Autor Tema: Dictado del Curso de Topología (Munkres)

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05 Enero, 2010, 06:42 pm
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argentinator

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Curso de Topología

Objetivos: Desarrollar teoría y práctica hasta adquirir dominio de todos los conceptos fundamentales de Topología.
Bibliografía de base: Topology, Munkres, 2ed.
Bibliografía adicional: Topología general, Kelley.
Responsable: Argentinator
Conocimientos previos requeridos para iniciar el curso: Nociones elementales de teoría de conjuntos, límites y continuidad de funciones.

¿Qué debieras saber antes de comenzar?

Vamos a tratar de que el curso sea llevadero para todo tipo de público.
No obstante, es recomendable tener algo de experiencia con operaciones de conjuntos,
y haber hecho algunas demostraciones que involucren conjuntos, funciones, inducción, cosas más o menos elementales...
También es necesario tener "experiencia" con cálculo, sobretodo la noción de límite y la noción de función continua.

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Para participar del curso hay que inscribirse, lo cual es muy sencillo: hacer clic en el siguiente thread y postear un mensaje que diga "Me inscribo al curso de topología", o algo por el estilo.
>> Organización e inscripciones al curso: Topología (Munkres)

Para realizar comentarios, consultas, presentar ejercicios, etc., traten de ponerlos en el siguiente enlace:
>> Consultas y otros comentarios del curso: Topología (Munkres)



Inscriptos al 17/Enero/2010:

Jabato, aesede, mathtruco, legui, mvct, rcamino, Debor, QuantumWalrus, aladan, alefa, hector manuel, Sonata, kike0001, Elsilbon, Dibu, cristian25m, Paul Erdos, Quimey, Alejo, dilcia, chigui, morito14, quema, enloalto, Grisel, Stinson, David Carbajal.

Gracias por el apoyo, y anímense a opinar y preguntar.   :)



¿Qué es la Topología General?

La Topología General es básicamente el estudio de la continuidad de funciones y de la noción de convergencia.
Se toman en cuenta las propiedades analíticas comunes al espacio euclidiano n-dimensional, los espacios normados, espacios de funciones, espacios métricos, etc., etc., y se los estudia bajo un marco común. Este marco se presenta a través de un sistema axiomático sencillo, de amplísimas repercusiones.

La idea del curso es no sólo presentar teoremas y ejercicios fríos y técnicos, sino también darles un soporte intuitivo a través de ejemplos de uso común en matemática. Para ello, el texto de Munkres es una muy buena guía, y en caso de que algo falte, le agregaremos más contenido, ya sea como teoría o como ejercicios.

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¿Qué es la Topología Algebraica?

Existe luego una Topología Algebraica, que comienza su estudio preguntándose cuándo dos espacios topológicos son equivalentes. Más aún, uno puede preguntar si un cierto objeto geométrico se puede transformar de forma continua en otro. Intuitivamente, esto es la teoría de la "deformación", o sea, si tomo un cuerpo y lo deformo suavemente sin romperlo, ¿puedo convertirlo en otro? Respuesta: sólo si son equivalentes en cierto sentido que se analizará después.

Bien, aquí va una definición más precisa, que gentilmente el_manco nos ha dejado:

Cita de: el_manco
La topología algebraica esencialmente se basa en usar estructuras algebraicas para estudiar espacios topológicos; de manera precisa la idea es asignar a un espacio topológico una estructura algebraica (un grupo, un anillo, un cuerpo, un espacio vectorial,...) de manera que espacios topológicos homemorfos tengan asociadas estructuras isomorfas. Esto hace que uno pueda usar todas las técnicas algebraicas, que por ejemplo permiten identificar cuando dos grupos son o no isomorfos, para detectar si dos espacios topológicos pueden o no ser homeomorfos.

Además esta asignación de invariantes algebraicos a espacios topológicos, permiten clasificar y agrupar estos últimos en clases de espacios con ciertas propiedades comunes.


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Vamos a desarrollar los temas en el orden en que aparecen en el texto de Munkres,
y los detalles se muestran cliqueando en el spoiler siguiente:

Temario del libro Topology, de Munkres

Parte I: Topología General.

  • 1. Teoría de conjuntos y Lógica
  • 2. Espacios topológicos y funciones continuas.
  • 3. Conexidad y compacidad.
  • 4. Numerabilidad y axiomas de separación.
  • 5. Teorema de Tychonoff
  • 6. Teoremas de metrización y compacidad.
  • 7. Espacios métricos completos y espacios de funciones.
  • 8. Espacios de Baire y teoría de dimensión.

Parte II. Topología Algebraica.

  • 9. El grupo fundamental.
  • 10. Teoremas de separación en el plano.
  • 11. Teorema de Seifert-van Kampen.
  • 12. Clasificación de superficies.
  • 13. Clasificación de espacios de cubrimiento.
  • 14. Aplicación a teoría de grupos.

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Los temas de teoría de conjuntos los iremos ampliando de a poco a lo largo del curso.
En cambio, los demás temás irán en orden.
Sin embargo, antes de comenzar con el capítulo 2 de Munkres, vamos a dar explícitamente la definición de Espacio Topológico, y vamos a ver los ejemplos más comunes e importantes, que han inspirado el desarrollo ulterior de la teoría topológica;)

Pautas de numeración de los ejercicios

Los ejercicios seguirán varias pautas de numeración.
Los ejercicios del Munkres se numerarán tal cual aparecen.
Los ejercicios agregados por mí tendrán algún mote, como "Anexo", y los enumeraré en tandas.
Esto permite que, si se me ocurre agregar nuevas tandas de ejercicios, no se arme tanto lío con la numeración.

Numeración de los ejercicios. Habrá varios tipos de ejercicios, según la fuente:
  • Los que procedan del libro de Munkres, los vamos a enumerar tal como aparecen en el libro.
    Así, Ejercicio 3.4 significará: libro de Munkres, sección 3, ejercicio 4
    (las secciones del Munkres, en su 2da edición, se van enumerando en forma independiente de los capítulos, totalizando unas 85 secciones).
  • Voy a anexar secciones hechas por mí, sin basarme en el Munkres.
    En esas secciones tendemos algo como: Ejercicio Anexo.2.1.d, lo cual significa esto: Ejercicio anexado por Argentinator, correspondiente al tema del capítulo 2 del Munkres, tanda de ejercicios 1, ejercicio d.
  • Si hay ejercicios de otro libro, por ejemplo del de Kelley, podemos poner algo como Ejercicio Kelley.3.B, para indicar el ejercicio B del capítulo 3 del Kelley. El formato dependerá de cada libro.

El sistema de "tandas" para los ejercicios anexos permite que haya más flexibilidad por si en el futuro hace falta agregar o quitar algo, y minimizar las posibles confusiones.

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Mecánica de presentación de ejercicios: si ustedes se han puesto a resolver ejercicios, estaría bueno que los publiquen en la sección de "Consultas, comentarios y ejercicios".
No hace falta que publiquen todo, pero sí alguno de vez en cuando, así no me siento tan solo  :'( .

Estaría bueno también que aprovechemos esto de estar en un foro para compartir opiniones entre todos. Si sólo hablo yo... no sé si estoy apuntando bien los tiros.  ::)
Recuerden que el curso les tiene que servir a todos los que se hayan inscripto, así que manténgase en contacto para que yo pueda adaptar los contenidos, o responder dudas.

Reseña e índice de los contenidos del curso, con enlaces dinámicos.

Antes de comenzar con el libro, vamos a hacer colocar un post de repaso general de teoría de conjuntos. Voy a hacer hincapié en aquellas cuestiones que serán de suma importancia en el trabajo posterior.
El material de dicho post es opcional.


>>> Resumen de hechos fundamentales de Teoría de conjuntos.

>>> 1. Teoría de Conjuntos y Lógica.
Spoiler
Este es un capítulo más bien de repaso.
Cada participante puede profundizar en la medida que le haga falta.
No voy a desarrollar todos los temas... sin embargo, si me piden más detalles, o me parece que algo es conveniente tenerlo presente, lo voy agregando de a poco.

  • >>> 1.1. Conceptos Fundamentales.
  • >>> 1.2. Funciones.
  • >>> 1.3. Relaciones.
  • >>> 1.4. Los Números Enteros y Reales.
  • >>> 1.5. Productos Cartesianos Generalizados.
  • >>> 1.6. Conjuntos Finitos.
  • >>> 1.7. Conjuntos Numerables y No Numerables.
  • >>> 1.8. El Principio de Definición Recursiva.
  • >>> 1.9  Conjuntos Infinitos y el Axioma de Elección.
  • >>> 1.10 Conjuntos Bien Ordenados.
  • >>> 1.11. El Principio del Máximo.
  • >>> Ejercicios Sumplementarios: Buena Ordenación.
[cerrar]

En este etapa inicial vamos a interrumpir el temario del Munkres para dar directamente la definición de espacio topológico, y seguidamente una lista con los ejemplos más comunes de topología.
La topología se aprende mejor a través de sus ejemplos, reflexionando sobre lo que tienen en común y sobre sus mutuas diferencias.


>>>Definición axiomática de Topologías y Espacios Topológicos.
Una topología sobre un conjunto \( X \) se define a través de 4 axiomas muy simples,
pero de amplias repercusiones. Veremos aquí los hechos y definiciones más elementales.


A continuación los ejemplos básicos que siempre tendremos en cuenta.

Acceso a Ejemplos

>>>Topología clásica del espacio euclidiano 2-dimensional.

Este es el ejemplo por excelencia de espacio topológico, en virtud de que la geometría euclidiana es la que ha inspirado por ejemplo las nomenclaturas de conjunto abierto y cerrado para topologías más generales.
Exhibo ahí la mayoría de los cálculos que demuestran que el plano tiene estructura topológica,
y al final se da un criterio geométrico muy práctico para detectar cuándo un conjunto es abierto.
Hay muchas definiciones muy elementales, para que todo el mundo pueda entrar en el tema.

>>>Topología clásica del espacio euclidiano n-dimensional.

Aprovechamos a ejercitar un poco la imaginación con la geometría euclidiana de 3 dimensiones o más.
Veremos que, aunque la geometría se vuelve exigente con la imaginación, algunos cálculos y demostraciones son igual de sencillos que en el caso 2-dimensional.

>>>Topología de los espacios vectoriales normados.

Ejercitamos un poco más la abstracción, y saltamos a la geometría de los espacios vectoriales normados, abarcando un amplísimo abanico de ejemplos.
Aún así, las primeras deducciones siguen siendo igual de fáciles que en la geometría euclidiana.

>>>Topología de los espacios métricos.

Hacemos un salto aún más profundo de abstracción, deshaciéndonos de la parte algebraica de los espacios vectoriales normados, para quedarnos sólo con la propiedad de desigualdad triangular. Los ejemplos estudiables con esta óptica tan general son ahora muchos más.
Sin embargo, las deducciones básicas en este caso siguen siendo igual de fáciles que antes.

>>>Topología del Orden.

Hacemos un viraje de ideas, y nos bifurcamos, abstrayendo la topología de los números reales por el lado de las relaciones de orden. En general, dado un conjunto cualquiera con una relación de orden en él, es posible definir intervalos abiertos, y luego construir en base a ellos una topología.

>>>Otros ejemplos clásicos de topologías.

Culminamos la seguidilla de ejemplos con casos típicos en la teoría topológica, como lo son las topologías indiscreta, la topología discreta (ambas definibles en cualquier conjunto), la topología producto, y algunas otras que se dejan en el tintero para futuro estudio.
[cerrar]

>>> 2. Espacios topológicos y funciones continuas.

Aquí empieza el tema que nos interesa, y vamos a comenzar con ejemplos geométricos clásicos y fáciles de visualizar, para pasar después al concepto general de topología.


05 Enero, 2010, 11:32 pm
Respuesta #1

argentinator

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Resumen de hechos fundamentales de Teoría de conjuntos.

Nota: La mayor parte de los contenidos del Tema 1 son opcionales. Aquellos que no se sientan demasiado confiados con las cuestiones de teoría de conjuntos, podrían echar una mirada a ver qué necesitan ajustar, o simplemente repasar.
Los contenidos necesarios se irán "rellenando" de a poco.

Para la teoría topológica, es de fundamental importancia el concepto de uniones e intersecciones de familias arbitrarias de conjuntos. Así que veamos un poco esto.

Repasemos algunos conceptos de teoría de conjuntos que serán moneda de corriente en el estudio de la topología general.

Subconjuntos.

Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), se dice que \( A \) es subconjunto de \( B \), y se escribe \( A  \subset  B \), siempre que se cumpla la siguiente implicación, para todo \( x \):

\( x\in A \Rightarrow{x\in B}. \)

Cuando queremos comprobar si un conjunto es subconjunto de algún otro, lo que tenemos que hacer es demostrar que, cualquiera sea el elemento \( x \) que se tome en \( A \), éste \( x \) también está en \( B \).

Ley transitiva de inclusión de conjuntos: Si \( A,B,C \) son tres conjuntos tales que \( A\subset B \) y \( B\subset C \), entonces \( A\subset C \).
Esto es fácil de demostrar. Es un hecho que usaremos asiduamente.

Observación: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.



Igualdad

Se dice que dos conjuntos \( A \) y \( B \) son iguales entre sí, y se escribe \( A = B \), si se cumple la doble inclusión:

\( A\subset  B, B\subset  A \)

La igualdad de dos conjuntos debe en general demostrarse, pues, mediante dos pasos obligatorios.
Primero, probar la implicación \( x\in A \Rightarrow{ x\in B} \),
segundo, probar la implicación \( x\in B \Rightarrow{ x\in A}. \)



Conjunto vacío y conjuntos disjuntos.

Clic para ver definiciones
El conjunto que no tiene elemento alguno es el conjunto vacío, y se lo denota \( \emptyset \). Lo podemos definir por medio de:

\( \emptyset := \{x:x\neq x\} \)

Está clara que todo elemento \( x \) imaginable es igual a sí mismo, así que ningún \( x \) puede pertenecer al conjunto arriba definido.

El vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto. Esto puede demostrarse mediante cuidadosas implicaciones lógicas, o bien tomarlo como axioma, para evitar demasiadas discusiones filosóficas.

Si dos conjuntos no tienen elementos en común se dicen disjuntos, o sea: \( A \) y \( B \) son disjuntos si y sólo si todo elemento \( x \in A \) no está en \( B \), y también todo \( x\in B \) no está en \( A \).
[cerrar]



Familias de conjuntos.

Agrego aquí una exposición algo extensa sobre las ideas y notaciones que se usan al referirse a familias de conjuntos. Lo coloco en un spoiler.

Cómo comprender la noción de familias de conjuntos, y su uso

Un conjunto puede contener varios objetos: X = {1, 3, triángulo(ABC), punto(O)},
y en ese caso se conocen sus elementos por simple enumeración.
Se dice que el conjunto se ha definido por extensión.

En otros casos, un conjunto se puede definir mediante propiedades:
\( P = \{n:n\textsf{\ es un número entero par}\} \)
En un caso así, se dice que el conjunto se ha definido por comprensión.

Observemos que el conjunto \( P \) no puede expresarse por extensión,
porque esto involucraría la explícita mención en el papel de todos los elementos de P:
2, 4, 6, 8, 10, 12,...
y la lista no acaba nunca, es infinita.
Está claro que no podemos escribir una lista infinita.

Así que hay conjuntos que sólo pueden definirse por comprensión.

Pero ahora pasamos a otro tipo de cuestión.
¿Puede un conjunto contener a su vez a otros conjuntos?
La respuesta es afirmativa.
En tal caso se suele decir que un conjunto de conjuntos es una familia de conjuntos.

En la teoría axiomática de conjuntos no hace falta hacer este tipo de distinciones, porque todo objeto de dicha teoría es un conjunto.
La distinción entre conjuntos y familias es, por tanto, con fines de mejor exposición.

Supongamos que tenemos una lista finita de conjuntos \( A, B, C, D \).
Podemos formar la familia de conjuntos \( \mathcal F=\{A,B,C,D\} \).
Pongamos un ejemplo gráfico.
A = un cierto cardumen
B = una cierta jauría
C = un cierto ganado vacuno
D = un cierto bosque

El conjunto A es un conjunto de peces.
El conjunto B es un conjunto de perros.
El conjunto C es un conjunto de vacas.
El conjunto D es un conjunto de árboles.

El conjunto ó familia \( \mathcal F  \) es ahora un conjunto de conjuntos.
Si tomo un árbol del bosque, dicho árbol es un elemento de D, pero no de \( \mathcal F \).
Por otro lado, el bosque D es un elemento individual que pertenece a la familia \( \mathcal F \).

En matemáticas nos interesa poder hablar no sólo de conjuntos infinitos como el P de más arriba,
sino también de familias infinitas de conjuntos.
¿Cuál es la manera adecuada de hacerlo?
Si considero una familia de conjuntos \( \mathcal F \) infinita, no voy a poder enumerar sus elementos de uno en uno.

Lo que se hace es usar la técnica de subíndices.
Veamos esta técnica para el caso de familias de conjuntos finitas.

Sea \( A_1,A_2,...,A_n \) una lista finita de conjuntos dados.
Podemos definir la familia que contiene a esos conjuntos como elementos por extensión, así:

\( \mathcal F=\{A_1,A_2,\cdots,A_n\} \)

Podemos reformular esto escribiéndolo por \( "comprensión" \), considerando el conjunto de índices \(  \{1,2,\cdots,n\} \), con esta notación:

\( \mathcal F=\big\{A_k: k\in \{1,2,\cdots,n\}.\big\} \)

Pero vayamos un pasito más allá, y definamos una función \( f \), cuyo dominio es el conjunto de índices \( I=\{1,2,\cdots,n\} \) y cuya imagen contiene a los elementos \( \{A_1,A_2,\cdots,A_n\} \), de la siguiente manera:

\( f(k)=A_k, \qquad k=1,2,\cdots,n \)

Podemos reescribir la descripción de la familia \( \mathcal F \) así:

\( \mathcal F=\big\{f(k):k\in\{1,2,\cdots,n\}\big\} \)

Lo que hemos logrado es expresar la familia mediante una función.

Con esto en mente, podemos usar esta idea de función para expresar una familia de conjuntos que puede contener tantos elementos como uno quiera, incluso infinitos.
Supongamos que \( I \) es un conjunto, cuyos elementos vamos a usar como "índices".
Supongamos que se ha definido una función \( f \) tal que a cada elemento \( k\in I \) le hace corresponder algún conjunto, digamos \( A_k \).
En ese caso, tenemos que \( f(k)=A_k \), para cada \( k\in I \).

Definimos ahora la familia de conjuntos:

\( \mathcal F=\{f(k):k\in I\} \)

Esto quiere decir: "\( \mathcal F \) consta de todos aquellos elementos \( f(k) \), tal que \( k \in I \)".
La idea es que el índice \( k \) "recorre" todos los elementos del conjunto de índices \( I \).

El conjunto de índices \( I \) puede ser un conjunto arbitrario.
Aunque en cada ejemplo que se estudie habrá que especificar con precisión, claro está.
Sin embargo, en las demostraciones de hechos generales, el conjunto \( I \) queda sin especificar, y por eso se dirá "arbitrario".

Bueno, hasta ahí la definición.
Pero resulta que en la práctica vamos a usar otras maneras de notación para las familias de conjuntos.

Por ejemplo, para una familia finita de conjuntos \( \mathcal F \), en vez de escribir \( \{A_1,\cdots,A_n\} \)
se puede escribir \( \{A_k\}_{k=1}^n \).
En el caso de que el conjunto de índices \( I \) conste de los números naturales \( 1, 2, 3, \cdots \), se suele escribir así: \( \{A_k\}_{k=1}^\infty \).

Cuando el conjunto de índices \( I \) es arbitrario, se suele usar esta notación para la familia \( \mathcal F \): \( \mathcal F=\{A_k\}_{k\in I} \).
Esto es equivalente a escribir: \( \mathcal F=\{A_k:k\in I\} \).

Una moraleja de todo esto es que, si bien la noción de familia de conjuntos involucra el uso de una función \( f \) que asigna a cada \( k\in I \) un elemento \( A_k \), resulta que en la escritura corriente de familias de conjuntos la función \( f \) no se especifica, ni se le da un nombre, ni una letra que la designe, etc.

[cerrar]



Unión de conjuntos.

Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), su unión se define por:

\( A\cup B := \{x:x\in A\textsf{\ ó\ }x\in B\} \)

Esto quiere decir que, para que un elemento x esté en la unión, es suficiente conque pertenezca al menos a uno de los dos conjuntos.
Si tenemos una lista finita de conjuntos \( A_1,...,A_n \), se puede generalizar la anterior definición:

\( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:x\in A_1\textsf{\ ó\ }x\in A_2\textsf{\ ó\ }\cdots \textsf{\ ó\ }x\in A_n\} \)

Esta última definición reformulémosla en un modo algo más "interesante", en términos del cuantificador existencial:

\( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:\exists{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\} \)

Si leemos en castellano la igualdad anterior, nos está diciendo que la unión de los conjuntos \( A_1,\cdots, A_n \) está definido como el conjunto de todos aquellos elementos \( x \) tales que existe algún índice \( k \) en el conjunto finito \( \{1,2,\cdots,n\} \) tal que \( x\in A_k \).

Ejercicio: Observar las dos definiciones de la unión finita \( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n \) hasta comprender que son lógicamente equivalentes. Luego dudar un poquito, y volver a mirar hasta volver a convencerse. Reflexionar.

Esta forma del cuantificador existencial permite una inmediata generalización del concepto de unión para familias infintias de conjuntos.
En vez de la lista \( \{1,2,\cdots,n\} \) consideramos ahora un conjunto I de índices cualquiera, que puede ser finito o infinito, como uno prefiera.
Supongamos además que por cada índice \( \iota \in I \) hemos especificado algún conjunto \( A_\iota  \).
Nos queda definida una familia de conjuntos \( \mathcal A=\{A_\iota \}_{\iota \in I} \).
Ahora queremos definir la unión de todos los elementos que pertenecen a la familia \( \mathcal A \). Lo hacemos así:

\( \bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\} \)

En otras palabras, un elemento \( x \) pertenece a la gran unión siempre y cuando haya al menos un elemento de la familia \( \{A_\iota \}_{\iota \in I} \) al cual \( x \) pertenezca.



