[jesman]

Hola.
Quisiera saber cual es la expresión que determina la ubicación del centroide \( \bar{x} \) de la figura en el eje ox y expresada en función de 'h' y 'a'. El cuerpo es de densidad homogénea, la curva generatriz de la ojiva es el arco de una circunferencia de radio R con centro en el plano formado por los ejes coordenados oy, oz, (fuera del dibujo) y acotada por los puntos de corte 'h' y 'a'.
Los valores indicados sólo son a modo de ejemplo.

Agradezco la ayuda.
Muchísimas gracias

[ApusMelba]

Deberás averiguar primeramente la Ecuación de la Curva Generatriz, en este caso la Ecuación de una Circunferencia.

[jesman]

Deberás averiguar primeramente la Ecuación de la Curva Generatriz, en este caso la Ecuación de una Circunferencia.

Por un lado sabemos que R=h+v   (donde 'v' es la distancia desde el origen del círculo hasta el centro de coordenadas)
Por Pitágoras sabemos que: R^2=a^2+v^2
Resolvemos 'v' del sistema formado por ambas ecuaciones y obtenemos:

v=(a^2-h^2)/2h \Rightarrow{} R=(h^2+a^2)/2h

La circunferencia de la curva generatiz tiene origen en las coordenadas (x,y) = (0,-((a^2-h^2)/2h))
Luego la ecuación de la circunferencia del arco generatriz tiene la forma:

(x-0)^2+(y-(-v))^2=R^2

Sustituyendo v y R obtenemos la ecuación de la circunferencia:

x^2+(y+(a^2-h^2)/2h))^2=((h^2+a^2)/2h)^2

Espero que sea correcto...

Y hasta aquí sé llegar, y ahora ¿como sigo para hallar el centroide en el eje ox \bar{x} en función de 'h' y 'a'?. Viendo los centroides de figuras patrón, supongo que \bar{x} se corresponderá con alguna expresión en función de R y Pi, incluyendo 'h' y 'a'. Que es lo que necesito saber.

Muchas gracias por responder

[ApusMelba]

Con tu permiso; he remodelado lo que enviaste porque debes poner antes y después de las expresiones lo siguiente:
Al inicio de la expresión debes escribir: [tex]  ; y al final de la espresión debes escribir: [/tex].
Y muy importante, antes de "Publicar" debes "Previsualizar", esperar algunos segundos, y podrás ver los posibles errores.
(No te perocupes porque esto mismo me pasó a mí ayer y envié una cosa muy rara)
Te aconsejo que visites el Tutorial en: http://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm
Este Tutorial viene muy claramente explicado.
Y para practicar: http://rinconmatematico.com/equationeditor/

Por un lado sabemos que R=h+v   (donde 'v' es la distancia desde el origen del círculo hasta el centro de coordenadas)
Por Pitágoras sabemos que: \( R^2=a^2+v^2 \)
Resolvemos 'v' del sistema formado por ambas ecuaciones y obtenemos:

v=(\( a^2-h^2) \)/2h \( \Rightarrow{} R=(h^2+a^2)/2h \)

La circunferencia de la curva generatiz tiene origen en las coordenadas (x,y) = \(  (0,-((a^2-h^2)/2h)) \)
Luego la ecuación de la circunferencia del arco generatriz tiene la forma:

\( (x-0)^2+(y-(-v))^2=R^2 \)

Sustituyendo v y R obtenemos la ecuación de la circunferencia:

\( x^2+(y+(a^2-h^2)/2h))^2=((h^2+a^2)/2h)^2 \)

Espero que sea correcto...

Y hasta aquí sé llegar, y ahora ¿como sigo para hallar el centroide en el eje \( ox \bar{x} \) en función de 'h' y 'a'?. Viendo los centroides de figuras patrón, supongo que \( \bar{x} \) se corresponderá con alguna expresión en función de R y Pi, incluyendo 'h' y 'a'. Que es lo que necesito saber.

Muchas gracias por responder

A lo que íbamos, he mirado en mi libro de Mecánica Vectorial para Ingenieros y la expresión para calcular la coordenada x del C. de G. es:
 \( \bar{x}\cdot{}V=   \int_{}^{} \bar{x}_{el}\cdot{}dV \)
Con lo que:
\( \bar{x}=   \frac{ \int_{}^{} \bar{x}_{el}\cdot{}dV }{V} \)
Ya sabes, debes poner dV en función de x, y haz lo mismo para cada  \( \bar{x}_{el} \); por lo que te quedará una Integral definida en dx para el intervalo [0,a].
También debes calcular V mediante una intergral definida.
Espero que te sirva.
Un saludo.

[jesman]

Muchas gracias ApusMelba por la corrección, pero esa expresión es genérica para cualquier sólido. No soy matemático y mis conocimientos se limitan a las matemáticas discretas que di en la carrera hace ya muchos años. No sé como se pone dv en función de x y demás..., pero tal vez podría hallar V, aunque mis integrales están un poco olvidadas. Yo creo que para hallar el Centro de Gravedad del sólido en cuestión puede ser tan sencillo como tomar la figura plana representada sólo en dos ejes coordenados y encontrar la expresión del centroide en función de su área, de 'h' y de 'a'.
Esto es lo que busco.

De todas formas muchísimas gracias por tomarte la molestia de responderme.
Saludos.