesión de Cauchy, entonces \( f(x_k)\in \mathbb R^n \) también es de Cauchy. En particular para toda sucesión de puntos \( (x_k)\subset X - \{a\} \) con \( x_k\rightarrow a \), existe \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f(x_k)}=b \). Este valor no depende de la sucesión escogida, pues si tuviésemos otra colección de puntos \( (y_k)\subset X - \{a\} \) tal que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f(y_k)}=c \) con \( b\neq{c} \), entonces la sucesión de puntos \( (z_k)\subset X - \{a\} \) tal que \( z_{2k}=x_k \) y \( z_{2k+1}=y_k \) también cumpliría \( z_k\rightarrow a \), pero no existiría \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f(z_k)} \), puesto que la sucesión \( f(z_k) \) posee dos subsucesiones que convergen a límites diferentes. Por tanto \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(a)}=b \).


Ejemplo 1.8.2. La función continua \( f:\mathbb{R}^2-\{0\}\rightarrow{\mathbb{R}} \) definida por \( f(x,y)=\cfrac{x^2y}{x^2+y^2} \), no es uniformemente continua en cualquier conjunto \( X\subset \mathbb R^2 \) que tenga al origen como punto de acumulación, pues no existe \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{f(x,y)} \).

Corolario. \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) uniformemente continua, sea \( \overline X=X\cup X' \). Existe una única aplicación uniformemente continua \( \overline f:\overline X\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) tal que \( \overline f|X=f \).

Demostración:
Para todo punto \( \overline x\in{X'-X} \), sea \( \overline{f} (\overline{x})=\displaystyle\lim_{x \to{\overline{x}}}{f(x)} \). (Este límite existe por el teorema anterior.) Si  \( x\in X \), hacemos \( \overline{f}(x)=f(x) \). Queda así definida una aplicación \( \overline{f}:\overline{X}\rightarrow{\mathbb R^n} \) que es la extensión de \( f \). Probemos que \( \overline{f} \) es uniformemente continua. Dado \( \varepsilon>0 \) por la continuidad uniforme de \( f \), existe un número \( \delta >0 \) tal que si \( x,y\in X \), con \( \|x-y\|<\delta \) se tiene que \( \|f(x)-f(y)|\<\cfrac{\varepsilon}{2} \). Probemos que este \( \delta \) también le corresponde a \( \varepsilon \) para probar la continuidad uniforme de \( \overline{f} \). En efecto, sean \( \overline{x},\overline{y}\in \overline{X} \) tales que \( \|\overline{x}-\overline{y}\|<\delta \). Por definición, tenemos \( \overline{x}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_k} \) y \( \overline{y}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{y_k} \), con \( x_k,y_k\in X \) para todo \( k\in\mathbb N \). Como \( \|\overline{x}-\overline{y}\|<\delta \), se sigue que \( \|x-y\|<\delta \) para todo \( k \) suficientemente grande, digamos para \( k>k_0 \). Entonces si \( k>k_0 \) entonces
\( \|f(x_k)-f(y_k)\|<\cfrac{\varepsilon}{2} \).
De donde  \( \|f(\overline{x})-f(\overline{y})\|=\|\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f(x_k)}-\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{f(y_k)}\|=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\|f(x_k)-f(y_k)\|}\leq \cfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon \). Lo que completa la demostración.

Fin de la sección 1.8.


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27 Marzo, 2010, 08:33 am
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