Intersección.

La intersección de dos conjuntos \( A \) y \( B \) se define de la siguiente manera:

\( A\cap  B=\{x:x\in A\textsf{\ y\ }x\in B\} \)

O sea, para que un elemento \( x \) esté en la intersección debe ocurrir que esté al mismo tiempo en los dos conjuntos \( A \) y \( B \).
Se puede generalizar al caso de intersecciones finitas, e incluso con un conjunto arbitrario de índices.
Para practicar un poco, se los dejo como ejercicio (basta copiar la idea de lo que se hizo para las uniones):

  • Ejercicio Anexo.1.1.a: Definir la intersección de una lista finita de conjuntos \( A_1,A_2,\cdots A_n \), generalizando el caso de intersección de dos conjuntos.
  • Ejercicio Anexo.1.1.b: Reformular la definición anterior usando ahora el cuantificador universal "\( \forall{} \)".
  • Ejercicio Anexo.1.1.c: Definir la intersección de una familia arbitraria de conjuntos \( \{A_\iota \}_{\iota \in I} \) para algún conjunto de índices \( I \) cualquiera.
  • Ejercicio Anexo.1.1.d. Demostrar que dos conjuntos \( A, B \) son disjuntos si, y sólo si, \( A\cap  B = \emptyset \).
    (Esto también podría tomarse como definición de disjuntez)



Uniones e interseccoines sobre familias vacias de conjuntos

Supongamos que tenemos una familia de conjuntos \( \mathcal A=\{A_\iota \}_{\iota \in I} \).
¿Qué pasa cuando el conjunto de índices \( I \) es el conjunto vacío?

¿Está definida la unión de los elementos de \( \mathcal A \)?
Respuesta: sí. ¿Cuánto da el resultado de la unión vacía? Respuesta: el mismo conjunto vacío.

¿Está definida la intersección de los elementos de \( \mathcal A \)?
Respuesta: no.

Este tipo de cosas tienen que ver con las sutilezas de la teoría de conjuntos.
Digamos, sin entrar en detalles, que la intersección de la familia vacía da como resultado la clase universal, que no es un conjunto. En ciertas teorías de conjuntos, como la de Zermelo-Fraenkel, no hay clases que no sean conjuntos, y así la intersección quedaría indefinida.
[cerrar]



Diferencia de conjuntos.

Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), su diferencia se define como:

\( A-B :=\{x:x\in A\textsf{\ y\ }x\not\in B\} \)

  • Ejercicio Anexo.1.2.a. Sean \( A = \{3, 4, \pi, -1\}, B = \{1, 2, 3, -1\} \). ¿Cuál de los siguientes es su diferencia \( A - B \)?

    \( C = \{2, 2, 0.141592653589..., 0\}, D = \{4, \pi, 1, 2\}, E = \{4,\pi \} \)

  • Ejercicio Anexo.1.2.b. ¿Si al conjunto vacío le restamos cualquier otro conjunto, cuál es el resultado?

Complementos.

Supongamos que \( X \) es un conjunto que dejamos fijo por un rato.

Si \( A \) es un subconjunto de \( X \), se define el complemento de \( A \) respecto a \( X \) como la diferencia \( X-A \), y lo denotamos así:

\( A^{cX} = X-A \)

Cuando se sabe ya quién es el conjunto \( X \) de referencia, se puede dejar de escribirlo en el exponente, y se anota la forma más abreviada siguiente:

\( A^c = X-A \)



Propiedades algebraicas de las operaciones de conjuntos.

Recordar que para demostrar igualdades de conjuntos, se ha de usar la doble inclusión.
Dejamos como ejercicios demostrar las siguientes propiedades elementales:

  • Ejercicio Anexo.1.3.a. \( A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.b.\( A\cup (B\cap  C)=(A\cup  B)\cap (A\cup C) \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.c.\( (A\cup B)^c=A^c\cap  B^c \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.d.\( (A\cap B)^c=A^c\cup  B^c \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.e.\( (\bigcup_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcap_{\iota \in I}A_\iota ^c \)
  • Ejercicio Anexo.1.3.f.\( (\bigcap_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcup_{\iota \in I}A_\iota ^c \)

Las primeras propiedades son las leyes distributivas.
Las últimas propiedades son las leyes de De Morgan.

Para reflexionar: ¿Se pueden generalizar las leyes distributivas a familias infinitas de conjuntos? ¿Cuándo y cómo?



Partición de un conjunto.

Esto que sigue es sólo una reflexión.
Supongamos que tenemos un conjunto prefijado \( X \), y sean \( A, B \) dos subconjuntos de \( X \) cualesquiera.
Entonces \( X \) puede particionarse en cuatro conjuntos disjuntos:

\( X = (A\cap B)\cup (A^c\cap B)\cup (A\cap B^c)\cup (A^c\cap B^c) \)

Nota: El complemento \( A^c, B^c \), lo estamos tomando respecto a X.
Queda como ejercicio demostrar que los cuatro conjuntos \( A\cap B,A^c\cap B,A\cap B^c,A^c\cap B^c \), son disjuntos tomados de a pares,
y que \( X \) es la unión de todos ellos.

  • Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.1: ¿Cómo se puede particionar \( X \) respecto una familia finita de subconjuntos \( A_1,A_2,\cdots,A_n \)?
  • Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.2: ¿Cómo se puede particionar \( X \) respecto una familia numerable de subconjuntos \( \{A_\iota \}_{\iota \in N} \), con \( N=\{1,2,3,\cdots\} \)?



Para practicar la notación de familias de conjuntos y las operaciones con uniones e intersecciones infinitas, ahí va otro ejercicio:

  • Ejercicio Anexo.1.5.a.
    Para cada número natural \( n=1, 2, 3,\cdots \) definamos el conjunto

    \( A_n = \{x: x\textsf{\ es un número real tal que su n-ésimo dígito detrás del punto decimal es 0.}\} \)

    Cada conjunto \( A_n \) definido consta de números reales, como se puede apreciar.

    Esto nos deja definida una familia de conjuntos \( \{A_n\}_{n\in N} \), donde \( N \) es el conjunto de índices \( N=\{1,2,3,\cdots\} \), o sea, todos los números naturales.

    Ahora definamos otra familia de conjuntos cuyo conjunto de índices será el conjunto finito \( I=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \) mediante:

    \( C_k = \{x: x\textsf{\ es un número real tal que todo dígito detrás del punto decimal es mayor o igual que\ } k.\} \)

    (Estamos suponiendo la manera estándar de denotar números reales, en la que no se permite que todos los dígitos terminales sean "9"s).

    Se pide verificar si es cierta o no la igualdad de conjuntos siguiente:
    \( \bigcup_{n\in N}A_n = \bigcap_{k\in I}C_k^c. \)

    La moraleja de este ejercicio es que de un lado tengo un conjunto de índices infinito, y del otro uno finito, y en ambos casos se obtiene el mismo resultado.
  • Ejercicio Anexo.1.5.b. Sea \( N \) el conjunto de números naturales, y sea \( I \) el conjunto finito \( I = \{0,1,2\} \).
    Definimos la familia de conjuntos \( \{A_n\}_{n\in N} \) mediante:

    \( A_n = \{x:x \textsf{\ es un número entero que da el mismo resto que n al dividir por 3}\}. \)

    Definimos la familia de conjuntos \( \{B_j\}_{j=0}^2 \) mediante:
    \( B_j = \{x:x \textsf{\ es un número entero que al dividirlo por 3 da resto j}\}. \)

    Se pide demostrar que \( \{A_n\}_{n\in N}=\{B_j\}_{j=0}^2 \).

    La prueba es casi directa.
    Lo que se pretende es mostrar que aunque la familia de índices puede ser infinita,
    la familia de conjuntos en realidad puede que sea finita.
    O sea, la notación de "índices" para familias de conjuntos permite "repeticiones".




En el Munkres hay una lista de ejercicios para practicar propiedades de las operaciones con conjuntos.
Si ustedes lo desean, las podemos ir agregando, o me las consultan, como quieran.
Incluso pueden preguntar cosas sobre operaciones de conjuntos que hayan sacado de cualquier otro libro.



Pares ordenados.

Los pares ordenados \( (a,b) \) son objetos de la teoría de conjuntos que tienen la propiedad siguiente:
Los pares \( (a,b) \) y \( (c,d) \) son iguales si y sólo si \( a= c \) y \( b=d \).

Detalles teóricos sobre pares ordenados
En un conjunto de dos elementos, da igual que se escriba \( \{a,b\} \) ó \( \{b,a\} \).
Ambos conjuntos son el mismo porque tienen los mismos elementos.
En cambio, los pares \( (a,b) \) y \( (b,a) \) son, en general, distintos, porque el orden en que se escriben las componentes \( a, b, \) es importante.

Una manera estándar de construir pares ordenados con el mero uso de conjuntos, es como sigue:

Se define el par \( (a,b) \) como el conjunto \( \{a,\{a,b\}\} \).
Esto es: construimos el conjunto \( c= \{a,b\} \), y formamos el conjunto \( \{a,c\} \).
Este último es el par \( (a,b) \).

Los pares así formados tienen la propiedad de igualdad de pares ordenadas antes indicada.
[cerrar]



Productos cartesianos.

Dados dos conjuntos \( A, B, \) el producto cartesiano de \( A \) y \( B \) se denota \( A\times B \), y se define como el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de \( A \) y \( B \), en ese orden, más precisamente:

\( A\times B =\{(a,b):a\in A, b\in B\}. \)

Ejemplito: Si \( A \) es un conjunto de señoritas, y \( B \) es un conjunto de caballeros, el producto cartesiano \( A\times B \) muestra todas las maneras posibles de casar una señorita de \( A \) con un caballero de \( B \).



Relaciones.

Una relación \( \mathcal R \) entre objetos de un par de conjuntos \( A, B \), es todo subconjunto del producto cartesiano \( A\times B \).
Si \( (x,y)\in\mathcal R \), podemos escribir también \( x \mathcal R y \), y decir que \( x \) está \( \mathcal R \)-relacionado con \( y \).
Más detalles en el desplegable que sigue:

Detalles sobre relaciones

Las relaciones tienen la intención de especificar si dos objetos dados en un universo de discurso tienen alguna propiedad que los une. Por ejemplo "A es el padre de B", "\( r \) y \( s \) son rectas paralelas entre sí", "\( m \) es divisor de \( n \)", "\( T \) es un astro que orbita alrededor de \( S \)", "el señor \( N \) es presidente del país \( P \)", "los animales de la especie \( E \) se comen a los de la especie \( F \)", y así sucesivamente.
¿Cómo se indica esto con el lenguaje de la teoría de conjuntos?

En teoría de conjuntos la cosa se hace muy simple: una relación \( \mathcal R \) es el conjunto de todos los pares \( (x, y) \) tales que \( x \) está \( \mathcal R \)-relacionado con \( y \).
Así, la relación "es padre de" se especifica enumerando todos los pares \( (x,y) \) tales que \( x \) es padre de \( y \).
No hay más misterios que eso.

Como acabamos de ver, el conjunto de todos los pares ordenados de un par de conjuntos dados se llama producto cartesiano.
Si la relación se establece entre objetos de un conjunto \( A \) y objetos de un conjunto \( B \), la relación será algún subconjunto del producto cartesiano \( A\times B \).

Es muy común que las relaciones se establezcan entre objetos de un mismo conjunto \( A \). En ese caso la relación es un subconjunto del producto cartesiano \( A\times A \).

Ejemplos de relaciones:

  • Si \( A = \{\textsf{Juan, Pedro, María, Lorena}\} \), la relación \( \mathcal R \) dada por "\( x \) está enamorado/a de \( y \)" podría ser:

    \( \mathcal R = \{\textsf{(Juan,María),(María, Pedro),(Pedro, Lorena),(Lorena, Pedro)}\}. \)

    Más allá de que he puesto a esas pobres personas en un enredo amoroso, observemos que \( \mathcal R\subset A\times A \).
    Decir que Juan está enamorado de María se indica simplemente \( \textsf{(Juan, María)}\in\mathcal R \).
    También es posible escribir esto: \( \textsf{Juan\ }\mathcal R\textsf{María} \).

  • Si \( \mathbb{Z} \) es el conjunto de números enteros, definimos \( m\mathcal R n \) como la relación "\( m \) es divisor de \( n \)". En símbolos, tenemos:

    \( \mathcal R=\{(m,n)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}: \exists{k\in \mathbb{Z}}:mk=n\} \)

    Esta relación se suele denotar más bien como \( m|n \), o sea, en lugar de una \( \mathcal R \) se utiliza el símbolo \( | \).
  • Sea A un conjunto no vacío cualquiera y observemos la relación \( \mathcal R=\{(a,a):a\in A\}. \) ¿Qué relación es esta?
    Si reflexionamos un poco, un par \( (a,b) \) está en \( \mathcal R \) si, y sólo si, \( a= b \).
    Así que, naturalmente, esta es la relación de igualdad. Tenemos que \( a\mathcal R b si \), y sólo si, \( a=b \).
  • El producto cartesiano \( A\times A \) es un subconjunto de sí mismo. ¿Puede ser \( A\times A \) una relación? Claro que sí, aunque no nos dice mucho.
  • En los conjuntos de números, tenemos la relación de orden \( x<y \).
  • El conjunto vacío es trivialmente una relación, pero no nos dice mucho.

Terminología: En general, si una relación \( \mathcal R \) es subconjunto de \( A\times B \), se dice que \( A \) es el dominio de la relación \( \mathcal R \), y que \( B \) es la imagen de \( \mathcal R \). Se denota esto así:

\( \textsf{Dom}(\mathcal R)=A,\qquad\textsf{Im}(\mathcal R)=B. \)

Si agrandamos el dominio y la imagen, pero no agregamos más pares a la relación, obtenemos la misma relación.
Pero en este caso tenemos una posible ambiguedad en la noción de dominio e imagen.
Para evitar esto, podemos tomar varios caminos:
  • Decir que una relación en realidad es una lista \( (\mathcal R,(A,B)) \) donde \( A \) y \( B \) son conjuntos que harán las veces de dominio de \( \mathcal R \).
  • Considerar que el dominio es el mínimo conjunto posible, vale decir, el conjunto de todas las primeras componentes que figuran en los pares de la relación. Y asimismo, la imagen sería el conjunto de todas las segundas componentes que figuran en la relación.
  • No escribir igualdades como \( A=textsf{Dom}(\mathcal R) \), y simplemente decir que un conjunto \( A \) sirve como dominio para la relación \( \mathcal R \), o que el dominio mínimo está incluido en \( A \).
    En tal caso se hace una relajación del lenguaje y se dice simplemente: \( A \) es "el" dominio de \( \mathcal R \), cuando sabemos que en relidad en vez de "el" debiera decirse "un".
[cerrar]

Funciones.

Una función \( f \) de un conjunto \( A \) en un conjunto \( B \) se define como una relación con dominio \( A \) e imagen \( B \), con las siguientes propiedades:
  • Dominio efectivo: Todo elemento \( x \in A \) tiene al menos una imagen \( y\in B \) tal que (x,y)\in f
  • Unicidad de la imagen: \( (x,y),(x,z)\in f\Longrightarrow{y=z} \).

Para indicar que el dominio y la imagen de \( f \) son \( A \) y \( B \) respectivamente, se escribe \( f:A\to B \).
Para indicar que \( (x,y)\in f \) se suele escribir mejor \( y=f(x) \). La notación de igualdad no es contradictoria ni ambigua porque a cada \( x\in A \) le corresponde por \( f \) un, y sólo un elemento \( y\in B \).
También se puede escribir \( x\to y \), o bien \( x\to f(x) \), etc.

A diferencia de las relaciones, el dominio de una función está claramente determinado.

Otras notaciones para funciones: Se pueden usar subíndices. Supongamos una función \( \alpha:I\to B \). En vez de escribir \( \alpha(\iota) \) para la imagen de \( \iota\in I \) por la función \( \alpha \), podemos más bien describir la función como \( \{\alpha_\iota\}_{\iota\in I} \). En este caso I se llama conjunto de índices.
En vez de decir \( \alpha:I\to B, \iota\to\alpha(\iota) \), podemos anotar de forma más compacta \( \{\alpha_\iota\}_{\iota\in I}\subset B \).

Más detalles sobre funciones en el desplegable:

Más comentarios sobre funciones
A menudo nos interesa indicar que a un objeto le aplicamos una transformación para convertirlo en otro, o bien indicar que a los elementos de un conjunto se le asocian objetos de otro conjunto, en forma unívoca. Este tipo de asociación o de aplicación, origina el concepto de función.

Si uno reflexiona un poco, se da cuenta que uno puede indicar funciones como pares ordenados (x,y) en los que al elemento x se lo ha transformado en y.
Esto de "transformar" o "aplicar" son sólo términos intuitivos.
Matemáticamente, una función es una colección de pares ordenados con la propiedad de que a la primer componente se le asocia sólo una segunda componente.
O sea, si al objeto \( x \) lo transformamos en \( y \), \( y \) también en \( z \), para que la transformación esté bien definida es necesario que siempre dé el mismo resultado, es decir, que \( y=z \).

En resumen, una función se puede especificar como una relación especial, en la cual se tiene la propiedad unicidad de la imagen.
También se exige que todo objeto del dominio tenga imagen.


Ejemplos de funciones:

  • Si \( D \) es el conjunto de todos los dientes, y \( M \) es el conjunto de todos los mamíferos, podemos definir la función \( f:D\to M \) que asigna a cada diente \( x\in D \) su dueño \( f(x) \).
  • Dado el conjunto \( C \) de todos los círculos en el plano, y \( R \) el conjunto de los números reales, podemos considerar la función \( f:C\to R \) que asigna a cada círculo su radio.
  • Dado un conjunto \( A \) de números, y \( \mathbb{C} \) el conjunto de números complejos, podemos definir una función \( f:A\to \mathbb{C} \) que a cada \( x\in A \) asigna su cuadrado \( f(x)=x^2 \).
  • Dado un conjunto \( X \) cualquiera, podemos definir la función identidad en \( X \), dada por \( f:X\to X, f(x)=x \).

Observación: Toda función es una relación, pero no siempre sucede a la inversa.

[cerrar]



Productos cartesianos generalizados.

Volvamos a los productos cartesianos.

Discusión general sobre la construcción correcta de productos cartesianos de un número finito de factores

Discusión: ¿Es el producto cartesiano una operación asociativa?
O sea, dados tres conjuntos \( A, B, C \), ¿son iguales los productos \( (A\times B)\times C \) y \( A\times(B\times C) \)?

La respuesta es negativa, por cuanto los elementos de \( (A\times B)\times C \) son de la forma \( ((a,b),c) \) y los de \( A\times(B\times C) \) son de la forma \( (a,(b,c)) \).
Si esos elementos fueran iguales, se tendría que \( ((a,b),c)=(a,(b,c)) \).
Por la definición de igualdad de pares ordenados se tendría que cumplir que \( (a,b)=a \) y que \( c=(b,c) \).

No obstante esto no es posible. ¿Por qué? Tan sólo digamos que en la teoría axiomática de conjuntos existe un axioma (llamado de regularidad) que impide que un conjunto sea elemento de sí mismo, y en particular esto implica que un par ordenado sea elemento de sí mismo.

Esta contradicción muestra que, en general, no es lo mismo asociar los productos cartesianos de una forma que de otra.

Por lo tanto, algo como \( A\times B\times C \) tendría una definición ambigua.
¿Cómo se soluciona?

Lo que se hace es ampliar la noción de igualdad para ternas ordenadas de elementos cualesquiera, diciendo por ejemplo que \( ((a,b),c) \) y \( (a,(b,c)) \) son "equivalentes", y se escribirían ambas indistintamente como la terna \( (a,b,c) \).
Ahora sí que tendríamos que los productos \( (A\times B)\times C \) y \( A\times (B\times C) \) son "iguales" en este sentido en el que sus ternas componentes son "equivalentes", y escribimos sin ambigüedad \( A\times B\times C \).

De esta suerte, es posible generalizar a listas ordenadas de un número finito de elementos \( (a_1,a_2,\cdots,a_n) \), diciendo que todas las formas posibles de asociar sus elementos como pares... son equivalentes.
Así que es posible definir sin ambigüedad ahora productos cartesianos de \( n \) factores \( A_1, A_2,\cdots, A_n \).

\( A_1\times A_2\times\cdots \times A_n=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n):a_1\in A_1,a_2\in A_2,\cdots,a_n\in A_n\} \)

[cerrar]

En el desplegable anterior se explica la manera de enfrentarse al problema de definir correctamente el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos \( A_1,A_2,\cdots, A_n \).

Se pueden evitar todas las complicaciones allí comentadas apelando a otro modo de construir o visualizar las cosas. Para ello, reformularemos la manera de definir listas ordenadas de \( n \) elementos. Los detalles, en el siguiente desplegable:

Reformulación de la noción de producto cartesiano de n conjuntos
Consideremos las funciones cuyo dominio es el conjunto \( \{1,2,\cdots,n\} \) y cuya imagen está contenida en cierto conjunto \( W \).
Tomemos una lista de elementos \( a_1,a_2,\cdots,a_n\in W \).
Definamos la función \( f \) mediante \( f(i) = a_i \), para cada \( i=1,2,\cdots,n \).
Si ahora tenemos otros elementos \( b_1,b_2,\cdots,b_n \), y una función \( g \) dada por \( g(i)=b_i \), \( i=1,2,\cdots,n \), nos preguntamos bajo qué condiciones \( f \) y \( g \) son iguales.

Para que dos funciones sean iguales, para cada elemento del dominio ha de coincidir su imagen.
Esto implica que, para cada \( i\in\{1,2,\cdots,n\} \) se ha de cumplir la condición \( f(i)=g(i) \).
Pero esto implica ahora que \( a_i=b_i \), para todo \( i\in\{1,2,\cdots,n\} \).

