Yo también en esos temas he visto los teoremas en variedades. El orden es así
Repasa los resultados importantes del análisis en \( \mathbb{R}^n \), ahí están precisamente los teoremas que mencionas.
He visto tus mensajes y yo también tengo la misma teoría, si estuvieras en Perú juraría que nos enseá el mismo profesor,
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Bueno, una vez ya visto eso, pasamos a la teoría de superficies, y son los cambios de coordenadas que hacen esa relación con los resultados de análisis en Rn, por ejemplo, para el teorema de la función inversa, el resto ya lo haces tú.
Sean M y N superfices de dimensión m, de clase ck, y f:M-->N de clase \( C^j \) con \( 1\leq{j\leq{k}} \). Si \( f'(p)\in{L(T_pM,T_{f(p)}N)} \), p en M, es una biyección. Entonces existen abiertos \( W_p\subseteq{M} \), \( W_p'\subset{N} \) con \( p\in{W_p} \) y \( f(p)\in{W'_p} \) tal que \( f:W_p-->W_p' \) es un difeomorfismo de clase \( C^j \).
Tomemos \( (U,F) \), \( (V,G) \) parametrizaciones de M y N respectivamente, tales que
\( p\in{F(U)} \), \( f(p)\in{G(V)} \), \( a=F^{-1}(p) \) y \( b=G^{-1}(f(p)) \) luego el cambio de coordenadas \( G^{-1}\circ{f\circ{F}} \) que es una función de \( R^m \) a \( R^m \) cumple las hipótesis del teorema de la función inversa, pues \( (G^{-1}\circ{f\circ{F}})'(a) \) es inversible. Entonces existen \( U_a\subseteq{U} \), \( V_b\subseteq{V} \) abiertos, tales que \( a\in U_a \), \( b\in V_b \) tal que
\( G^{-1}\circ{f\circ{F}}:U_a-->V_b \) es un difeomorfismo de clase \( C^j \). Basta tomar
\( W_p=F(U_a) \) y \( W_p'=G(V_b) \) y tienes lo pedido.
Revísalo, no es tan difícil, bueno te dejo los otros, cualquier cosa preguntas.
Saludos