Esto nos está sugiriendo que una forma adecuada de definir listas ordenadas de \( n \) elementos es por medio de funciones, por cuanto se cumpliría la propiedad de que dos listas son iguales si, y sólo si, lo son una a una sus componentes.

De modo que estaríamos definiendo la lista ordenada \( (a_1,a_2,\cdots,a_n) \) como el "objeto" \( f \), o sea, una función con dominio \( \{1,2,\cdots,n\} \) cuyos valores van recorriendo a los elementos \( a_1,a_2,\cdots,a_n \).

¿Cómo se define ahora el producto cartesiano de \( n \) conjuntos \( A_1,A_2,\cdots,A_n \)?
Lo hacemos diciendo que \( A_1\times A_2\times \cdots\times A_n \) es el conjunto de todas las funciones cuyo dominio es \( \{1,2,\cdots,n\} \), y cuyas imágenes van recorriendo todos los elementos de \( A_1,A_2,\cdots,A_n \).

Eso dicho así está algo impreciso, y tenemos que concretar mejor formalmente. Ya vamos.
Antes tenemos que preguntarnos ¿cuál es el conjunto imagen de esas "funciones" que estamos tomando como elementos del producto así definido?
Para simplificar la definición, conviene poner como conjunto de llegada a uno que sea lo bastante grande como para contener todos los elementos necesarios.
Si miramos un rato, vemos que la imagen de cada función \( f \) de las antes comentadas necesita que su imagen \( W \) contenga elementos de cada uno de los conjuntos \( A_1,A_2,\cdots,A_n \).

Pero no necesita más que eso.
Así que el conjunto imagen \( W \) que puede tomarse es la unión de \( A_1,A_2,\cdots,A_n \).
Basta que tomemos, pues:

\( W=\bigcup_{i=1}^n A_i. \)

Ahora sí ya podemos completar la definición de producto cartesiano:

\( A_1\times A_2\times \cdots\times A_n=\{f|f\textsf{\ función con dominio\ }\{1,2,\cdots,n\}\textsf{\ e imagen\ }\bigcup_{i=1}^n A_i,\textsf{\ tal que\ }f(i)\in A_i, i=1,2,\cdots,n\}. \)

Si \( f \) representa la lista \( (a_1,a_2,\cdots,a_n) \), se tiene \( f(i)=a_i \),
y así la condición exigida de que \( f(i)\in A_i \) significa lo que ya esperábamos, a saber, que \( a_i \) sea un elemento del conjunto \( A_i \), y no de cualquier otro conjunto de la lista.

Esta propiedad de las funciones \( f \), de que cada \( f(i) \) pertenezca a \( A_i \), para \( i=1,2,\cdots,n \), lo que hace, a fin de cuentas, es "elegir" un elemento de cada conjunto \( A_i \), y formarse una lista con todos los elegidos.
Por ello se las suele llamar funciones de elección.

[cerrar]

Lo que hemos hecho es un "cambio de paradigma" en la noción de producto cartesiano.
Una vez acostumbrados a este paradigma, veremos que es muy útil para poder generalizar la noción de producto cartesiano al caso de infinitos factores.

En efecto, en vez de tomar como dominio a un conjunto finito \( \{1,2,\cdots,n\} \), me permito ahora tomar un conjunto de índices cualquiera \( I \).
Ahora tomo además una familia de conjuntos \( \{A_\iota\}_{\iota\in I} \), o sea, una familia tal que a cada \( \iota\in I \) le corresponde algún conjunto \( A_\iota \).

Ahora decimos que \( f \) es una función de elección de la familia \( \{A_\iota\}_{\iota\in I} \) si :
  • El domino de la función \( f \) es el conjunto de índices \( I \).
  • Los valores de llegada de \( f \) están contenidos en el conjunto imagen \( W \) dado por:

    \( \displaystyle W=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota. \)
  • Para cada \( \iota\in I \) se cumple que \( f(\iota)\in A_\iota \).

Ahora se define el producto cartesiano de todos los elementos de la familia \( \{A_\iota\}_{\iota\in I} \) mediante:

\( \displaystyle\prod_{\iota\in I}A_\iota :=\big\{f:f\textsf{\ es una función de elección de\ }\{A_\iota\}_{\iota\in I}\big\} \)

En la exposición cotidiana, puede que uno escriba estas cosas usando esta otra notación intuitivamente más clara:

\( \displaystyle\prod_{\iota\in I}A_\iota =\big\{\{a_\iota\}_{\iota\in I}:a_\iota\in A_\iota,\iota\in I\big\} \)

Observación: El producto cartesiano de \( n \) factores iguales \( A,A,\cdots,A \) es el conjunto de todas las funciones de \( \{1,2,\cdots,n\} \) en \( A \).
En tal caso, se escribe:

\( A^n = \underbrace{A\times A\times \cdots \times A}_{n} \).

¿Qué pasa si tenemos un producto cartesiano de infinitos factores iguales?
Bueno, en este caso recurrimos al último paradigma y cambiamos el conjunto de índices \( \{1,2,\cdots,n\} \) por un conjunto de índices arbitrario \( J \), que puede ser finito o infinito.

Si por cada \( \iota\in J \) tenemos que \( A_\iota = A \), o sea, todos los elementos de la familia de conjuntos son el mismo \( A \), entonces se puede demostrar que el producto cartesiano de todos ellos coincide con el conjunto de todas las funciones de \( J \) en \( A \).
A este conjunto se lo suele denotar como \( A^J \).

Debemos advertir que hay aquí dos notaciones distintas para el caso finito:

\( A^n=A^{\{1,2,\cdots,n\}}. \)

Se usa comunmente la primera por brevedad.

Si \( J \) y \( K \) son dos conjuntos disjuntos, se puede demostrar que \( A^J\times A^K=A^{J\cup K} \).
Cuando \( J, K \), no son disjuntos, se los debe "maquillar" para que sean considerados disjuntos.
Esto se puede lograr de varias maneras, que no voy a explicar aquí.

En particular, se tiene la sugestiva igualdad:

\( A^m\times A^n = A^{m+n} \).



En el post siguiente retomaremos todo esto, pero en estilo "resumido" y con más precisión, siguiendo el esquema de contenidos de Munkres. También hay más ejercicios.




>> Clic aquí para Opiniones, preguntas y otros comentarios del curso: Topología (Munkres)

06 Enero, 2010, 06:24 pm
Respuesta #2

argentinator

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Capítulo 1. Repaso de Teoría de Lógica y Teoría de Conjuntos.

De este capítulo del libro de Munkres pondremos muy poca teoría, salvo que algo me llame la atención.
En cambio, listaremos todos los ejercicios para quienes quieran hacerlos.

Sección 1. Conceptos Fundamentales.

Hechos y observaciones sobre la parte teórica del texto:

\(  \bullet \) Significado de la conjunción "ó": En matemáticas, la conjunción "ó" siempre se interpreta de forma inclusiva: P ó Q significa: "P es cierta, o Q es cierta, o ambas son ciertas". Cuando se desea indicar que la conjunción es no inclusiva, se debe agregar la partícula "pero no son ciertas ambas a la vez", o más breve: "pero no ambas".

\(  \bullet \) Tablas de verdad para las operaciones lógicas elementales, tautologías y reglas de inferencia. Las resumimos en el desplegable:

Tablas de verdad

Dadas dos proposiciones lógicas \( p,q \), las operaciones de negación, disyunción, conjunción, implicación y doble implicación satisfacen las siguientes tablas de cálculo de sus valores de verdad (\( V \) = verdadero, \( F \) = falso):
\( p \)
no \( p \)


\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)

\( p \)
\( q \)
\( p \) ó \( q \)



\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( V \)
\( F \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)

\( p \)
\( q \)
\( p \) y \( q \)



\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)

\( p \)
\( q \)
\( p \Longrightarrow{}q \)



\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)

\( p \)
\( q \)
\( p \Longleftrightarrow{}q \)



\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)
\( F \)
\( F \)
\( F \)
\( V \)

Dadas variables proposicionales \( p,q,r \), etc., una expresión lógica formada como combinación de las operaciones anteriores involucrando a estas variables es una tautología si, para todos los valores de verdad posibles de \( p,q,r \), etc, en la columna final de la tabla de verdad se obtienen resultados todos V (verdaderos).

Un razonamiento tiene la forma simbólica

\( h_1,h_2,\cdots,h_n\xrightarrow[conclusion]\,{t}, \)

en donde las premisas \( h_1,h_2,\cdots,h_n \) son premisas que se llaman hipótesis y \( t \) es una premisa que se llama tesis.

Un razonamiento \( h_1,h_2,\cdots,h_n\xrightarrow[conclusion]\,{t}, \) es válido si la siguiente expresión es una tautología:

\( (h_1\textsf{\ y }h_2\textsf{\ y }\cdots\textsf{\ y}h_n)\Longrightarrow{t} \)

Razonamiento Modus Ponens: Dadas dos premisas \( p,q \), el razonamiento Modus Ponens es de la forma: \( p,p\Longrightarrow{q}\longrightarrow{q} \).
Esto se lee "Si \( p \), entonces \( q \)", o bien "De \( p \), se deduce \( q \)", o bien "\( q \) es consecuencia de \( p \)", o "\( p \) es suficiente para \( q \)", o "\( q \) es necesario para \( p \)".

Para comprobar que cierta premisa \( q \) es verdadera usando un razonamiento modus ponens, es necesario comprobar que hay alguna premisa \( p \) tal que son ciertas \( p \) y \( p\Longrightarrow{q} \).

Se dice que dos premisas \( p,q \) son equivalentes si se cumple que \( p\Longleftrightarrow{q} \) es verdadera.

Dada una premisa de la forma \( p\Longrightarrow{q} \) reconocemos estas premisas asociadas:
  • Directa: \( p\Longrightarrow{q} \)
  • Recíproca: \( q\Longrightarrow{p} \)
  • Contrapositiva: \( \textsf{no-}q\Longrightarrow{\textsf{no-}p} \)

Hay varias más, pero no las nombramos...

Se tiene la siguiente equivalencia lógica, para cualesquiera premisas \( p,q \):

\( (p\Longrightarrow{q})\Longleftrightarrow{(\textsf{no-}q\Longrightarrow{\textsf{no-}p})} \)

O sea, una premisa es equivalente a su contrapositiva, y así se puede probar una demostrando la otra, da igual.


Además, recordemos esta útil equivalencia:

\( (p\Longrightarrow{q})\Longleftrightarrow{(\textsf{no-}p\textsf{\ ó\ }q)}. \)

[cerrar]

\(  \bullet \) Funciones proposicionales y Cuantificadores. Una función proposicional \( p(x) \) es una premisa lógica cuyo valor de verdad depende de la variable \( x \).  Los detalles sobre esto, y el uso de cuantificadores, en el siguiente desplegable:

Proposiciones lógicas y cuantificadores

Si para toda sustitución posible de la variable \( x \) la proposición \( p(x) \) es verdadera, se escribe:

\( \forall{x}:p(x) \)

Si para al menos una sustitución de todas las posibles de la variable \( x \) la proposición \( p(x) \) es verdadera, se escribe:

\(  \exists{x}:p(x) \)

Las expresiones \( q=\forall{x}:p(x) \) y \( r= \exists{x}:p(x) \) son ellas mismas proposiciones lógicas.
Su valor de verdad o falsedad es siempre el mismo, no depende ya de la variable x, sin embargo, sí que depende de la estructura de la función proposicional \( p \).

El símbolo \( \forall{} \) se llama cuantificador universal, y
el símbolo \( \exists{} \) se llama cuantificador existencial.

El símbolo \( \forall{} \) puede verse como una conjunción "y" generalizada a un número arbitrario de casos.
El símbolo \(  \exists{} \) puede verse como una disyunción "ó" generalizada a un número arbitrario de casos.

[cerrar]

08 Enero, 2010, 04:27 am
Respuesta #3

argentinator

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Sección 6. Conjuntos Finitos.

Hay al menos un par de alternativas a la hora de definir las nociones de conjunto finito e infinito.
Sin entrar en demasiada polémica, vamos a usar de aquí en adelante las definiciones tal como aparecen en el texto de Munkres, y quizá en algún momento discutamos alguna alternativa.


\(  \bullet \) Definición. Sección inicial de enteros positivos. Se denomina sección o sección inicial de enteros positivos a todo conjunto de enteros positivos \( S_n \), para algún \( n \) entero positivo, donde:

\( S_n=\{1,2,\cdots,n\}. \)

\(  \bullet \) Un conjunto \( A \) se dice finito si, o bien es vacío, o bien existe una función biyectiva \( f:A\to\{1,\cdots,n\} \) para algún entero positivo \( n \). En el primer caso, se dice que \( A \) tiene cardinal \( 0 \), y en el último caso se dice que \( A \) tiene cardinal \( n \).

En particular, el conjunto \( \{1,\cdots,n\} \) es un ejemplo trivial de cardinalidad \( n \), por ser biyectivo consigo mismo, que es la sección \( S_n \).

Por ser demasiado obvio a nuestra experiencia cotidiana, se nos ha pasado por alto quizá un tecnicismo matemático importante.
Hemos dado por obvio que dos conjuntos finitos que tienen cardinales distintos, tienen en verdad distinta "cantidad" de elementos, sin precisar demasiado bien lo que esto significa.
Y también hemos dejado entrever que si dos conjuntos finitos no son biyectivos entre sí, entonces sus cardinales son distintos.
¿Pero es esto cierto?


Digamos que dos conjuntos finitos tienen el mismo cardinal si son biyectivos entre sí, o sea, si hay una biyección entre ambos. Esta misma definición se usa también para el caso de conjuntos que no son finitos, pero lo veremos más adelante.
Munkres no define este término de equicardinalidad en esta sección, pero me parece apropiado hacerlo.


Aquellas cuestiones que nos parecen obvias sobre los números y los cardinales finitos, son susceptibles de ser demostradas matemáticamente, y en tal caso la prueba debe darse y estudiarse con seriedad.
Las pruebas en sí mismas ilustran sutilezas del trabajo matemático mismo, y es esa su importancia.


\(  \bullet \) Lema 1. Sea \( n \) un entero positivo. Sea \( A \) un conjunto; sea \( a_0\in A \). Entonces existe una biyección \( f \) de \( A \) con \( \{1,\cdots,n+1\} \) si, y sólo si, hay una biyección \( g \) del conjunto \( A-\{a_0\} \) con \( \{1,\cdots,n\} \).

La demostración queda como ejercicio, como es costumbre en estas proposiciones de fácil deducción.
Aunque no duden en preguntar si no sale, o no se entiende.
Tan sólo recordar que como es una demostración con "si, y sólo si", requiere de dos partes, una "de ida" y otra "de vuelta".
Primero se supone que efectivamente existe la biyección \( g \) y se procura construir la biyección \( f \).
Y luego se parte de suponer la existencia de \( f \) y se construye \( g \), reordenando los elementos si hiciera falta, o sea, "rebuscándosela" para que la construcción funcione.

\(  \bullet \) Teorema 2. Sea \( A \) un conjunto; suponer que existe una biyección \( f:A\to\{1,\cdots,n\} \) para algún \( n\in \mathbb Z_+ \). Sea \( B \subsetneqq A \). Entonces no existe biyección alguna \( g:B\to\{1,\cdots,n\} \); pero si \( B\neq\emptyset \), existe una biyección \( h:B\to\{1,\cdots,m\} \) para algún \( m<n \).

De nuevo, la demostración queda como ejercicio. Demos, sin embargo, algunas indicaciones de cómo proceder con la prueba. Se comienza estudiando el caso en que B es un conjunto vacío. Este caso es trivial, y es bueno descartarlo de entrada por ser diferente a los otros.
Luego se realiza una prueba por inducción en el número \( n \) del enunciado del Teorema (que corresponde al cardinal del conjunto de "llegada" de la biyección \( f \)).
Se forma la colección \( C \) de enteros positivos para los cuales el Teorema es cierto, y luego se procura demostrar que \( C \) es un conjunto inductivo. Es decir, que primero se debe demostrar que el Teorema es cierto cuando \( n=1 \). A continuación se supone que el Teorema es válido para un valor \( n \) genérico, y se procura demostrar que bajo ese supuesto, aún es cierto el Teorema para el valor \( n+1 \). En este paso inductivo se debe usar el Lema 1.
Se requiere un poco de reflexión y trabajo hasta que la prueba sale bien, pero tras unos minutos de atención, las cuentas salen sin dificultad.
En el texto de Munkres está completa, y si no, como siempre, pueden consultar si no sale o no se entiende.
Les recomiendo que presten mucha atención a los hechos que el Teorema exige demostrar, y que lo hagan con el detalle pertinente. Nada de dejar cabos sueltos. Es un ejercicio de exactitud, antes que todo, y por ello se requiere paciencia.

\(  \bullet \) Corolario 3. Si \( A \) es finito, no existe una biyección de \( A \) con un subconjunto propio de sí mismo.

La demostración es un sencillo ejercicio, que consiste en hacer una prueba por reducción al absurdo, y aplicando el Teorema 2. Es, de nuevo, más tecnicismo.

La moraleja de este último resultado es que todo conjunto que es biyectivo con una parte propia de sí mismo, no puede ser finito.

Por esta razón, Dedekind tomó el camino de usar estas propiedades como base para definir las nociones de conjunto finito e infinito.
Decimos que un conjunto \( A \) es Dedekind-finito si es vacío o no existe biyección con una parte propia de sí mismo.

El Corolario anterior nos estaría diciendo ahora que un conjunto es finito si, y sólo si, es Dedekind-finito.
O sea, ambas definiciones resultan lógicamente equivalentes.
¿Y entonces para qué preocuparse? ¿Por qué no dejar la definición más clara de finitud, que habla de tener un cardinal \( n \), y punto?
Bueno, la ventaja de la definición de Dedekind es que el concepto de finitud no está atado a la existencia de un sistema como el de los enteros positivos.


\(  \bullet \) Corolario 4. \( \mathbb{Z}_+ \) no es finito.

Esto se deduce del simple hecho de que existe una biyección de \( \mathbb{Z}_+ \) con un subconjunto propio, digamos \( \mathbb{Z}_+-\{1\} \). ¿Cuál sería? ;)

\(  \bullet \) Corolario 5. La cardinalidad de un conjunto finito \( A \) está unívocamente determinada por \( A \).

Esa manera tan pintoresca de enunciar un Corolario tan sólo significa que si \( A \) tiene asociado dos cardinales \( m,n, \) entonces en realidad son necesariamente el mismo, vale decir, \( m=n \).
La prueba se deja como ejercicio, y basta considerar por ejemplo el caso en que \( m<n \) y jugar con biyecciones, hasta obtener una contradicción con el Corolario 4.

\(  \bullet \) Corolario 6. Si  \( A \) es un conjunto finito, y si \( B\subset A \), entonces \( B \) es finito. Si \( B \subsetneqq A \), entonces la cardinalidad de \( B \) es menor que la cardinalidad de \( A \).

\(  \bullet \) Corolario 7. Sea \( B \) un conjunto no vacío. Entonces las siguientes aserciones son equivalentes:
  • (1) \( B \) es finito.
  • (2) Hay una función suryectiva de una sección de los enteros positivos sobre \( B \).
  • (3) Hay una función inyectiva de \( B \) en una sección de los enteros positivos.

Demostración

Cuando hay varias equivalencias, es práctico probarlas equivalencias "en círculo" para ahorrar trabajo.
Demostraremos que \( (1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(1) \).

\( (1)\Rightarrow(2): \) Por definición de conjunto finito, como \( B\neq\emptyset \), existe una biyección \( f:\{1,\cdots,n\}\to B \) para algún entero positivo \( n \). Esta biyección sirve como suryección, y la prueba termina aquí.

\( (2)\Rightarrow(3): \) Si \( f:\{1,\cdots,n\}\to B \) es suryectiva, definir \( g:B\to\{1,\cdots,n\} \) por medio de la ecuación:

\( g(b)=\textsf{el elemento mínimo de\ } f^{-1}(\{b\}). \)

Como \( f \) es suryectiva, el conjunto \( f^{-1}(\{b\}) \) es no vacío; entonces la propiedad de buena-ordenación de \( \mathbb{Z}_+ \) implica que \( g(b) \) está bien definida y en forma unívoca.
Probemos que \( g \) es inyectiva. Si \( b\neq b' \), entonces los conjuntos \( f^{-1}(\{b\}) \) y \( f^{-1}(\{b'\}) \) son disjuntos, luego sus elementos mínimos han de ser necesariamente diferentes entre sí.

\( (3)\Rightarrow(1): \) Si \( g:B\to\{1,\cdots,n\} \) es inyectiva, entonces cambiando el rango de \( g \) se obtiene una biyección de \( B \) con un subconjunto de \( \{1,\cdots,n\} \). Se sigue del Corolario 6 que \( B \) es finito.



La prueba del Lema anterior es un calco de la dada en Munkres, y no ví razón para cambiarla.
Sin embargo, es posible apuntar aquí una sutil observación en lo que respecta a la prueba de que \( (2)\Rightarrow(3) \).
Notemos cómo es que allí se pudo obtener una inyección a partir de una suryección, con una aplicación de la propiedad de buena ordenación de \( \mathbb{Z}_+ \).
¿Hubiera sido posible dar una demostración similar sin recurrir a una propiedad como esa?
¿Qué es lo que esto significa?
En subsecuentes secciones veremos que la buena ordenación es equivalente al axioma de elección, un principio matemático muy controvertido.
Pareciera que un Corolario tan sencillo como el que estamos analizando aquí no puede "cerrarse" sin apelar a hechos "fuertes" como la buena ordenación.
Y después de todo, ¿qué es lo que hace que la buena ordenación haga el trabajo aquí?
Lo que realmente hace falta en la prueba es una regla que permita definir la función \( g \), de forma concreta. Algún "algoritmo" o "ley" que determine, a fin de cuentas, una "función" \( g \) bien construida, y que unívocamente determine un "valor" \( g(x) \) para cada \( x \) del dominio.


Al trabajar con funciones "suryectivas" surge el inconveniente de que las preimágenes no son necesariamente "únicas". Así que, ¿con qué criterio elegir una preimagen concreta para formar una nueva función? Si uno tiene una forma de hacerlo, bienvenido sea. Pero no siempre será así, y en el contexto general de la teoría de conjuntos sólo se puede echar mano de principios generales, como la propiedad de buena ordenación y sus equivalentes.

[cerrar]

\(  \bullet \) Corolario 8. Uniones finitas y productos cartesianos finitos de conjuntos finitos, son de nuevo finitos.

Demostración

Dejamos los detalles como ejercicio, pero demos el esquema de la prueba.

Primero se debe probar que, si \( A,B \), son dos conjuntos finitos, su unión \( A\cup B \) es finita.
El caso en que se tienen conjuntos vacíos es trivial, y pasamos rápidamente a suponer que ambos \( A,B \), son no vacíos.
Se obtienen biyecciones \( f:\{1,\cdots,n\}\to A \) y \( g:\{1,\cdots,m\}\to B \), para ciertos \( n,m\in\mathbb{Z}_+ \), y luego se aprovechan para construir una suryección \( h:\{1,\cdots,m+n\}\to A\cup B \). Se aplica el Corolario 7 para decir que \( A\cup B \) es finito.

Nótese que es muy natural obtener ahí una suryección antes que una biyección. ¿Por qué?

Ahora, para una unión \( A_1\cup A_2\cup\cdots \cup A_k \) se procede por inducción en el índice \( k \).

Si \( A,B \), son finitos, se analiza lo que ocurre con \( A\times B \). Para ello es posible aprovechar lo hecho para las uniones.
Tomamos primero un elemento individual \( a\in A \), y observamos que el producto \( \{a\}\times B \) es obviamente finito. ¿Por qué?.
Si ahora hacemos \( A\times B=\bigcup_{a\in A}\{a\}\times B \), hemos logrado escribir el producto \( A\times B \) como una unión finita de conjuntos finitos.
Por el párrafo precedente, esto es un conjunto finito.

Finalmente, para un producto finito \( A_1\times A_2\times\cdots\times A_k \) de conjuntos finitos, se procede por inducción en el índice \( k \).

[cerrar]



Ejercicios Sección 6

  • Ejercicio 6.1
    • (a) Hacer una lista de todas las funciones inyectivas \( f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\} \).
      Muestre que ninguna es biyectiva.
    • (b) ¿Cuántas funciones inyectivas \( f:\{1,\cdots,8\}\to\{1,\cdots,10\} \) hay?
  • Ejercicio 6.2 Muestre que si \( B \) no es finito y \( B\subset A \), entonces \( A \) no es finito.
  • Ejercicio 6.3 Sea \( X=\{0,1\} \). Halle una biyección entre \( X^\omega \) y un subconjunto propio de sí mismo.
  • Ejercicio 6.4 Sea \( A \) un conjunto finito no vacío simplemente ordenado (estrictamente).
    • (a) Muestre que \( A \) tiene un elemento máximo. (Ayuda: proceda por inducción en el cardinal de \( A \)).
    • (b) Muestre que \( A \) tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
  • Ejercicio 6.5 Si \( A\times B \) es finito, ¿se deduce que \( A \) y \( B \) son también finitos?
  • Ejercicio 6.6
    • (a) Sea \( A=\{1,\cdots,n\} \). Mostrar que hay una biyección de \( \mathcal{P}(A) \) con el producto cartesiano \( X^n \), donde \( X \) es el conjunto \( X=\{0,1\} \).
    • (b) Muestre que si \( A \) es finito, entonces \( \mathcal{P}(A) \) es finito.
  • Ejercicio 6.7 Si \( A,B \) son finitos, mostrar que el conjunto de todas las funciones \( f:A\to B \) es finito.

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Sección 7. Conjuntos Numerables y No Numerables.

\(  \bullet \) Definición. Un conjunto \( A \) se dice infinito si no es finito. Se dice que es infinito enumerable si hay una función biyectiva \( f:A\to\mathbb{Z}_+ \).

\(  \bullet \) Ejemplo 1. El conjunto \( \mathbb{Z} \) de los enteros es infinito enumerable. ¿Qué biyección serviría para demostrarlo?

\(  \bullet \) Ejemplo 2. El conjunto \( \mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+ \) es infinito enumerable. Para probarlo, sea \( A=\{(x,y)\in\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+|x \leq y\} \), y defínanse las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to A \), \( f(x,y)=(x+y-1,y) \), y \( g:A\to\mathbb{Z}_+ \), \( g(x,y)=\frac12(x-1)x+y \). Esas dos funciones son biyectivas (probarlo), y su composición es la biyección buscada.

\(  \bullet \) Un conjunto se dice contable o numerable o enumerable si es finito o bien infinito enumerable. Si un conjunto no es numerable, se dice no-numerable.

Munkres enuncia y demuestra aquí un Teorema que, a fin de cuentas, necesita de una propiedad de los números enteros positivos denominada Principio de Definición Recursiva.
Lo que haremos nosotros es enunciarlo antes del Teorema, para que la estructura de la Sección sea más idónea.
Dicho Principio se da sin demostración, pero puede probarse. La prueba se da en la Sección 8.
La manera en que se enuncia este Principio a continuación es algo informal.


\(  \bullet \) Principio de Definición Recursiva. Sea \( A \) un conjunto. Dada una fórmula que define \( h(1) \) como un elemento único de \( A \), y para \( i>1 \) define \( h(i) \) unívocamente como un elemento de \( A \) en términos de los valores de \( h \) para enteros positivos menores que \( i \), resulta que esta fórmula determina una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to A \).

Este Principio permite utilizar ciertas fórmulas de recurrencia para definir algunas funciones cuyo dominio es \( \mathbb{Z}_+ \).
Cuando esto se lleva a cabo, suele decirse que se hace una definición por inducción o por recurrencia.
Sin un Principio de Definición por Recurrencia, las definiciones recursivas no podrían aceptarse.


\(  \bullet \) Teorema 1. Sea \( B\neq\emptyset \). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
  • (1) \( B \) es enumerable.
  • (2) Hay una función suryectiva \( f:\mathbb{Z}_+\to B \).
  • (3) Hay una función inyectiva \( g:B\to\mathbb{Z}_+ \).

Demostración

La demostración requiere seguir pasos similares al Corolario 7 de la Sección 6.
Sin embargo, en algunos casos conviene separar el análisis según que el conjunto \( B \) sea finito o no.

\( (1)\Rightarrow(2): \) El caso infinito es sencillo, y en el caso finito basta tomar una biyección entre alguna sección \( \{1,\cdots,n\} \) y \( B \) y "rellenarla" poniendo algún elemento arbitrario de \( B \) como valor de \( f(k) \) si  \( k > n \).

\( (2)\Rightarrow(3): \) Se repite lo hecho en la Sección 6.

\( (3)\Rightarrow(1): \) Dada la inyección \( g \), se puede reducir su codominio para obtener una biyección entre \( B \) y un subconjunto \( C \) de \( \mathbb{Z}_+ \).
Como todo subconjunto de \( \mathbb{Z}_+ \) es numerable (este hecho lo probaremos en el Lema 2), resulta que \( C \) es numerable.
Esto implica que \( B \) es numerable.

[cerrar]


\(  \bullet \) Lema 2. Si \( C \) es un subconjunto infinito de \( \mathbb{Z}_+ \), entonces \( C \) es infinito enumerable.

Demostración

Se debe definir una biyección \( h:\mathbb{Z}_+\to C \). El procedimiento es bastante típico, y se hace recursivamente.
Se pone \( h(1)=\textsf{minimo}(C) \), y asumiendo que los valores \( h(1),\cdots,h(n) \) han sido definidos, se estipula que \( h(n+1)=\textsf{minimo}(C-\{h(1),\cdots,h(n)\}) \).

Para que esta definición funcione, se requiere comprobar que es correcta, o sea, bien definida. Vale decir: el conjunto sobre el cual se está tomando el mínimo en cada paso debe ser no vacío.
Luego se debe comprobar que \( h \) es biyectiva, lo cual se hace chequeando por separado que es inyectiva y suryectiva.

Dejamos los detalles como ejercicio.

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\(  \bullet \) Corolario 3. Un subconjunto de un conjunto enumerable es enumerable.

La demostración queda como ejercicio.

\(  \bullet \) Corolario 4. El conjunto \( \mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+ \) es infinito numerable.

Demostración

Debido al Teorema 1, es suficiente construir una función inyectiva \( f:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \). Definimos \( f \) como \( f(n,m)=2^n3^m \).

Es fácil verificar que \( f \) es inyectiva, y se deja como ejercicio (usar la paridad de las potencias de 2 y de 3).

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\(  \bullet \) Ejemplo. El conjunto \( \mathbb{Q}_+ \) de números racionales positivos es infinito enumerable. Se deja como ejercicio. Digamos al menos que se puede aprovechar la función suryectiva \( g:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Q}_+ \) dada por \( g(n,m)=m/n \).

\(  \bullet \) Teorema 5. Una unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

Demostración (se dan dos pruebas alternativas, y se discute el uso del Axioma de Elección)

Sea \( \{A_n\}_{n\in J} \) una familia de conjuntos numerables, donde el conjunto de índices \( J \) es \( \{1,\cdots,N\} \) o bien \( \mathbb{Z}_+ \).
Asumir que cada conjunto \( A_n\neq\emptyset \) (si se tuvieran en cuenta los conjuntos vacíos, no se agregaría elemento alguno a la unión total).
Como cada \( A_n \) es numerable, podemos elegir para cada \( n \) una función suryectiva \( f_n:\mathbb{Z}_+\to A_n \). Similarmente, podemos elegir una función suryectiva \( g:\mathbb{Z}_+\to J \).

Ahora definimos
\( \displaystyle h:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to\bigcup_{n\in J}A_n;\qquad\qquad h(k,m)=f_{g(k)}(m). \)

La función \( h \) es suryectiva (verificarlo).
Como hay una biyección entre \( \mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+ \) y \( \mathbb{Z}_+ \), la numerabilidad de la unión se sigue del Teorema 1.



En esta demostración se utiliza una "elección" bastante arriegada.
Es cierto que para cada \( n \) existe una suryección \( f_n:\mathbb{Z}_+\to A_n \), pero no sabemos cuántas hay, o claramente cuáles son todas, y así, "elegir" una de ellas sin una "regla concreta" es algo que no podría hacerse, eventualmente.
Para poder hacerlo se ha de recurrir al Axioma de Elección.
Por un lado, este axioma es controvertido, pero por otro lado, se usa muy comunmente en matemática, y más aún en topología. Así que nosotros lo utilizaremos sin mayores pruritos.

Sin embargo, tengo una objeción de usar el Axioma de Elección en este punto. ¿Por qué? Bueno, por la sencilla razón de que el texto de Munkres introduce y estudia el Axioma de Elección en secciones posteriores.
¿Sería posible evitar el uso del Axioma de Elección, al menos en este punto?
Mi opinión es que esto no se puede conseguir.

Sin embargo, planteo una prueba alternativa, que busca aislar mejor dónde está el inconveniente, o sea, el punto crucial donde el Axioma de Elección se hace claramente inevitable.
Eso es lo que haré en los párrafos que siguen en color azul.


Segunda demostración del mismo Teorema.
Ciertamente, si definimos \( B_n=\bigcup_{m \leq n} A_n \), es posible demostrar por inducción que cada conjunto \( B_n \) es numerable. Más aún, forman una familia creciente de conjuntos: \( B_1\subset B_2\subset \cdots \).

Puede que se tenga una lista finita de estos conjuntos \( B_1,\cdots, B_N \), o bien que a partir de cierto índice \( N \) todos los conjuntos sean iguales: \( B_N=B_{N+1}=\cdots \)
En cualquier caso, la unión de la familia \( \{A_n\}_{n\in J} \) es igual a \( B_N \), que resulta pues numerable.

Supongamos el caso restante, a saber, que \( B_n  \subsetneqq B_{n+1} \), todo \( n\in\mathbb{Z}_+ \).
Denotemos \( V=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}_+} B_n \).
Ciertamente \( V \) debe ser un conjunto infinito (por qué).
Esto implica que existe algún \( n\in\mathbb{Z}_+ \) tal que \( B_{n} \) es infinito (¿por qué?).
Por buena ordenación de \( \mathbb{Z}_+ \), hay un mínimo \( n_0\in\mathbb{Z}_+ \) con esta propiedad.
Vamos a suponer, para simplificar la exposición, que \( B_1 \) es ya infinito, o sea, \( n_0=1 \), ya que la unión total \( V \) tendrá, después de todo, a todos los elementos que estamos considerando, pues la unión es "creciente".
/color]

Ahora definimos una función \( \beta:V\to\mathbb{Z}_+ \) que indica el mínimo índice \( n \) al que pertenece cada \( x\in V \), así:

\( \beta:V\to\mathbb{Z},\qquad\beta(x)=\min\{n|x\in B_n\}. \)

Como cada \( B_n \) ahora es infinito numerable, para cada \( n \) existen funciones biyectivas de \( B_n \) en \( \mathbb{Z}_+ \) .
Denotemos \( \mathcal{F}_n \) a la familia de todas las funciones biyectivas \( f:B_n\to\mathbb{Z}_+ \).
Consideremos ahora una sucesión de funciones \( \sigma=\{f_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+} \) tal que \( f_n\in \mathcal{F}_n \).
Hemos "elegido" un elemento \( f_n \) para cada \( n \) del conjunto infinito \( \mathbb{Z}_+ \).
O sea, hemos hecho uso del Axioma de Elección, aunque notemos que la colección \( \{\mathcal{F}_n|n\in\mathbb{Z}_+\} \) es sólo infinita numerable, por lo tanto es suficiente una versión numerable del Axioma de Elección
.

Vamos a construir una función \( g_\sigma:V\to\mathbb{Z}_+ \) de la siguiente manera:
Para cada \( x\in V \), hacemos

\( g_\sigma(x)=f_{\beta(x)}(x). \)

Esta definición tiene pleno sentido, porque todo \( x\in V \) está presente en \( B_{\beta}(x) \), en cuyo caso \( x \) está en el dominio de \( f_{\beta(x)} \).
Ahora construyamos otra función \( h_\sigma:V\to\mathbb{Z}_+ \) de la siguiente manera:

\( h_\sigma(x)=2^{\beta(x)}3^{g_\sigma(x)}. \)

Probemos que cualquiera de estas funciones es inyectiva. Sean pues \( x,y\in V \), y supongamos que \( h_\sigma(x)=h_\sigma(y) \).
Obtenemos que \( 2^{\beta(x)}3^{g_\sigma(x)}=2^{\beta(y)}3^{g_\sigma(y)} \).
Como los números 2 y 3 son coprimos entre sí, resulta que \( 2^{\beta(x)}=2^{\beta(y)} \), y \( 3^{g_\sigma(x)}=3^{g_\sigma(y)} \).

De la igualdad \( 2^{\beta(x)}=2^{\beta(y)} \), inferimos que \( \beta(x)=\beta(y) \).
Esto significa que el mínimo índice \( n \) tal que \( x\in B_n \) es el mismo para el que \( y\in B_n \).
O sea, existe un \( n_0 \) tal que \( x,y\in B_{n_0} \), y además \( n<n_0 \) implica que \( x,y\not\in B_n \).
En particular, las funciones \( f_{\beta(x)} \) y \( f_{\beta(y)} \) son iguales, o sea, "son" la función \( f_{n_0} \), siendo iguales sus dominios al conjunto \( B_{n_0} \).

Ahora, de la igualdad \( 3^{g_\sigma(x)}=3^{g_\sigma(y)} \), inferimos que \( {g_\sigma(x)}={g_\sigma(y)} \).
Pero esto quiere decir, por definición de \( g_\sigma \), que \( f_{\beta(x)}(x)=f_{\beta(y)}(y) \).
Mas, dado que \( f_{\beta(x)}=f_{n_0}=f_{\beta(y)} \), tenemos que \( f_{n_0}(x)=f_{n_0}(y) \).
Como \( f_{n_0} \) es una función biyectiva, esto demuestra que \( x=y \).

Ahora bien. Hemos probado que existe una función inyectiva \( h_\sigma \) de \( V \) en \( \mathbb{Z}_+ \).
Esto implica por el Teorema 1 que \( V \) es un conjunto numerable.


[cerrar]

\(  \bullet \) Teorema 6. El producto finito de conjuntos numerables es numerable.

Demostración
Primero se prueba que el producto de dos conjuntos numerables \( A,B \) es numerable, y luego se procede por inducción en el número de factores.

Si alguno de los conjuntos \( A,B \) es vacío, todo es trivial, así que supongamos que son no vacíos.
Existen funciones suryectivas \( f:\mathbb{Z}_+\to A, g:\mathbb{Z}_+\to B \). Entonces la función \( h:\mathbb{Z}_+\times \mathbb{Z}_+\to A\times  B \), dada por \( h(n,m)=(f(n),g(m)) \) es suryectiva, y así \( A\times  B \) es numerable.

El caso general de \( n \) factores \( A_1\times \cdots\times A_n \) se demuestra por inducción en \( n \), y se deja como ejercicio.

[cerrar]



¿Es cierto que el producto cartesiano numerable de conjuntos numerables es también numerable? Respuesta: NO.

\(  \bullet  \) Teorema 7. Sea \( X=\{0,1\} \). Entonces \( X^\omega \) es un conjunto no-numerable.

Demostración
La prueba puede hacerse con el típico procedimiento diagonal de Cantor.
También puede usarse el hecho de que \( X^\omega  \) es biyectivo con \( \mathcal{P}(\mathbb{Z}_+) \), y aprovechar el conocido hecho de la teoría de conjuntos, que afirma que toda función de un conjunto \( Z \) en su conjunto de partes \( \mathcal{P}(Z) \) no puede ser jamás sobreyectiva.

En virtud del Teorema 1, parte (2), basta demostrar que toda función \( g:\mathbb{Z}_+\to X^\omega  \) no puede ser sobreyectiva.
Vamos a construir un elemento \( \mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots)\in X^\omega  \) que no pertenece a la imagen de \( g \).
Para cada \( n \), el valor de \( g(n) \) es una sucesión \( \mathbf{x}^n\in X^\omega  \), y podemos denotar a sus elementos como \( \mathbf{x}^n=(x^n_{1},x^n_2,\cdots) \).
Definimos finalmente \( y_n=1-x_^n_n \).

Dejamos como ejercicio comprobar que \( \mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots) \) no puede ser igual a \( g(n) \), cualquiera sea \( n\in\mathbb{Z}_+ \).

[cerrar]


\(  \bullet  \) Ejercicio. Demostrar que si \( B\neq\emptyset  \), y \( f:B\to C \) es inyectiva, entonces existe una función sobreyectiva \( g:C\to B \). ¿Cómo se construye \( g \)?

El siguiente Teorema da otro ejemplo de conjunto no-numerable, con \( A=\mathbb{Z}_+ \), por ejemplo.

\(  \bullet  \) Teorema 8. Sea \( A \) un conjunto. No existe aplicación inyectiva \( f:\mathcal{P}(A)\to A \), y tampoco existe aplicación sobreyectiva \( g:A\to \mathcal{P}(A) \).

Demostración

En virtud del Ejercicio precedente, basta probar que una aplicación \( g:A\to\mathcal{P}(A) \) no puede ser sobreyectiva.

Así que supongamos por el absurdo que sí existe una tal \( g \) sobreyectiva.

Notemos que las imágenes de la función \( g \) son subconjuntos de \( A \).
Si \( a\in A \), se tiene que, o bien \( a\in g(a) \), o bien \( a\not\in g(a) \).
Sea
\( B=\{a|a\in A-g(a)\}. \)

Se deja como ejercicio demostrar que \( B \) no está en la imagen de \( g \), o sea, no existe \( a_0\in A \) tal que \( f(a_0) \) es igual a \( B \).

(Si no sale, avisen, y completo con más detalles...)

[cerrar]

En un capítulo posterior se demostrará que \( \mathbb{R} \) es un conjunto no-numerable.
No se hace aquí, porque sólo hemos dado los axiomas de los números reales, y faltaría agregar una larga serie de construcciones para tener más claro cómo proceder.

Ejercicios Sección 7

  • Ejercicio 7.1 Demostrar que \( \mathbb{Q} \) es infinto numerable.
  • Ejercicio 7.2 Muestre que las funciones \( f,g \) de los Ejemplos 1 y 2 son biyecciones.
  • Ejercicio 7.3 Sea \( X=\{0,1\} \). Muestre que existe una biyección entre el conjunto \( \mathcal{P}(\mathbb{Z}_+) \) y el producto cartesiano \( X^\omega \).
  • Ejercicio 7.4
    • (a) Un número real \( x \) se dice algebraico (sobre los racionales) si satisface alguna ecuación polinomial de grado positivo.

      \( x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 \)

      con coeficientes racionales \( a_i \).
      Asumiendo que cada ecuación polinomial tiene sólo un número finito de raíces, mostrar que el conjunto de números algebraicos es numerable.
    • (b) Un número real se dice trascendente si no es algebraico.
      Asumiendo que los números reales son no-numerables, mostrar que los números trascendentes son no-numerables.

  • Ejercicio 7.5 Determine, para cada uno de los siguientes conjuntos, si son o no numerables. Justifique sus respuestas:
    • (a) El conjunto \( A \) de todas las funciones \( f:\{0,1\}\to \mathbb{Z}_+ \).
    • (b) El conjunto \( B_n \) de todas las funciones \( f:\{1,\cdots,n\}\to\mathbb{Z}_+ \).
    • (c) El conjunto \( C=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}B_n \).
    • (d) El conjunto \( D \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \).
    • (e) El conjunto \( E \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\{0,1\} \).
    • (f) El conjunto \( F \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to \{0,1\} \) que son eventualmente cero (esto significa que existe un entero positivo \( N \) tal que \( f(n)=0 \) para todo \( n \geq N \)).
    • (g) El conjunto \( G \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \) que son eventualmente \( 1 \).
    • (h) El conjunto \( H \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \) que son eventualmente constantes.
    • (i) El conjunto \( I \) de todos los subconjuntos de 2 elementos de \( \mathbb{Z}_+ \).
    • (j) El conjunto \( J \) de todos los subconjuntos finitos de \( \mathbb{Z}_+ \).

  • Ejercicio 7.6 Decimos que dos conjuntos \( A,B \) tienen la misma cardinalidad si hay una biyección de \( A \) con \( B \).
    • (a) Muestre que si \( B\subset A \) y si hay una inyección \( f:A\to B \), entonces \( A \) y \( B \) tienen la misma cardinalidad.
      Ayuda: Utilice una definición recursiva para construir conjuntos \( A_1=A,B_1=B \) y para \( n>1 \), \( A_n=f(A_{n-1}),B_n=f(B_{n-1}) \).
      Luego observe que \( A_1\supset B_1\supset A_2\supset B_2\supset A_3\supset\cdots \).
      Finalmente defina la biyección \( h:A\to B \) mediante:

      \( h(x)=\begin{cases}f(x),&x\in \bigcup_n (A_n-B_n),\\ x,&\textsf{en otro caso.}\end{cases} \)
    • (b) Teorema (de Schroeder-Bernstein). Si hay inyecciones \( f:A\to C \) y \( g:C\to A \), entonces \( A \) y \( C \) tienen la misma cardinalidad.

  • Ejercicio 7.7 Muestre que los conjuntos \( D,E \) del Ejercicio 5 tienen la misma cardinalidad.
  • Ejercicio 7.8 Denotemos \( X=\{0,1\} \); sea \( \mathcal{B} \) el conjunto de todos los subconjuntos numerables de \( X^\omega \). Muestre que \( X^\omega \) y \( \mathcal{B} \) tienen la misma cardinalidad.
  • Ejercicio 7.9
    • (a) La fórmula
      \( (*)\qquad h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad  n\geq2 \)

      no es una a la cual se aplica el principio de definición recursiva.
      Muestre que no existe una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R} \) que satisface esta fórmula.
      Ayuda: Reformule \( (*) \) tal que el principio pueda aplicarse y requiera que \( h \) sea positiva.
    • (b) Muestre que la fórmula \( (*) \) de la parte (a) no determina \( h \) unívocamente.
      Ayuda: Si \( h \) es una función positivia que satisface \( (*) \), hacer \( f(i)=h(i) \) para \( i\neq3 \), y \( f(3)=-3 \).
    • Muestre que no hay una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R} \) que satisface la fórmula

      \( h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad n \geq2. \)


[cerrar]

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Sección 8. El Principio de Definición Recursiva.


Esta sección es interesante, pero tiene resultados muy estandarizados de la teoría de conjuntos.
No quisiera perder tiempo con ellos, aún cuando a mí mismo me gustan muchísimo estos temas de las definiciones por recurrencia y cuestiones relacionadas.
No obstante, si cualquiera de ustedes desea más detalles, explicaciones, o quiere profundizar en todo esto, basta conque lo diga y nos sumergimos en el tema.


Sea \( C\subset  \mathbb{Z}_+ \) un conjunto infinito.
Nos preguntamos si es posible definir una función \( h:\mathbb{Z}_+\to C \) que satisfaga:

\(  (*)\qquad h(1)=\min(C),\qquad h(i)=\min(C-h(\{1,\cdots,i-1\})),\qquad i> 1. \)

Primero se estudian funciones definidas por secciones \( \{1,\cdots,n\} \), y luego se pasa al caso de todo \( \mathbb{Z}_+ \).

\(  \bullet  \) Lema 1. Dado \( n\in\mathbb{Z}_+ \), existe una función

\( f:\{1,\cdots,n\}\to C \)

que satisface \( (*) \) para todo \( i=1,\cdots,n \).

Demostración

Se deja como ejercicio.

Basta proceder por inducción en el número \( n \) de elementos del dominio de \( f \), y prestando atención a la forma de \( h \) en \( (*) \).

[cerrar]


\(  \bullet  \) Lema 2. Si \( f:\{1,\cdots,n\}\to C \) y \( g:\{1,\cdots,m\}\to C \) son funciones que verifican \( (*) \) en sus respectivos dominios, entonces \( f(i)=g(i) \), para todo \( i \) que esté en ambos dominios al mismo tiempo.

Demostración

Se deja como ejercicio.

Se puede proceder por reducción al absurdo, e invocando el hecho de que todo conjunto de enteros positivos tiene un mínimo.

[cerrar]


\(  \bullet  \) Teorema 3. Existe una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to C \) que verifica \( (*) \) para todo \( i\in\mathbb{Z}_+ \).

Demostración

Se dejan los detalles como ejercicio.

Basta notar que, por los Lemas 1 y 2, para cada \( n \) existe una única función \( f_n:\{1,\cdots,n\}\to C \) que verifica \( (*) \).

Recordar que una función es un conjunto formado por pares ordenados.
Así que tiene sentido definir el conjunto de pares ordenados \( f=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+} f_n \).

Se debe demostar que \( f \) es una función con dominio \( \mathbb{Z}_+ \).
O sea, hay que constatar que se cumple la regla de unicidad de la imagen.

También hay que chequear (fácil) que se cumple \( (*) \) para todo \( i\in\mathbb{Z}_+ \).

Finalmente, hay que explicar que \( h \) es única. (Aprovechar el Lema 2 para obtener unicidad).

[cerrar]


\(  \bullet  \) Teorema 4 (Principio de definición recursiva). Sean \( A \) un conjunto y \( a_0\in A \). Supongamos que \( \rho  \) es una función que asigna un elemento de \( A \) a cada función \( f \), con dominio una sección no vacía de enteros positivos e imagen en \( A \). Entonces existe una única función

\( h:\mathbb{Z}_+\to A \)

tal que

\( (*)\qquad h(1)=a_0,\qquad h(i)=\rho (h|\{1,\cdots,i-1\}),\qquad i> 1. \)

Demostración: Sigue ideas muy similares a los resultados previos. Salvo que ahora la función \( h \) no cumple \( (*) \) sino una regla general.

_____________

\(  \bullet  \) La fórmula \( (*) \) se llama fórmula recursiva para \( h \).

La idea general es que uno está "autorizado" a definir una función mediante una fórmula de recurrencia.
Vale decir, si uno especifica una fórmula de recurrencia, ésta nos define correctamente una función, y sin ambigüedad, ya que el Teorema anterior nos garantiza que existe al menos una función que satisface la recurrencia (la recurrencia es algo con "sentido"), y además dicha función es única (la recurrencia es "inambigua").


Notemos algunos detalles técnicos. El dominio de la función \( \rho  \) del Teorema 4 es un conjunto muy complicado.
Sea \( \mathcal{F}_n \) la familia de todas las funciones \( f:\{1,\cdots,n\}\to A \).
Entonces el dominio de \( \rho  \) es la unión \( \bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+} \mathcal{F}_n \).
La imagen de \( \rho  \) es un subconjunto de \( A \).
Así que podemos anotar:


\( \rho :\left(\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}\mathcal{F}_n\right)\to A. \)

Ahora bien, la función \( h \) del "discurso" del Teorema 4 tiene como dominio todo el conjunto \( \mathbb{Z}_+ \), y no meras secciones.
Sin embargo, se pueden considerar las restricciones de \( h \) a secciones \( \{1,\cdots,i-1\} \).
Estas funciones "restricción" se indican, como es costumbre, con el símbolo \( | \), así: \( h|\{1,\cdots,i-1\} \), y así se obiene un "objeto" de \( \mathcal{F}_{i-1} \), al cual es válido aplicarle la función \( \rho \).



\(  \bullet  \) Ejemplo 1. Comprobar que el Teorema 3 es un caso particular del Teorema 4. Basta definir:

\( \rho (f)=\min(C)-\textsf{imagen de}(f) \)


\(  \bullet  \) Ejemplo 2. Definir rigurosamente las potencias \( a^n \), con \( a\in\mathbb{R} \) y \( n\in\mathbb{Z}_+ \), mediante la fórmula de recurrencia:

\( a^1=a,\qquad a^n=a^{n-1}\cdot a \)

Sugerencia: Utilizar \( \rho (f)=f(m)\cdot a \), si el dominio de \( f \) es \( \{1,\cdots,m\} \).

Ejercicios Sección 8

  • Ejercicio 8.1 Sea \( (b_1,b_2,\cdots) \) una sucesión de números reales.
    La suma \( \sum_{k=1}^n b_k \) está definida por inducción como sigue:

    \( \displaystyle \sum_{k=1}^n b_k,\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad n=1. \)
    \( \displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1} b_k\right)+b_n,\qquad\qquad n>1. \)

    Sea \( A \) el conjunto de los números reales; elija \( \rho \) tal que sea posible aplicar el Teorema 4 para definir la suma rigurosamente.

    En ocasiones, la suma \( \sum_{k=1}^n b_k \) se denotará con el símbolo \( b_1+b_2+\cdots+a_n \).

    Notemos cómo es que en este punto Munkres pone atención al uso formalmente correcto de la notación con puntos suspensivos.
    Esto es lo que hace la diferencia entre "meras convenciones" no explicadas en los textos corrientes de matemáticas, y el uso consistente e inambiguo de una determinada notación.

    En todo caso, lo importante aquí es "rescatar" que finalmente todo enunciado matemático requiere que haya una manera formal y precisa de escribirlo.


  • Ejercicio 8.2 Sea \( (b_1,b_2,\cdots) \) una sucesión de números reales.
    El producto \( \prod_{k=1}^n b_k \) está definido por inducción como sigue:

    \( \displaystyle \prod_{k=1}^n b_k,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad n=1. \)
    \( \displaystyle \prod_{k=1}^n b_k=\left(\prod_{k=1}^{n-1} b_k\right)\cdot b_n,\qquad\qquad n>1. \)

    Usar el Teorema 4 para definir el producto rigurosamente.

    En ocasiones, el producto \( \prod_{k=1}^n b_k \) se denotará con el símbolo \( b_1\cdot b_2\cdot\; \cdots\;\cdot b_n \).
  • Ejercicio 8.3 Obtener la definición de \( a^n \) y de \( n! \) para \( n\in\mathbb{Z}_+ \) como un caso especial del Ejercicio 2.
  • Ejercicio 8.4 Los números de Fibonacci de la teoría de números se definen recursivamente por la fórmula:

    \( \lambda_1=\lambda_2=1,\qquad \lambda_n=\lambda_{n-1}+\lambda_{n-2},\quad n>2. \)

    Defínalos rigurosamente usando el Teorema 4.
  • Ejercicio 8.5 Muestre que hay una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}_+ \) que satisface la fórmula

    \( h(1)=3,\qquad h(i)=[h(i-1)+1]^{1/2},\quad i>1. \)
  • Ejercicio 8.6
    • (a) Muestre que no hay una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}_+ \) que satisface la fórmula

      \( h(1)=3,\qquad h(i)=[h(i-1)-1]^{1/2},\quad i>1. \)

      Explique por qué este ejemplo no viola el principio de definición recursiva.
    • (b) Considere la fórmula de recursión

      \( h(1) = 3, \)

      y para \( i>1 \):

      \( h(i) = \begin{cases}[h(i-1)-1]^{1/2},&\textsf{si\ } h(i-1)>1,\\5,&\textsf{si\ }h(i-1) \leq 1.
      \end{cases} \)

      Muestre que existe una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}_+ \) que satisface esta fórmula.

  • Ejercicio 8.7 Pruebe el Teorema 4.
  • Ejercicio 8.8 Verificar la siguiente versión del principio de definición recursiva:

    Sea \( A \) un conjunto.
    Sea \( \rho \) una función que asigna un elemento \( \rho(f) \) de \( A \) a cada función \( f:S_n\to A \), donde \( S_n \) es alguna sección de \( \mathbb{Z}_+ \).
    Entonces existe una única función \( h:\mathbb{Z}_+\to A \) tal que \( h(n)=\rho(h|S_n) \) para cada \( n\in\mathbb{Z}_+ \).

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08 Enero, 2010, 04:27 am
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Sección 9. Conjuntos Infinitos y el Axioma de Elección.

Ejercicios Sección 9


  • Ejercicio 9.1 Sea \( X=\{0,1\} \). Definir una función inyectiva \( \mathbb{Z}_+\to X^\omega \) sin usar el Axioma de Elección.
  • Ejercicio 9.2 Hallar, si fuera posible, una función de elección para cada una de las siguientes colecciones, sin usar el Axioma de Elección.
    • (a) La colección \( \mathcal{A} \) de subconjuntos no vacíos de \( \mathbb{Z}_+ \).
    • (b) La colección \( \mathcal{B} \) de subconjuntos no vacíos de \( \mathbb{Z} \).
    • (c) La colección \( \mathcal{C} \) de subconjuntos no vacíos de \( \mathbb{Q} \).
    • (d) La colección \( \mathcal{D} \) de subconjuntos no vacíos de \( X^\omega \), siendo \( X=\{0,1\} \).

  • Ejercicio 9.3 Suponer que \( A \) es un conjunto y que \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+} \) es una familia indexada de funciones inyectivas \( f_n:\{1,\cdots,n\}\to A. \)
    Muestre que \( A \) es infinito.
    ¿Puede usted definir una función inyectiva \( f:\mathbb{Z}_+\to A \) sin usar el Axioma de Elección?
  • Ejercicio 9.4 Hubo un Teorema en la Sección 7 cuya prueba involucró un número infinito de elecciones arbitrarias. ¿Cuál fue?
    Reescriba la prueba de manera que se haga explícito el uso del Axioma de Elección.
    (Se trata del Teorema 5 de la sección 7, y ya he dado ahí una prueba alternativa que muestra bien el punto donde se usa el Axioma de Elección).
  • Ejercicio 9.5
    • (a) Usar el Axioma de Elección para mostrar que si \( f:A\to B \) es suryectiva, entonces \( f \) tiene una inversa derecha \( h:B\to A \).
    • (b) Muestre que si \( f:A\to B \) es inyectiva y \( A\neq\emptyset \), entonces \( f \) tiene una inversa izquierda.
      ¿Es necesario aquí el Axioma de Elección?

  • Ejercicio 9.6 Muchas de las paradojas de la teoría ingenua de conjuntos están asociadas de algún modo u otro al concepto de conjunto de todos los conjuntos.
    Ninguna de las reglas que hemos dado para formar conjuntos nos permiten considerar un tal conjunto.
    El concepto es en sí mismo autocontradictorio.
    Para verlo, suponer que \( \mathcal{A} \) denota el hipotético conjunto que contiene a todos los conjuntos.
    • (a) Muestre que \( \mathcal{P}(\mathcal{A})\subset\mathcal{A} \); deduzca una contradicción.
    • (b) (Paradoja de Russell) Sea \( \mathcal{B}\subset\mathcal{A} \) el conjunto que contiene a todos todos aquellos conjuntos que no son elementos de sí mismos:

      \( \mathcal{B}=\{A|A\in\mathcal{A},A\not\in A\}. \)

      (Si ocurriese el caso de que en realidad no hubiera conjunto alguno satisfaciendo \( A\in A \), entonces se tendría \( \mathcal{B}=\mathcal{A} \).)

      ¿Es \( \mathcal{B} \) un elemento de sí mismo o no?

  • Ejercicio 9.7 Sean \( A,B \) dos conjuntos no vacíos. Si hay una inyección de \( B \) en \( A \), pero no hay inyección alguna de \( A \) en \( B \), decimos que \( A \) tiene cardinal mayor que \( B \).
    • (a) Concluir a partir del Teorema 1 que todo conjunto no-numerable tiene cardinal mayor que \( \mathbb{Z}_+ \).
    • (b) Muestre que si \( A \) tiene mayor cardinalidad que \( B \), y \( B \) tiene mayor cardinalidad que \( C \), entonces \( A \) tiene mayor cardinalidad que \( C \).
    • (c) Hallar una sucesión \( A_1,A_2,\cdots \) de conjuntos infinitos tales que para cada \( n\in\mathbb{Z}_+ \), el conjunto \( A_{n+1} \) tiene cardinal mayor que \( A_n \).
    • (d) Hallar un conjunto tal que para todo \( n \) tiene cardinal mayor que \( A_n \).

  • Ejercicio 9.8 Muestre que \( \mathcal{P}(\mathbb{Z}_+) \) y \( \mathbb{R} \) tienen la misma cardinalidad.
    Ayuda: Usted puede usar el hecho de que todo número real tiene un desarrollo decimal, el cual es único si los desarrollos que terminan en una sucesión de infinitos 9's son descartados.

[cerrar]

Terminamos la Sección 9 enunciando las famosas Hipótesis del Continuo y su versión generalizada.
Es un tema interesante a debatir en Fundamentos de la Teoría de Conjuntos, así que aquí no entraremos en mayores detalles, porque aceptar o no estos principios no influye en nuestro ulterior estudio de la topología.

Los siguientes enunciados pueden tomarse como Axiomas.
No son demostrables.


\(  \bullet \) Hipótesis del Continuo. No existe un conjunto que tenga cardinalidad mayor que \( \mathbb{Z}_+ \) y menor que \( \mathbb{R} \).


\(  \bullet \) Hipótesis Generalizada del Continuo. Dado un conjunto infinito \( A \), no existe un conjunto que tenga cardinalidad mayor que \( A \) y menor que \( \mathcal{P}(A) \).

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Sección 10. Conjuntos Bien Ordenados.

Ejercicios Sección 10

  • Ejercicio 10.1 Muestre que todo conjunto bien ordenado tiene la propiedad de la Mínima Cota Superior.
  • Ejercicio 10.2
    • (a) Muestre que en todo conjunto bien ordenado, todo elemento excepto el último (si lo hubiera) tiene un sucesor inmediato.
    • (b) Hallar un conjunto en el cual todo elemento tiene un sucesor inmediato, y que no es bien ordenado.

  • Ejercicio 10.3 Ambos conjuntos \( \{1,2\}\times\mathbb{Z}_+ \) y \( \mathbb{Z}_+\times\{1,2\} \) están bien ordenados si se considera en ellos el orden de diccionario.
    ¿Tienen ambos el mismo tipo de orden?
  • Ejercicio 10.4
    • (a) Denotemos con \( \mathbb{Z}_- \) al conjunto de enteros negativos con el orden usual.
      Muestre que un conjunto \( A \) ordenado (lineal y estrictamente) no está bien ordenado si, y sólo si contiene algún subconjunto con el mismo tipo de orden de \( \mathbb{Z}_- \).
    • (b) Muestre que si \( A \) tiene un orden (lineal y estricto), y además todo subconjunto numerable de \( A \) está bien ordenado, entonces \( A \) está bien ordenado.

  • Ejercicio 10.5 Muestre que el Teorema del Buen Orden implica el Axioma de Elección.
  • Ejercicio 10.6 Sea \( S_\Omega \) el mínimo conjunto bien ordenado no-numerable.
    • (a) Muestre que \( S_\Omega \) no tiene elemento máximo.
    • (b) Muestre que para todo \( \alpha\in S_\Omega \), el subconjunto \( \{x|\alpha<x\} \) es no-numerable.
    • (c) Sea \( X_0 \) el subconjunto de \( S_\Omega \) que contiene todos los elementos \( x \) tal que \( x \) no tiene predecesor inmediato.
      Muestre que \( X_0 \) es no-numerable.

  • Ejercicio 10.7 Sea \( J \) un conjunto bien ordenado.
    Un subconjunto \( J_0 \) de \( J \) se dice inductivo si para todo \( \alpha\in J \),

    \( (S_\alpha\subset J_0)\Rightarrow \alpha\in J_0. \)

    Teorema (El Principio de inducción transfinita). Si \( J \) es un conjunto bien ordenado y \( J_0 \) es un subconjunto inductivo de \( J \), entonces \( J_0\subset J \).

    (Demostrarlo)
  • Ejercicio 10.8
    • (a) Sean \( A_1,A_2 \) conjuntos disjuntos, bien ordenados por \( <_1,<_2 \), respectivamente.
      Defina una relación de orden sobre \( A_1\cup A_2 \) poniendo \( a<b \) si \( a,b\in A_1,a<_1b \) ó si \( a,b\in A_2,a<_2b \) ó si \( a\in A_1,b\in A_2 \).
      Muestre que este es un buen orden.
    • (b) Generalice el ítem (a) a una familia arbitraria de conjuntos disjuntos y bien ordenados, indexados por un conjunto bien ordenado.

  • Ejercicio 10.9 Considere el subconjunto \( A \) de \( (\mathbb{Z}_+)^\omega \) que consta de todas las sucesiones infinitas de enteros positivos \( \mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots) \) que terminan en una cadena de infinitos 1's.
    Dé a \( A \) el siguiente orden:

    \( \mathbf{x}<\mathbf{y} \) si \( x_n<y_n \) y \( x_i=y_i \) para \( i>n \).

    Llamamos a este el orden antidiccionario sobre \( A \).

    • (a) Muestre que para todo \( n \), hay una sección de \( A \) que tiene el mismo tipo de orden que \( (\mathbb{Z}_+)^n \) en el orden de diccionario.
    • (b) Muestre que \( A \) está bien ordenado.

  • Ejercicio 10.10 Teorema. Sean \( J \) y \( C \) conjuntos bien ordenados; asumir que no hay funciones suryectivas que apliquen una sección de \( J \) sobre \( C \).
    Entonces existe una única función \( h:J\to C \) que satisface la ecuación:

    \( (*)\qquad\qquad h(x)=\min[C-h(S_x)] \)

    para cada \( x\in J \), donde \( S_x \) es la sección de \( J \) por \( x \).
    Demostración:
    • (a) Si \( h \) y \( k \) aplican secciones de \( J \), o bien todo \( J \), en \( C \), y satisface \( (*) \) para todo \( x \) en sus dominios respectivos, muestre que \( h(x)=k(x) \)para todo \( x \) en ambos dominios.
    • (b) Si existe una función \( h:S_\alpha\to C \) que satisface \( (*) \), muestre que existe una función \( k:S_\alpha\cup\{\alpha\}\to C \) que satisface \( (*) \).
    • (c) Si \( K\subset J \) y para todo \( \alpha\in K \) existe una función \( h_\alpha:S_\alpha\to C \) que satisface \( (*) \), muestre que existe una función

      \( \displaystyle k:\bigcup_{\alpha\in K}S_\alpha\to C \)

      que satisface \( (*) \).
    • (d) Muestre por inducción transfinita que para todo \( \beta\in J \), hay una función  \( h_\beta:S_\beta\to C \) que satisface \( (*) \).
      Ayuda: Si \( \beta \) tiene un predecesor inmediato \( \alpha \), entonces \( S_\beta=S_\alpha\cup\{\alpha\} \).
      Si no, \( S_\beta \) es la unión de todos los \( S_\alpha \) con \( \alpha<\beta \).
    • (e) Pruebe el Teorema.

  • Ejercicio 10.11 Sean \( A,B \) dos conjuntos.
    Usando el Teorema del Buen-Orden, demuestre que tienen la misma cardinalidad, o bien uno tiene cardinalidad mayor que el otro.
    Ayuda: Si no hay suryección \( f:A\to B \), aplique el Ejercicio previo.

[cerrar]

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08 Enero, 2010, 04:27 am
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argentinator

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Sección 11. El Principio del Máximo.

Ejercicios Sección 11

  • Ejercicio 11.1 Si \( a,b \) son números reales, definir \( a\prec b \) si \( b-a \) es positivo y racional.
    Muestre que es un orden parcial estricto sobre \( \mathbb{R} \).
    ¿Cuáles son los subconjuntos linealmente ordenados maximales?
  • Ejercicio 11.2
    • (a) Sea \( \prec \) un orden parcial estricto sobre el conjunto \( A \).
      Defina una relación sobre \( A \) haciendo \( a \preceq b \) si \( a\prec b \) ó \( a=b \).
      Muestre que esta relación tiene las siguientes propiedades, las cuales se llaman axiomas de orden parcial:

      \( \begin{align*}
        (i) & \qquad \forall a\in A: a \preceq a.\\
        (ii) & \qquad a \preceq b,b \preceq a\Rightarrow a=b.\\
        (iii) &\qquad  a \preceq b,b \preceq c\Rightarrow a \preceq c.
      \end{align*}
       \)

    • (b) Sea \( P \) una relación sobre \( A \) que satisface las propiedades \( (i),(ii),(iii) \).
      Defina una relación sobre \( A \) mediante \( aSb \) si \( aPb \) y \( a\neq b \).
      Muestre que \( S \) es un orden parcial estricto sobre \( A \).

  • Ejercicio 11.3 Sea \( A \) un conjunto con un orden parcial estricto \( \prec \); sea \( x\in A \).
    Suponer que queremos hallar un subconjunto totalmente ordenado maximal \( B \) de \( A \) que contiene a \( x \).
    Un modo plausible de intentar definir \( B \) sería como el conjunto de todos aquellos elementos de \( A \) que son comparables con \( x \);

    \( B=\{y|y\in A, [x\prec y\textsf{\ ó\ } y\prec x]\}. \)

    Pero esto no siempre funcionará.
    ¿En cuál de los Ejemplos 1 y 2 este procedimiento tiene éxito, y en cuál no?
  • Ejercicio 11.4 Dados dos puntos \( (x_0,y_0),(x_1,y_1)\in\mathbb{R}^2 \), definir

    \( (x_0,y_0)\prec (x_1,y_1) \)

    si \( x_0<  x_1 \) y \( y_0 \leq y_1 \).
    Mostrar que las curvas \( y=x^3 \) y \( y=2 \) son subconjuntos totalmente ordenados maximales de \( \mathbb{R}^2 \), y la curva \( y=x^2 \) no lo es.
    Hallar todos los subconjuntos totalmente ordenados maximales.

  • Ejercicio 11.5 Mostrar que el Lema de Zorn implica al siguiente:

    Lema  (Kuratowski). Sea \( \mathcal{A} \) una colección de conjuntos. Suponer que para toda subcolección \( \mathcal{B} \) de \( \mathcal{A} \) que está totalmente ordenado por la relación de inclusión estricta (o propia), la unión de los elementos de \( \mathcal{B} \) pertenece a \( \mathcal{A} \).
    Entonces \( \mathcal{A} \) tiene un elemento que no está estrictamente (o propiamente) incluido en ningún otro elemento de \( \mathcal{A} \).

  • Ejercicio 11.6 Una colección \( \mathcal{A} \) de subconjuntos de \( X \) se dice de tipo finito si cumple que un subconjunto \( B \) de \( X \) pertenece a \( \mathcal{A} \) si y sólo si todo subconjunto finito de \( B \) pertenece a \( \mathcal{A} \).
    Muestre que el Lema de Kuratowski implica el siguiente:

    Lema (Tukey, 1940). Sea \( \mathcal{A} \) una colección de conjuntos. Si \( \mathcal{A} \) es de tipo finito, entonces \( \mathcal{A} \) tiene un elemento que no está estrictamente (o propiamente) contenido en ningún otro elemento de \( \mathcal{A} \).

  • Ejercicio 11.7 Muestre que el Lema de Tukey implica el Principio del Máximo de Hausdorff.
    Ayuda: Si \( \prec  \) es un orden parcial estricto sobre \( \mathcal{A} \), sea \( \mathcal{A} \) la colección de todos los subconjuntos de \( A \) que están totalmente ordenados por \( \prec  \). Muestre que \( \mathcal{A} \) es de tipo finito.

  • Ejercicio 11.8 Un uso típico del Lema Zorn en álgebra es la prueba de que todo espacio vectorial tiene una base.
    (Preguntar por los detalles de álgebra, si no se acuerdan...)

    En lo que sigue \( V \) denota un espacio vectorial.

    • (a) Si \( A \) es un conjunto linealmente independiente y \( v\in V \) es tal que no pertenece a \( span(A) \), mostrar que \( A\cup \{v\} \) es un conjunto linealmente independiente.
    • (b) Mostrar que la colección de todos los conjuntos linealmente independientes en \( V \) tiene un elemento maximal.
    • (c) Mostrar que \( V \) tiene una base.

[cerrar]

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Ejercicios Suplementarios: Buena Ordenación.

Por tratarse de ejercicios suplementarios al Capítulo 1 de Munkres, los indicaremos con S1.

Ejercicios Suplementarios: Buena Ordenación

  • Ejercicio S1.1

    Teorema (Principio general de definición recursiva). Sean \( J \) un conjunto bien ordenado y \( C \) un conjunto. Sea \( \mathcal{F} \) el conjunto de todas las funciones que aplican secciones de \( J \) en \( C \). Dada una función \( \rho :\mathcal{F}\to C \), existe una única función \( h:J\to C \) tal que \( h(\alpha )=\rho (h|S_\alpha ) \) para cada \( \alpha \in J \).

  • Ejercicio S1.2
    • (a) Sean \( J,E \), conjuntos bien ordenados y \( h:J\to E \). Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

      ( i) \( h \) preserva el orden y su imagen es \( E \) o una sección de \( E \).
      (ii) \( h(\alpha )=\min[E-h(S_\alpha )] \) para todo \( \alpha  \).

      Ayuda: Demuestre que cada una de estas condiciones implica que \( h(S_\alpha ) \) es una sección de \( E \); concluya que debe ser la sección por \( h(\alpha ) \).
    • (b) Si \( E \) es un conjunto bien ordenado, demuestre que ninguna sección de \( E \) tiene el tipo de orden de \( E \), ni dos secciones diferentes de \( E \) tienen el mismo tipo de orden.
      Ayuda: Dado \( J \), existe a lo sumo una aplicación que preserva el orden de \( J \) en \( E \) cuya imagen es \( E \) o una sección de \( E \).

  • Ejercicio S1.3 Sean \( J,E \), conjuntos bien ordenados y supongamos que existe una aplicación que preserva el orden \( k:J\to E \).
    Utilizando los ejercicios 1 y 2, demuestre que \( J \) tiene el tipo de orden de \( E \) o de una sección de \( E \).
    Ayuda: eliija \( e_0\in E \). Defina \( h:J\to E \) mediante la fórmula de recursión

    \( h(\alpha )=\min[E-h(S_\alpha )] \) si \( h(S_\alpha )\neq E, \)

    y \( h(\alpha )=e_0 \) en caso contrario. Demuestre que \( h(\alpha ) \leq k(\alpha ) \) para todo \( \alpha  \); concluya que \( h(S_\alpha )\neq E \) para todo \( \alpha  \).
  • Ejercicio S1.4
  • Ejercicio S1.5
  • Ejercicio S1.6
  • Ejercicio S1.7
  • Ejercicio S1.8

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08 Enero, 2010, 04:44 am
Respuesta #6

argentinator

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Definición axiomática de Topologías y Espacios Topológicos.

Estuve meditando cómo era la mejor manera de empezar con el tema de topología,
y cómo introducir los ejemplos.
Al final llegué a la conclusión de que conviene poner de entrada las reglas del juego,
presentando a la estrella de la película: los espacios topológicos,
y en los posts subsiguientes desarrollar los ejemplos típicos mostrando que efectivamente cumplen con los axiomas correspondientes.

Así que no se alarmen si las definiciones que siguen son demasiado abstractas.
Cuando analicemos los ejemplos comprenderemos mejor de qué se trata.
Lo bueno de la noción abstracta de topología es que resume en una lista de propiedades muy simples de conjuntos los elementos comunes a muchos ambientes geométricos (por decirlo así),
de muy diferentes situaciones distintas de la matemática.
Inclusive, a pesar de lo simples que son esos axiomas en apariencia, esconden una gran potencia de significado.



Sea \( \displaystyle X \) un conjunto cualquiera.
Sea \( \displaystyle\tau \) una familia de conjuntos, cuyos elementos son todos subconjuntos de \( \displaystyle X \).
Esto es, si \( \displaystyle\mathcal P(X) \) denota la familia de partes de \( \displaystyle X \), entonces \( \displaystyle\tau\subset\mathcal P(X) \).
Se dice que \( \displaystyle\tau \) es una topología sobre \( \displaystyle X \) si se satisfacen estas cuatro propiedades:
  • Axioma 1. El conjunto vacío es un elemento de la familia \( \displaystyle\tau \). En símbolos:

    \( \begin{align*}\displaystyle\emptyset\in\tau.
    \end{align*} \)

  • Axioma 2. El conjunto total \( \displaystyle X \) es un elemento de la familia \( \displaystyle \tau \). En símbolos:

    \( \begin{align*}\displaystyle X\in\tau.
    \end{align*} \)

  • Axioma 3. La unión de cualquier subfamilia de conjuntos de \( \displaystyle \tau \) es un elemento que pertenece también a \( \displaystyle \tau \). En símbolos:

    \( \begin{align*}\displaystyle
    \{A_\iota\}_{\iota\in I}\subset \tau \quad\Rightarrow\quad
       \bigcup_{\iota\in I}A_\iota \in \tau.
    \end{align*} \)

  • Axioma 4. La intersección de un par de elementos de \( \displaystyle \tau \) es también un elemento de \( \displaystyle \tau \). En símbolos:

    \( \begin{align*}\displaystyle
    A,B\in\tau\quad\Rightarrow\quad A\cap B\in \tau.
    \end{align*} \)


Expliquemos un poco el importante tercer axioma.
Uno puede tomar una colección cualquiera de conjuntos que estén dentro de la familia \( \displaystyle \tau \), que puede ser finita o infinita. Eso no importa.
A continuación se toma la unión de todos esos conjuntos, y se obtiene como resultado un nuevo conjunto, que podemos llamar \( \displaystyle W \).
Este nuevo conjunto \( \displaystyle W \) así producido tiene que ser también un elemento de \( \displaystyle \tau \).

En cuanto a las intersecciones, el axioma 4 aplicado en forma repetida permite afimar lo siguiente:
Proposición. Si \( \displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_n \) es una familia finita de elementos de \( \displaystyle \tau \),
entonces su intersección \( \displaystyle E=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \) también es un conjunto que pertenece a la familia \( \displaystyle \tau \).

La demostración se deja como ejercicio (a menos que el pueblo me demande lo contrario), y resulta de aplicar el principio de inducción en el número \( n \) de conjuntos considerados, junto con el Axioma 4.



Un par ordenado \( \displaystyle (X,\tau) \) se llama espacio topológico si \( \displaystyle X \) es un conjunto cualquiera,
y \( \displaystyle \tau \) es una topología sobre \( \displaystyle X \).

Generalmente al conjunto \( \displaystyle X \) se le suele decir informalmente espacio.

Más terminología:
  • Los elementos de la familia \( \displaystyle \tau  \) reciben el nombre de
      conjuntos abiertos de la topología.
  • Los complementos de los elementos de la familia \( \displaystyle \tau  \) reciben el nombre de conjuntos cerrados de la topología.

Vale decir, si \( \displaystyle A \) es un conjunto abierto, entonces \( \displaystyle A^c \) es un conjunto cerrado, en donde el complemento se toma con respecto al espacio \( \displaystyle X \).
Y del mismo modo si \( \displaystyle F \) es cerrado su complemento \( \displaystyle F^c \) es abierto.

Preguntonta: ¿Si un conjunto  es no abierto, significa que es cerrado?
Respuestonta: ¡No! Volver a leer la definición de cerrado.

Preguntilla: ¿Puede haber conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados?
Respuesta: Sí. Lo veremos en los ejemplos.

Pregunteja: ¿Puede haber conjuntos que sean a la vez abierto y cerrado?
Respuesteja: Sí. Ejemplos triviales serían \( \displaystyle \emptyset  \) y \( \displaystyle X \). Puede haber ejemplos no triviales, pero eso depende de cada espacio topológico que se estudie.



Con cada ejemplo de estudio que se nos presente, tenemos que demostrar que efectivamente lo que tenemos entre manos es un espacio  topológico. O sea, vamos a tener que demostrar que cierta familia de conjuntos forma efectivamente una topología.

A medida que avancemos con la teoría, veremos que hay maneras de simplificar cada vez más esta tarea.

Sin embargo, en los ejemplos que seguirán, vamos a hacer paso a paso todas las cuentas.



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08 Enero, 2010, 10:29 am
Respuesta #7

argentinator

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Topología clásica del espacio euclidiano 2-dimensional.

Nuestro espacio \( \displaystyle X \) será el plano de la geometría euclidiana, o sea, la geometría clásica sobre una hoja de papel de extensión infinita...

Como bien sabemos, al plano se le puede dotar de un sistema de coordenadas.
Luego cada punto \( \displaystyle P \) del plano se puede identificar con un par de números reales \( \displaystyle (a,b) \), que son sus coordenadas.

(Abrir desplegable para ver detalles sobre Coordendas en el plano)

Tracemos dos rectas en el plano que sean perpendiculares entre sí,
una horizontal y otra vertical.
La recta horizontal se llamará eje de abscisas,
y la recta vertical se llamará eje de ordenadas.
El punto en que se cortan lo denotaremos con \( \displaystyle O \), y se llamará punto de origen de coordenadas del plano, o simplemente origen.

A la derecha del punto \( \displaystyle O \), en el eje horizontal, se elige un punto \( \displaystyle U \).
El segmento \( \displaystyle \overline{OU} \) se usará como patrón de medida, y se llamará segmento unidad.

Se hace corresponder al punto \( \displaystyle U \) el número real \( \displaystyle 1 \).
Los demás números reales se reparten en el eje horizontal respetando el patrón de medida \( \displaystyle \overline{OU} \).

Este mismo patrón se traslada al eje vertical, y también se asignan números reales a los puntos de dicho eje.

Entonces obtenemos un par de escalas numeradas, una horizontal y otra vertical, que se cruzan en un punto de origen.


Ahora mostremos cómo un punto puede identificarse con un par de números reales.
El procedimiento es muy simple.
Nos paramos en el punto \( \displaystyle P \) que nos interesa, y trazamos a través de dicho punto dos rectas que sean perpendiculares respectivamente a los ejes horizontal y vertical.

La recta que pasa por \( \displaystyle P \) y es perpendicular al eje horizontal,
lo corta a éste último en un punto \( \displaystyle M  \).
Al punto \( \displaystyle M  \) del eje horizontal le corresponde un número real concreto, digamos \( \displaystyle a \), acorde a la asignación de números hecha en dicho eje.
La recta que pasa por \( \displaystyle P \) y es perpendicular al eje vertical,
lo corta a éste último en un punto \( \displaystyle N  \).
Al punto \( \displaystyle N  \) del eje vertical le corresponde un número real concreto, digamos \( \displaystyle b \), acorde a la asignación de números hecha en dicho eje.

Por lo tanto, podemos decir que al punto \( \displaystyle P \) le corresponde el par de números reales \( \displaystyle (a,b) \), que son sus coordenadas.

Al mismo tiempo, si tengo un par de números reales \( \displaystyle (a,b) \) cualquiera, le corresponde un y sólo un punto \( \displaystyle P \) en el plano con esos números como coordenadas horizontal y vertical.



Ahora nos podemos referir a conjuntos de puntos del plano simplemente especificando fórmulas o expresiones que relacionan sus coordenadas.

Más aún, haremos siempre un abuso del lenguaje, y en vez de decir que \( \displaystyle (a,b) \) son las coordenadas de un punto \( \displaystyle P \), hablaremos directamente del punto \( \displaystyle (a,b) \).

Las coordenadas del punto de origen \( \displaystyle O \) son simplemente \( \displaystyle (0,0) \).

[cerrar]

Recordemos que el módulo o norma de un punto del plano es su distancia al origen.
Para los desmemoriados, en el desplegable va un recordatorio de cómo se definen estos conceptos geométricos.

Nociones de distancia, módulos y vectores en el plano (abrir desplegable para ver detalles)

Gracias al Teorema de Pitágoras,
sabemos que la longitud del segmento que une dos puntos del plano \( \displaystyle P=(a,b) \) y \( \displaystyle Q=(c,d) \) se calcula mediante:

\( \begin{align*}\displaystyle
|\overline{PQ}| =\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}.
\end{align*} \)

Esta longitud es lo que se usa comunmente como noción de distancia entre dos puntos del plano.

La distancia de un punto \( \displaystyle (a,b) \) al origen es por lo tanto el número \( \displaystyle \sqrt{a^2+b^2} \). A este número lo llamamos norma ó módulo del punto \( \displaystyle (a,b) \). Lo denotaremos \( \displaystyle |(a,b)| \).

Al segmento orientado que comienza en un punto \( \displaystyle P \) y termina en un punto \( \displaystyle Q \) se lo llama también vector \( \displaystyle \overrightarrow{PQ} \).
En teoría de vectores se suele identificar el punto terminal \( \displaystyle (a,b) \) del vector con el vector mismo,
y entonces se hace un abuso de lenguaje refiriéndose al vector \( \displaystyle (a,b) \).

La suma de dos vectores se hace del siguiente modo: se toma uno de los vectores y su punto inicial se lo traslada rígidamente hasta el punto terminal del segundo vector.
Ahora se ha llegado a un nuevo punto, y se une el origen con él
para obtener un nuevo vector, el cual se considera la suma de los dos vectores dados.


Por suerte es muy fácil calcular algebraicamente la suma de vectores.
Vale la siguiente fórmula:
\( \begin{align*}\displaystyle
(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').
\end{align*} \)

La resta de vectores se define de modo similar.

Todo este preludio para llegar a la siguiente conclusión:

Proposición. La distancia entre dos puntos \( \displaystyle (a,b) \) y \( \displaystyle (c,d) \) es igual a la norma del vector diferencia \( \displaystyle (c,d)-(a,b) \).
En símbolos:
\( \begin{align*}\displaystyle
dist\big((a,b),(c,d)\big)=|(c,d)-(a,b)|.
\end{align*} \)

La demostración es muy fácil, apelando a la fórmula de la distancia dada más arriba.

[cerrar]

Digamos resumidamente que el módulo o norma de un punto/vector \( \displaystyle (a,b) \) del plano es la cantidad:
\( \begin{align*}\displaystyle
|(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2}.
\end{align*} \)
También recordemos que la distancia entre dos puntos \( \displaystyle (a,b) \) y \( \displaystyle (a',b') \) del plano satisface:

\( \begin{align*}\displaystyle
dist\big((a,b),(a',b')\big)
=|(a',b')-(a,b)|=\sqrt{(a'-a)^2+(b'-b)^2}.
\end{align*} \)

La distancia entre puntos satisface la famosa:

Desigualdad triangular. Dados tres puntos cualesquiera \( \displaystyle P,Q,R \) del plano, se tiene que:

\( \begin{align*}\displaystyle |P-R|\leq |P-Q|+|Q-R|.\end{align*} \)

Esta propiedad expresa el hecho de que en un triángulo \( \displaystyle PQR \),
la longitud de uno de sus lados, digamos \( \displaystyle \overline{PR} \), es siempre menor que la suma de los otros dos \( \displaystyle \overline{PQ} \) y \( \displaystyle \overline{QR} \).


Detalle: Obviamente, la distancia de un punto a sí mismo es 0.

Vamos a estudiar la geometría del plano con esta noción de distancia como base.
Pero no vamos a hacer geometría de regla y compás...
sino topología del plano.

Las figuras más fáciles de definir usando sólo la noción de distancia, son las circulares.

Definición. Sea \( \displaystyle P \) un punto del plano, y sea \( \displaystyle r \) un número real positivo.
Se define el disco sin borde con centro \( \displaystyle P \) y radio \( \displaystyle r \) como el conjunto, denotado \( \displaystyle B_r(P) \),
de todos aquellos puntos cuya distancia a \( \displaystyle P \) es
estrictamente menor que \( \displaystyle r \). En símbolos:

\( \begin{align*}\displaystyle
  B_r(P) := \{Q\in X:|Q-P|< r\}.
\end{align*} \)

Se define el disco con borde con centro \( \displaystyle P \) y radio \( \displaystyle r \) como el conjunto, denotado \( \displaystyle D_r(P) \),
de todos aquellos puntos cuya distancia a \( \displaystyle P \) es
 menor o igual que \( \displaystyle r \). En símbolos:

\( \begin{align*}\displaystyle
  D_r(P) := \{Q\in X:|Q-P|\leq  r\}.
\end{align*} \)


La denominación que estoy usando para los discos no es estándar,
pero lo hago para evitar ciertos enredos en la terminología de la teoría topológica.


Ahora estamos interesados en dar una noción de topología del plano,
de tal manera que los conjuntos abiertos sean aquellos que a simple vista uno ve que no tienen borde, y que los conjuntos cerrados sean los que uno ve que sí tienen borde.
Si bien esta es la intención general, la complejidad de los conjuntos abiertos y cerrados puede ir mucho más allá de la intuición original nuestra.
No obstante, no es tan importante la intuición de conjunto abierto y cerrado como las repercursiones que tendrán estas definiciones a la hora de estudiar convergencia.

Recordemos que nuestro espacio \( \displaystyle X \) es el plano euclidiano.
Formaremos una familia \( \displaystyle \tau  \)  de subconjuntos de \( \displaystyle X \) de la siguiente manera:
Diremos que un subconjunto \( \displaystyle A \) de \( \displaystyle X \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \) si, y sólo si, el conjunto \( \displaystyle A \) es el vacío o bien puede escribirse como la unión de alguna familia de discos sin borde.

Expresemos esto mismo pero más técnicamente: si \( \displaystyle A\subset X \), la condición para que un conjunto no vacío \( \displaystyle A \) sea un elemento de \( \displaystyle \tau  \) es que exista una familia \( \displaystyle  \{N_\iota\}_{\iota \in I} \) tal que:
  • Cada conjunto \( \displaystyle N_\iota  \) es un disco sin borde, vale decir, que existan un punto \( \displaystyle P_\iota  \) y un número real \( \displaystyle r_\iota > 0 \) tales que \( \displaystyle N_\iota =B_{r_\iota }(P_\iota) \).
  • El conjunto \( \displaystyle A \) puede escribirse exactamente como unión de todos esos discos sin borde, así:

    \( \begin{align*}\displaystyle
    A=\bigcup_{\iota \in I} N_\iota,
    \end{align*} \)
    o si se prefiere más explícitamente:

    \( \begin{align*}\displaystyle
    A=\bigcup_{\iota \in I} B_{r_\iota}(P_\iota).
    \end{align*} \)

Ahora tenemos que escribir todo eso compactado en una fórmula conjuntística.
La definición de la familia \( \displaystyle \tau  \) quedaría escrita así:

\( \begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset X|\\
   &\qquad\qquad A=\emptyset\textsf{\ ó bien\ }\\
   &\qquad\qquad\qquad \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:
     A=\bigcup_{\iota\in I}N_\iota\textsf{\ \ y\ \ } N_\iota = B_{r_{\iota }}(P_\iota),
              \textsf{\ para ciertos\ }
    P_\iota\in X, r_\iota>0
 \Big\}
\end{align*} \)

Cuestiones técnicas sobre notación (abrir desplegable para ver detalles)

La descripción del conjunto \( \displaystyle \tau \) tal como está escrita
tiene aún un aspecto levemente informal,
con el fin de no armar engorros
escribiendo todos los cuantificadores existenciales que hacen falta.
Pero tengamos en cuenta que en vez de la frase "para ciertos..." habría que poner un par de cuantificadores en alguna parte.

Notemos también que el conjunto de índices \( \displaystyle I \) no se ha especificado,
es muy genérico, y conviene aclarar que depende de cada conjunto \( \displaystyle A \).
O sea, en vez de una simple \( \displaystyle I \) habría que escribir algo más indicativo de esta circunstancia, algo como \( \displaystyle I_A \).
Pero también lo evito para no hacer tanto lío de notación.

La manera en que se expresa la familia \( \displaystyle \{N_\iota\}_{\iota\in I} \) tiene también sus reparos. Uno podría hablar simplemente de una cierta familia de conjuntos \( \displaystyle \mathcal N \), y luego explicar qué elementos están en \( \displaystyle \mathcal N \), en vez de arrastrar todo el tiempo el engorro de la escritura explícita de \( \displaystyle \{N_\iota\}_{\iota\in I} \).
Pero entonces me pregunto: ¿Usar esa nueva letra \( \displaystyle \mathcal N \), no es acaso más confuso aún para el que lo está leyendo?

Obviamente, los líos y enredos de notación no tienen nada que ver con la topología en sí.
Sin embargo, una de las dificultades que a veces ofrecen los textos de matemáticas tienen que ver con la confusión que produce la notación.

Muchas veces se usa notación informal o relajada,
a sabiendas de que detrás está escondida la posibilidad de ser precisos,
tanto como haga falta, hasta llegar al uso de la teoría sistemática de lenguajes de primer orden, si hiciera falta.

Todo en la vida puede expresarse con conjunciones (y), disyunciones (ó), negaciones (no), cuantificadores universal (\( \displaystyle \forall \)) y existencial (\( \displaystyle \exists \)), constantes y variables.
Además están los conectores de implicación (\( \displaystyle \Longrightarrow \)), y doble implicación (\( \displaystyle \Longleftrightarrow \)). Pero se sabe que estos conectores pueden expresarse combinando conjunciones, disyunciones y negaciones.

[cerrar]

Veamos algunos ejemplos de elementos que están en la familia \( \displaystyle \tau  \).

Como la unión de un disco sin borde \( \displaystyle B_r(P) \) consigo mismo es trivialmente una unión de discos sin borde, se deduce enseguida que todo disco sin borde es un elemento de \( \displaystyle \tau  \).
También, uniones finitas o infinitas de cualesquiera discos sin borde están en \( \displaystyle \tau  \).
Y más aún, todos los elementos no vaciós de \( \displaystyle \tau  \) son de esta forma...

Los dibujos que vienen a continuación serían elementos de \( \displaystyle \tau  \),
aunque la justificación formal no es directa por ahora, sino que será demostrado más abajo.


Todos los ejemplos de los dibujos son figuras bastante llenas (alrededor de cualquier punto cabe algún disco que no traspasa el borde de la figura, centrado en el punto), y todos ellos son figuras que no incluyen al borde, sino que están "abiertos".
Si miramos con atención, vemos que el plano se ha representado en color amarillento muy claro.
Los conjuntos con colores representan conjuntos de la familia \( \tau  \).
Sin embargo, se los ha dibujado con un borde amarillo, el color del fondo algo resaltado, para denotar así que el borde no pertenece al conjunto.

Pasemos a probar ahora que la familia \( \displaystyle \tau \) es una topología para el plano euclidiano.

Proposición. La familia \( \displaystyle \tau  \) es una topología sobre \( \displaystyle X \).

Demostración.
El camino para la prueba no tiene gran misterio: se debe comprobar que \( \displaystyle \tau  \) cumple con las reglas del juego estipuladas en los Axiomas 1 a 4 para una topología. Veamos que cada uno de esos axiomas se cumple:

Comprobación del Axioma 1 (abrir desplegable para ver detalles)
Fijémonos que al definir \( \displaystyle \tau  \) hemos incluido al \( \displaystyle \emptyset  \) explícitamente. Así que no hay dudas de que \( \displaystyle \emptyset \in \tau  \).
[cerrar]

Comprobación del Axioma 2 (abrir desplegable para ver detalles)
Debemos demostrar que el conjunto total \( \displaystyle X \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \).
O sea que tenemos que escribir \( \displaystyle X \) como alguna unión de discos sin borde.
Hay muchas maneras de hacer esto.
La más espectacular sería la siguiente: escribir \( \displaystyle X \) como la unión de todos los discos sin borde del plano.
Es trivial, pero aún así veamos cómo se escriben las cuentas:

Consideremos el conjunto de índices \( \displaystyle I=X\times \mathbb{R}^+ \).
[Aquí \( \displaystyle \mathbb R^+ \) denota el conjunto de todos los números reales positivos, o sea, el intervalo abierto \( \displaystyle (0,\infty ) \).]
Esto quiere decir que el conjunto \( \displaystyle I \) está formado por todos los pares ordenados de la forma \( \displaystyle (P,r) \), donde \( \displaystyle P \) es un punto cualquiera de \( \displaystyle X \) y \( \displaystyle r \) es un número real positivo.
La familia de todos los discos sin borde del plano se puede denotar así:

\( \begin{align*}\displaystyle
\{B_{r}(P)\}_{(P,r)\in I}.
\end{align*} \)

O si les agrada más, en esta forma más directa:

\( \begin{align*}\displaystyle
\{B_{r}(P)\}_{(P,r)\in X\times \mathbb R^+}.
\end{align*} \)

Podemos ahora considerar la unión de todos estos discos, y le llamamos \( \displaystyle U \). En símbolos:

\( \begin{align*}\displaystyle
U:=\bigcup_{(P,r)\in X\times \mathbb R^+} B_r(P).
\end{align*} \)

Ahora tenemos más claro el objetivo. Tenemos que demostrar que \( \displaystyle X=U \).
Como siempre, se hace en dos partes: primero \( \displaystyle X\subset  U \) y luego \( \displaystyle U\subset  X \).

Sea \( \displaystyle P\in X \). Dado cualquier valor \( \displaystyle r> 0 \), sabemos que \( \displaystyle B_r(P)\subset U \),
pues una unión incluye a cualquiera de los conjuntos que la forman.
Pero como la distancia de \( \displaystyle P \) a sí mismo es 0, se tiene trivialmente que \( \displaystyle |P-P|< r \).
Esta condición implica que \( \displaystyle P \) mismo pertenece al disco \( \displaystyle B_r(P) \). Por lo tanto \( \displaystyle P\in U \).

En resumen, hemos probado la implicación \( \displaystyle P\in X\Rightarrow P\in U \).
Esto equivale a decir \( \displaystyle X\subset U \).

La recíproca es trivial, pues todos los discos son subconjuntos de \( \displaystyle X \), y por lo tanto la unión de cualesquiera de ellos sigue siendo un subconjunto de \( \displaystyle X \), en consecuencia \( \displaystyle U\subset  X \).

[cerrar]

Comprobación del Axioma 3 (abrir desplegable para ver detalles)

Sea \( \displaystyle \{A_\iota\}_{\iota \in I} \) una familia arbitraria de elementos de \( \displaystyle \tau  \).
Indiquemos con \( \displaystyle A \) a la unión de todos los elementos de la familia.
Deseamos probar que \( \displaystyle A \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \).

Para ello, sea \( \displaystyle \iota \in I \) un valor concreto de índice.
Como \( \displaystyle A_\iota \in\tau  \), por la mera definición de \( \displaystyle \tau  \) sabemos que ha de existir una familia de discos sin borde cuya unión nos da exactamente \( \displaystyle A_\iota  \).
A continuación, como \( \displaystyle A \) es la unión de uniones de discos sin borde,
el mismo \( \displaystyle A \) es también, naturalmente, una unión de discos sin borde, y por lo tanto pertenece a \( \displaystyle \tau  \).

Ahí terminaría la prueba. Pero repitámosla con más exactitud en los cálculos.

Para cada \( \displaystyle \iota \in I \) existen un conjunto de índices \( \displaystyle H_\iota  \) y una familia de discos sin borde que indicamos \( \displaystyle \{N^\iota_{\eta}\}_{\eta \in H_\iota } \).
A pesar de que figuran dos índices \( \displaystyle \iota ,\eta  \), notemos que \( \displaystyle \iota  \) está fijo, y que el que varía es \( \displaystyle \eta  \).

Construyamos un nuevo conjunto de índices

\( \begin{align*}\displaystyle
J=\{(\iota ,\eta ):\iota \in I, \eta \in H_\iota \}.
\end{align*} \)

Definimos ahora esta unión:

\( \begin{align*}\displaystyle
W=\bigcup_{(\iota ,\eta )\in J} N^\iota_\eta .
\end{align*} \)

Claramente \( \displaystyle W \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \) porque es unión
de la familia \( \displaystyle \{N^\iota _\eta \}_{(\iota ,\eta )\in J} \), cuyos elementos son todos discos sin borde.
Si tuviéramos la gran suerte de que \( \displaystyle A \) sea justo igual a \( \displaystyle W \), habríamos probado que \( \displaystyle A \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \). ¿No?

Bueno, pero esto es cierto. En efecto.
Sea \( \displaystyle P \) un punto que está en \( \displaystyle A \).
Como \( \displaystyle A=\cup _{\iota \in I}A_\iota  \),
tiene que existir un \( \displaystyle \iota \in I \) tal que \( \displaystyle P\in A_\iota  \).
Dejemos fijo uno de esos valores de \( \displaystyle \iota  \) que nos sirven.
A su vez, como \( \displaystyle A_\iota =\cup _{\eta \in H_\iota } N^\iota _\eta  \),
tiene que existir un \( \displaystyle \eta  \in H_\iota  \) tal que \( \displaystyle P\in N^\iota_\eta   \).
Por lo tanto, podemos afirmar que existe un par \( \displaystyle (\iota ,\eta ) \) tal que \( \displaystyle P\in N^\iota _\eta  \).
Esto implica, por definición de unión, que \( \displaystyle P\in\cup _{(\iota ,\eta )\in J}N^\iota _\eta  \).
Esto es lo mismo que decir que \( \displaystyle P\in W \).

Hemos probado, pues, que \( \displaystyle A\subset  W \).

Con ideas parecidas uno podría demostrar que \( \displaystyle W\subset  A \).
Dejamos esto como un ejercicio
(háganlo, no sean vagos: mirá como me enojo si no  >:( ).  :laugh:

En resumen, tenemos \( \displaystyle A=W\in \tau  \), y listo.
Como la familia \( \displaystyle \{A_\iota \}_{\iota \in I} \) considerada inicialmente es arbitraria, podemos afirmar ahora que el Axioma 3 se cumple en todos los casos.

Observemos que esta comprobación no requirió el uso de cálculos geométricos,
sino estrictamente conjuntísticos. El uso de la geometría tendrá que venir, pues, en el siguiente paso.

[cerrar]

Comprobación del Axioma 4 (abrir desplegable para ver detalles)

Sean \( \displaystyle A,B \), dos elementos de \( \displaystyle \tau  \).
Deseamos comprobar que \( \displaystyle A\cap  B \) es también un elemento de \( \displaystyle \tau  \).

Como \( \displaystyle A,B\in \tau  \), han de existir sendas familias de
discos sin borde \( \displaystyle \{M_i \}_{i \in I} \) y \( \displaystyle \{N_j \}_{j \in J} \), tales que

\( A=\bigcup_{i \in I} M_i,\qquad
   B=\bigcup_{j \in J} N_j.
 \)

Calculamos ahora, usando leyes distributivas de las operaciones con conjuntos:

\( \begin{align*}\displaystyle
  A\cap  B
    &=\Big(\bigcup_{i \in I} M_i \Big)\cap \Big(\bigcup_{j \in J} N_j \Big)\\
    &=\bigcup_{i\in I}\bigcup_{j\in J} (M_i\cap N_j).
\end{align*} \)

Supongamos por un momento que cada uno de los conjuntos \( \displaystyle (M_i\cap N_j) \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \).
Tendríamos luego que \( \displaystyle A\cap  B \) se ha escrito como unión de elementos de \( \displaystyle \tau  \).
Pero ya hemos comprobado que la unión de cualesquiera elementos de \( \displaystyle \tau  \) sigue siendo un elemento de \( \displaystyle \tau  \)
(o sea, ya sabemos que el Axioma 3 se cumple, y por lo tanto podemos usarlo...).
En consecuencia, tendríamos que \( \displaystyle A\cap  B \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \), como deseamos.

Así que el meollo de la demostración está en probar justamente que,
fijados índices \( \displaystyle i\in I, j\in J \), el conjunto intersección \( \displaystyle M_i\cap N_j\in \tau  \).

Pero esos conjuntos \( \displaystyle M_i,N_j \) son discos sin borde.
Así que si fuéramos capaces de probar que la intersección de cualesquiera dos discos sin borde es un elemento de \( \displaystyle \tau  \), eso sería más que suficiente para completar todos los huecos de la demostración. ¿No?

Así que hagamos eso.
Consideremos pues dos discos sin borde \( \displaystyle B_r(P),B_s(Q) \), siendo \( \displaystyle P,Q \) puntos de \( \displaystyle X \), y \( \displaystyle r,s \) números reales positivos.

Denotemos con \( \displaystyle E \) a su intersección:

\( E=B_r(P)\cap B_s(Q). \)

Sea \( \displaystyle R\in E \). Como \( \displaystyle R \) pertenece tanto
al disco \( \displaystyle B_r(P) \) como al \( \displaystyle B_s(Q) \), la distancia de \( \displaystyle R \) a los centros es menor que \( \displaystyle r \) y \( \displaystyle s \) respectivamente:

\( |R-P|< r,|R-Q|< s. \)

En particular, los números \( \displaystyle r-|R-P| \) y \( \displaystyle s-|R-Q| \) son positivos,
y eventualmente podrían usarse como radios de discos...

Ahora definamos el número

\( \xi_R = \min\big\{r-|R-P|,s-|R-Q|\big\}. \)

Vamos a demostrar que el disco \( \displaystyle B_{\xi _R}(R) \) está incluido completamente en la intersección \( \displaystyle E \).
En efecto, sea \( \displaystyle Z \) un punto de \( \displaystyle B_{\xi _R}(R) \).
Aplicando  la desigualdad triangular, obtenemos:

\( \begin{align*}\displaystyle
|Z-P|&\leq |Z-R|+|R-P|< (r-|R-P|)+|R-P|=r\\
|Z-Q|&\leq |Z-R|+|R-Q|< (s-|R-Q|)+|R-Q|=s.
\end{align*} \)


Por lo tanto, tenemos que \( \displaystyle Z\in B_r(P) \) y también \( \displaystyle Z\in B_s(Q) \).
Pero entonces \( \displaystyle Z \) está en la intersección \( \displaystyle E \) de ambos discos.

Así, \( \displaystyle B_{\xi _R}(R)\subset E \)

Como esto puede hacerse para todo punto \( \displaystyle R\in E \),
tenemos que la unión de todos ellos sigue siendo un subconjunto de \( \displaystyle E \):

\( \displaystyle\bigcup_{R\in E}B_{\xi _R}(R)\subset E.
 \)

Finalmente, dado que \( \displaystyle R\in E \) implica trivialmente que \( \displaystyle R\in B_{\xi _R}(R) \),
se obtiene inmediatamente la inclusión inversa:

\( E\subset \bigcup_{R\in E}B_{\xi _R}(R).
 \)

Hemos probado, pues, que \( \displaystyle E=\bigcup_{R\in E}B_{\xi _R}(R) \), pero entonces \( \displaystyle E \) es unión de discos sin borde.

Si uno se toma el trabajo de rearmar la demostración poniendo los pasos ordenadamente, veremos que todo está correcto, y el Axioma 4 ha sido comprobado para \( \displaystyle \tau  \).

[cerrar]

Ahora que hemos probado que \( \displaystyle \tau  \) es una topología,
podemos hablar de sus elementos como los conjuntos abiertos de la topología correspondiente.

Pasemos ahora a dar un criterio sencillo para reconocer cuando una figura en el plano es un conjunto abierto.

Criterio. Un conjunto \( \displaystyle A\subset X \) es abierto si, y sólo si, para cada punto \( \displaystyle Q\in A \) se puede hallar algún número positivo \( \displaystyle r_Q \) tal que el disco sin borde \( \displaystyle B_{r_Q}(Q)\subset A \).
Es decir, hay al menos un disco centrado en \( \displaystyle Q \) completamente contenido en \( \displaystyle A \).

Nota: Puede haber más de un disco centrado en \( \displaystyle Q \) con esa propiedad, pero nos basta con encontrar al menos uno.

Demostración (abrir desplegable)
Como \( \displaystyle A \) es abierto,
existe un conjunto de índices \( \displaystyle I \),
una familia de puntos \( \displaystyle \{P_\iota \}_{\iota \in I} \)
y una familia de radios \( \displaystyle \{r_\iota \}_{\iota \in I} \),
tales que
\( \displaystyle A=\bigcup_{\iota \in I}B_{r_\iota }(P_\iota ). \)
Sea ahora \( \displaystyle Q\in A \).
Por definición de unión, existe al menos un \( \displaystyle \iota \in I \) tal que \( \displaystyle Q\in B_{r_\iota }(P_\iota ) \).
Así, ambos números \( \displaystyle |Q-P_\iota|,r_\iota -|Q-P_\iota| \) son positivos y menores que \( \displaystyle r_\iota  \).

Definamos el número \( \displaystyle s=r_\iota-|Q-P_\iota |  \).
Afirmamos que el disco sin borde \( \displaystyle B_s(Q) \) está contenido en \( \displaystyle A \).
En efecto, si tomamos un punto \( \displaystyle R\in B_s(Q) \), cumple que \( \displaystyle |R-Q|< s \), y ahora aplicando la desigualdad triangular nos queda que:

\( |R-P_\iota|\leq |R-Q|+|Q-P_\iota |< s+|Q-P_\iota |=r_\iota .
 \)

Esto significa que \( \displaystyle R\in B_{r_\iota }(P_\iota ) \).
Por lo tanto, tenemos que \( \displaystyle B_s(Q)\subset B_{r_\iota }(P_\iota )\subset A  \).



Recíprocamente, supongamos que \( \displaystyle A \) es un conjunto que tiene la propiedad
de que para cada \( \displaystyle Q\in A \) existe al menos un disco sin borde \( \displaystyle B_{r_Q}(Q) \) tal que \( \displaystyle B_{r_Q}(Q)\subset A \).
En este caso, la unión de todos estos discos es de nuevo un subconjunto de \( \displaystyle A \):

\( \displaystyle \bigcup_{Q\in A}B_{r_Q}(Q) \subset A. \)

Pero más aún, si \( \displaystyle Q\in A \), entonces \( \displaystyle Q\in B_{r_Q}(Q) \),
y por lo tanto trivialmente tenemos en este caso que \( \displaystyle Q \) pertenece a la unión arriba mencionada.
Por lo tanto, tenemos la igualdad:

\( \bigcup_{Q\in A}B_{r_Q}(Q) = A. \)

Esto prueba que \( \displaystyle A \) es abierto.

[cerrar]

Ahora podemos volver a mirar los dibujos de más arriba, y contestar con más seguridad si esos conjuntos son abiertos o no.
Basta con fijarse si es que acaso, en cada punto del conjunto puede meterse un disco sin borde centrado en el punto, y que esté completamente contenido en el conjunto.
Aquí reproducimos la imagen, pero con algunos puntos en el interior de las figuras de colores, alrededor de los cuales se pone un disco sin borde, de radio lo suficientemente pequeño como para que entre en el conjunto en cuestión.


Ya sabemos que un disco sin borde es un conjunto abierto.
¿Es cierto que un disco con borde es un conjunto cerrado?

Recordemos que un conjunto es cerrado si su complementario es abierto.
O sea que basta que nos fijemos en todos los puntos del plano que no pertenecen al disco con borde, y observemos que en cada punto de allí es posible disponer un disco sin borde centrado en el punto, y que esté aún contenido dentro de esa región complementaria.

Por lo tanto, los discos con borde son conjuntos cerrados.

A partir de ahora, en vez de disco sin borde diremos mejor disco abierto,
y en vez de disco con borde diremos disco cerrado.


En los textos se suele dar esta última definición desde un principio, lo cual podría ser algo confuso.
Se trata de mera nomenclatura, así que no es un inconveniente tan grave decir que un disco es abierto antes de haber demostrado que efectivamente era un conjunto abierto...
Pero quise, por esta vez, evitar ese tipo de situaciones. La historia juzgará si he hecho bien en eludir ese obstáculo.

Además... no doy puntada sin hilo.
Este ejemplo del plano... es muchísimo más general de lo que parece a simple vista.
El uso del plano es sólo con fines de visualización de lindos dibujitos.
Pero los cálculos efectuados sirven para geometrías euclidianas de más dimensiones,
incluso para espacios vectoriales normados,
y más aún, para espacios métricos cualesquiera.
Pronto retomaremos estos temas.



Les dejo aquí una lista de ejercicios.
Para demostrarlos, usar la desigualdad triangular en donde haga falta,
los 4 axiomas de topología, los cuales determinan cuáles conjuntos son abiertos,
la definición de cerrado,
y el último criterio, que es muy útil para simplificar comprobaciones varias.

  • Ejercicio Anexo.2.1.a. Comprobar que el semiplano sin borde \( \displaystyle A=\{(a,b):b> 0\} \) es abierto.


  • Ejercicio Anexo.2.1.b. Comprobar que el semiplano con borde \( \displaystyle F=\{(a,b):b\leq  0\} \) es cerrado. Pista: comprobar que su conjunto complementario \( \displaystyle F^c \) es abierto.
  • Ejercicio Anexo.2.1.c. Comprobar que un triángulo relleno por dentro, y sin sus bordes, es un conjunto abierto. Pista: escribir el conjunto de puntos interiores del triángulo como la intersección de 3 semiplanos sin borde.
  • Ejercicio Anexo.2.1.d. Comprobar que un polígono convexo relleno por dentro, y sin sus bordes, es un conjunto abierto. Pista: escribir el conjunto de puntos interiores del polígono como la intersección de \( \displaystyle n \) semiplanos sin borde.


  • EEjercicio Anexo.2.1.e. Comprobar que el borde de un polígono convexo de \( \displaystyle n \) lados es un conjunto cerrado.
    Pista: Mostrar que su complemento es la unión de dos conjuntos abiertos, uno siendo la parte interior del polígono, y el otro todo el exterior.
  • Ejercicio Anexo.2.1.f. Sea \( \displaystyle E \) una elipse en el plano, sin su borde. Demostrar que es un conjunto abierto. Pista: Renegar con los cálculos de distancia al borde.
  • Ejercicio Anexo.2.1.g. Supongamos que en el plano se han dibujado una cantidad finita de conjuntos cerrados. Advertir que el conjunto unión de todos ellos es también un conjunto cerrado. ¿Influye en esto el hecho de que los conjuntos considerados sean disjuntos y estén bastante alejados entre sí?
  • Ejercicio Anexo.2.1.h. Mostrar que una línea recta dibujada en el plano es un conjunto cerrado. Pista: es el complemento de la unión de los dos semiplanos que la limitan.
  • Ejercicio Anexo.1.1.i. Demostrar que si un conjunto del plano está formado por una cantidad finita de puntos, entonces es cerrado.
  • Ejercicio Anexo.2.1.j. Si consideremos un cuadrado relleno por dentro, pero que tiene sólo dos de sus bordes, demostrar que este conjunto no puede ser ni abierto ni cerrado.


  • Ejercicio Anexo.2.1.k. Considérese un disco abierto al que se le han agregado algunos puntos del borde, pero no todos. Demostrar que este conjunto así formado no puede ser abierto ni cerrado.
  • Ejercicio Anexo.2.1.l. Sea \( \displaystyle C \) el conjunto formado por todos los puntos \( \displaystyle (a,b) \) cuyas coordenadas \( \displaystyle a,b \), son números racionales.
    Demostrar que \( \displaystyle C \) no es abierto ni cerrado.
  • Ejercicio Anexo.2.1.m. Comprobar que los conjuntos \( \displaystyle \emptyset  \) y \( \displaystyle X \) son cerrados. Pista: ¡¡es muy fácil, no vayan a complicarse la vida!!



>> Clic aquí para Opiniones, preguntas y otros comentarios del curso: Topología (Munkres)


12 Enero, 2010, 12:19 am
Respuesta #8

argentinator

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Topología clásica del espacio euclidiano n-dimensional.

En el post anterior demostramos que la familia de conjuntos del plano formados por uniones cualesquiera de discos abiertos, es una topología.

Las mismas demostraciones hechas ahí valen en situaciones más generales, sin cambio alguno,
pero sin embargo lo que cambia es el espacio en sí, y en este post buscaremos lograr familiaridad con ellos.
Las diferencias concretas entre unos espacios topológicos y otros aparecerán cuando hagamos un estudio más profundo de cada uno de ellos, al entrar de lleno en los contenidos.

En el siguiente desplegable introduzco la intuición de la geometría tridimensional, y conceptos básicos, como los vectores y otros artilugios en dicho ambiente.
Los que ya se saben de memoria estas cosas pueden salteárselo.

Explicaciones e intuiciones para la geometría euclidiana multidimensional

La geometría euclidiana tridimensional es la que usamos en la vida cotidiana.
Tenemos una dimensión de anchura, otra dimensión de largura, y finalmente una tercer dimensión de altitud.
Así, un universo conformado por una mera línea recta tendría una sola dimensión: ancho,
un universo plano tendría dos dimensiones: ancho y largo,
y finalmente nuestro universo cotidiano tiene (aparentemente) tres dimensiones: ancho, largo y alto.
Uno seres que vivieran en un mundo plano no podrían percibir la tercer dimensión que para nosotros es tan natural. Al enfrentarse a un obstáculo, tratarían de rodearlo, pues nunca se les podría ocurrir la idea de saltarlo por encima.

Eso nos hace reflexionar sobre nosotros mismos. ¿Será que hay una cuarta dimensión y no somos capaces de percibirla?

Y aún podría ser que haya más dimensiones: mundos de 5 dimensiones, de 6, de 80, y en general, para todo número natural \( n \) podría haber un mundo de \( n \) dimensiones.

Vamos a ver cómo construimos de a poco estos conceptos matemáticamente,
ya que por suerte, aunque la imaginación nos es escasa en el terreno multidimensional,
el formalismo matemático permite indagar la cuestión con mucha sencillez.

Para nosotros es natural movernos en las tres direcciones que percibimos del espacio, y más aún en forma combinada.
Pilotando un avión, uno dice: voy 3km a la derecha, 11km adelante, y 1km hacia arriba.
Con esos tres números, uno por cada una de esas direcciones independientes, puedo concretar exactamente adónde me dirijo.

De la misma manera que se hizo en el plano, podemos también en el espacio de 3 dimensiones situar un sistema de coordenadas.
Para ello, extendemos 3 rectas perpendiculares entre sí, y que se corten en un punto común \( O \). Dicho punto \( O \) se denominará origen de coordenadas.
Éstas 3 rectas se denominarán ejes coordenados.
Una de las rectas ha de extenderse a lo ancho, la otra a lo largo, y la última a lo alto.
Se les suele denominar, en el orden expuesto: eje \( x \), eje \( y \), eje \( z \).

Repitiendo las mismas ideas que en el caso del plano, se elige un segmento unidad o patrón, y se lo utiliza para poner una escala uniforme en cada uno de los 3 ejes.

Si ahora tomamos un punto \( P \) en el espacio, es posible asignarle ahora una terna de números \( (a, b, c) \), que son sus coordenadas.
El modo de obtener esas coordenadas es sencillo, aunque lleva algo más de trabajo que en el caso plano.
Primero que nada, notemos que los ejes \( x, y \), están contenidos en un plano común, o si se prefiere, el plano generado por esas dos rectas. Se le llama simplemente plano \( xy \). Del mismo modo los ejes \( x, z \), determinan el plano \( xz \), y los ejes \( y,z \), determinan el plano \( yz \).

Ahora, a partir del punto \( P \) trazamos tres rectas que pasen por dicho punto.
La primer recta la trazamos de modo que resulte perpendicular al plano \( xy \).
En este caso, la recta corta al plano \( xy \) en un punto, digamos \( Q \).
Ahora, a través de \( Q \) trazamos una recta perpendicular al eje \( x \).
Esta recta cortará al eje \( x \) en un punto, digamos \( M \).
A ese punto \( M \) le corresponde un número real \( a \) en la escala dispuesta en el eje \( x \).
Y así hemos obtenido la primera de las coordenadas de \( P \): \( a \).
Siguiendo un procedimiento similar, usando los otros planos \( xz \) é \( yz \), se pueden obtener las coordenadas \( b \) en el eje \( y \), y la \( c \) en el eje \( z \).

Recíprocamente, se puede probar que a cada terna de números reales \( (a,b,c) \) le corresponde un único punto \( P \) del espacio tridimensional.


Lo que se hace, para simplificar la exposición, es decir que la terna \( (a,b,c) \) "es" el punto \( P \).

Notemos que el origen \( O \) "es" el punto \( (0,0,0) \).
Ahora consideremos un segmento dirigido, con punto inicial en el origen \( (0,0,0) \) y punto terminal \( (a,b,c) \). A un tal segmente dirigido se le llama vector (a,b,c).
Notemos el abuso de lenguaje por el cual se designa con \( (a,b,c) \) tanto a la terna de números, como al punto \( P \), como al segmento dirigido \( \overrightarrow{OP} \).
Se define la norma ó modulo del vector \( (a,b,c) \) como la distancia del punto \( (a,b,c) \) al origen \( (0,0,0) \). Se denota esta cantidad por medio de \( |(a,b,c)| \), o bien \( |P| \) o también \( |\overrightarrow{OP}| \), como ustedes prefieran.

Aplicando adecuadamente el teorema de pitágoras se puede demostrar que:

\( |(a,b,c)|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \)

Igual que en el caso plano, es posible efectuar una suma de vectores tridimensionales mediante traslaciones paralelas de vectores. No voy a entrar en más detalles...
Tan sólo diré que, algebraicamente, de nuevo la suma vectorial tiene esta sencilla forma:

\( (a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'). \)

La resta se define de forma similar.


Dados dos puntos \( P=(a,b,c),P'=(a',b',c') \), su distancia, que es la longitud del segmento que los une, es igual al módulo del vector de su diferencia, como es fácil demostrar, y escribimos:

\( \textsf{dist}(P,P')=|\overline{PP'}|=|(a',b',c')-(a,b,c)|=\sqrt{(a'-a)^2+(b'-b)^2+(c'-c)^2}. \)

Se puede demostrar que esta función módulo satisface la siguiente:

Desigualdad triangular: Dados tres puntos \( P,Q,R \) del espacio tridimensional, siempre es cierto que:

\( |P-R| \leq |P-Q|+|Q-R|. \)



¿Qué pasa cuando tenemos más de 3 dimensiones en el espacio?
Lo que se debe hacer aquí es desarrollar una teoría de espacio euclidiana \( n \)-dimensional, lo cual vendría a ser una generalización de la geometría euclidiana plana o bidimensional y de la espacial o tridimensional, a un contexto con mayor número de dimensiones.

No es este el lugar apropiado para hacer tal desarrollo, pero tampoco hace mucha falta.
Fijémonos que las geometrías del plano y del espacio se han podido expresar en forma sencilla como duplas \( (a,b) \) y ternas \( (a,b,c) \), respectivamente, de números reales.
Si quisiéramos hacer geometría euclidiana de 4 dimensiones, bastaría conque estudiemos operaciones algebraicas para cuartetos \( (a,b,c,d) \) de números reales.
Cada unos de esos 4 números representarían las coordenadas de un punto en el espacio euclidiano de dimensión 4.
Esas coordenadas estarían establecidas sobre un sistema de 4 rectas perpendiculares entre sí...

En general, si el número de dimensiones es \( n \), podemos hablar de un sistema coordenado basado en \( n \) ejes mutuamente perpendiculares, que darían las direcciones independientes básicas de tal espacio.
Los puntos o vectores se describirían con \( n \)-uplas \( (a_1,a_2, \cdots, a_n) \) de números reales.
También, la suma de vectores responde a la forma algebraica:

\( (a_1,a_2, \cdots, a_n)+(b_1,b_2, \cdots, b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n). \)

Ídem para la resta.

La norma o módulo de un vector \( (a_1,a_2, \cdots, a_n) \) se define por medio de:

\( |(a_1,a_2, \cdots,a_n)|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+ \cdots a_n^2} \)

Ahora la distancia entre dos puntos \( (a_1,a_2, \cdots, a_n) \) y \( (b_1,b_2, \cdots, b_n) \) del espacio euclidiano \( n \)-dimensional se calcula así:
\( |(b_1,b_2, \cdots, b_n)-(a_1,a_2, \cdots, a_n)|=|(b_1-a_1,b_2-a_2, \cdots, b_n-a_n)|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+\cdots+(b_n-a_n)^2}. \)

Se puede demostrar que esta cantidad satisface también la famosa desigualdad triangular: dados tres puntos \( P,Q,R \), del espacio euclidiano \( n \)-dimensional, vale que:

\( |P-R| \leq |P-Q|+|Q-R|. \)

Como se ve, la noción de distancia tiene el mismo aspecto, independientemente de la dimensión, y esto es lo que ayuda a que muchas demostraciones sean iguales o parecidas a las hechas para la geometría plana.

[cerrar]

Para movernos cómodamente en la geometría multidimensional, conviene identificar la geometría con el álgebra. También hay que mantener una notación algo más limpia y compactada.
Los detalles van en el siguiente desplegable:

Mudanza de notación y aspectos algebraicos
Con el signo \( \mathbb{R} \) denotamos al conjunto de los números reales.
El producto cartesiano de \( \mathbb{R} \) consigo mismo una cantidad finita \( n \) de veces, \( \underbrace{\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{n} \) sabemos que se anota brevemente como \( \mathbb{R}^n \).

Los elementos del conjunto \( \mathbb{R}^n \) son todas las \( n \)-uplas de números reales.
Dado que es posible identificar todos los puntos de una geometría euclidiana de \( n \)-dimensiones con el conjunto de todas las \( n \)-uplas de números reales,
en todo lo que sigue vamos a referirnos a \( \mathbb{R}^n \) como el espacio euclidiano \( n \)-dimensional. O sea, hacemos la identificación de la geometría euclidiana con el álgebra de vectores, de una vez y para siempre. Esto facilitará la introducción de otros ejemplos parecidos... y más jugosos.

Los detalles se desarrollan adecuadamente en un curso o libro de álgebra lineal.
Eso no nos corresponde desarrollar aquí.
Tan sólo necesitamos tener más o menos claro como trabaja la función módulo, o bien cómo funciona la noción de distancia.



Mudanza de notación: Para adaptarnos a los textos de matemáticas más abstractos, será conveniente que dejemos la notación de "olor" geométrico clásico, como puntos \( P,Q,R \) indicados en mayúsculas, y pasemos por unas sucesivas transformaciones.
Agárrense fuerte y abróchense el cinturón, que vamos a estrujar un poco el cerebro.


En álgebra lineal, o en cálculo multivariable, a los vectores del espacio euclidiano \( n \)-dimensional se los marca con una flechita, que indica que son segmentos dirigidos.
Además, se prefiere el uso de la letra \( v \), que significa vector, antes que la \( P \) que significaba punto.
En vez \( P,Q,R \), escribimos ahora \( \vec u,\vec v,\vec w \) (la \( u \) y la \( w \) son letras amigas de la \( v \), parece).

Las coordenadas de un punto/vector \( \vec v \) ya no se indican con letras \( x, y, z, \) etc., porque es demasiado engorro de letras, y no queda claramente especificado cuántas componentes hay. Escribimos entonces algo como:

\(  \vec v = (x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n). \)

Observemos cómo hemos cambiado el uso de \( x,y,z \), por el más genérico de \( x_1, x_2, x_3 \).

Otro detalle: Lo bueno de la letra \( v \) es que no se confunde con las usuales letras \(  x,y,z \), de las componentes. O la \( x \) subindizada en \(  (x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n) \).
Sin embargo hay autores que no se preocupan por este "supuesto" conflicto de letras, y se permiten usar una \( x \) en vez de una \( v \), total está la "flechita" para distinguir que se trata de un vector y no de una componente del mismo:

\(  \vec x= (x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n). \)

En la mayoría de los libros no se usa la notación de "flechita", sino que se prefiere usar letras en negrita para los vectores (ej.: \(  \mathbf{u,v,w} \)), y se mantienen las letras "flacas" en cursiva para las componentes, o incluso para cualquier variable que sólo indique un número real:

\(  \mathbf x= (x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n). \)

Ahora, la desigualdad triangular expresada con estas letras y notaciones, tiene este aspecto:

\(  |\vec u-\vec w| \leq |\vec u-\vec v|+|\vec v-\vec w| \)
\(  |\mathbf u-\mathbf w| \leq |\mathbf u-\mathbf v|+|\mathbf v-\mathbf w| \)
\(  |\vec x-\vec z| \leq |\vec x-\vec y|+|\vec y-\vec z| \)
\(  |\mathbf x-\mathbf z| \leq |\mathbf x-\mathbf y|+|\mathbf y-\mathbf z| \)

No confundamos el uso de \(  \vec x,\vec y,\vec z \), que indican vectores, con el de las letras \( x,y,z \), que indican componentes o coordenadas individuales...

El uso de \( x,y,z \), tiene usualmente un significado fijo en la geometría tridimensional:
\( x \) es la coordenada horizontal, \( y \) es la coordenada longitudinal, y \( z \) es la coordenada vertical.
Pero al usar notación de vectores \(  \vec x,\vec y,\vec z,\mathbf{x,y,z} \) no se les acostumbra dar ningún significado especial, y da lo mismo qué letra se use.



Confusión final: Como si todo eso no fuera suficiente, hay autores que "se aburren" de andar distinguiendo lo que es un vector de lo que no lo es, y ya no usan ni flechitas ni negritas.
¡¡Ellos pueden usar las letras \( x, y, z \), por ejemplo, para indicar vectores!!

En tal caso, usan otras letras para las componentes, como \( a, b, c, \) o quizá letras griegas \( \alpha,\beta,\gamma \), etc. Por ejemplo:

\( x=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n). \)
\( x=(a_1,a_2,\cdots,a_n). \)

En textos de geometría diferencial puede que se usen letras griegas para los vectores, o la letra \( \mathbb r \) en vez de \( x \) ó \( v \). Ejemplos:

\(  \mathbf \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n) \)
\(  \mathbf r=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \)

[cerrar]

Ahora tomaremos como nuestro espacio \( \displaystyle X \) al conjunto \( \mathbb{R}^n \).

Definición. Sea \(  \mathbf  x \) un punto de \( \mathbb{R}^n \), y sea \( \displaystyle r \) un número real positivo.
Se define la bola sin borde con centro \( \displaystyle \mathbf x \) y radio \( \displaystyle r \) como el conjunto, denotado \( \displaystyle B_r(\mathbf x) \),
de todos aquellos puntos \( \mathbf y\in\mathbb{R}^n \) cuya distancia a \( \mathbf x \) es estrictamente menor que \( \displaystyle r \). En símbolos:

\( \begin{align*}\displaystyle
  B_r(\mathbf x) := \{\mathbf y\in \mathbb{R}^n:|\mathbf y-\mathbf x|< r\}.
\end{align*} \)

Se define la bola con borde con centro \( \mathbf x \) y radio \( r \) como el conjunto, denotado \( \bar{  B}_r(\mathbf x) \),
de todos aquellos puntos cuya distancia a \( \mathbf x \) es menor o igual que \( r \). En símbolos:

\( \begin{align*}\displaystyle
  \bar{  B}_r(\mathbf x) := \{y\in \mathbb{R}^n:|\mathbf y-\mathbf x|\leq  r\}.
\end{align*} \)

La denominación que estoy usando para las bolas no es estándar... sigo el mismo enfoque que usé para los discos en el plano.


Ahora desarrollaremos la topología clásica del espacio euclidiano \( n \)-dimensional.
Los conjuntos abiertos han de ser aquellos conjuntos que están bastante "gorditos" y que a su vez no tengan "cáscara" o "frontera" ó "borde".
Los conjuntos cerrados sí tendrán cáscara.

Un poco de intuición espacial e hiperespacial
Cuando la dimensión del espacio es \( n=3 \) la intuición nos ayuda, y podemos visualizar bien las bolas y los conjuntos abiertos y cerrados.
Cuando la dimensión es mayor que 3, ya no podemos imaginarlo, ni siquiera dibujarlo.
Quizá haya técnicas para representar objetos de dimensiones mayores a 3, que no conozco del todo... pero eso ya es tema de otra área de la matemática que no es el tema de topología general. Simplemente tratemos de imaginarnos como funciona la generalización a dimensiones mayores.
Sólo tenenos un ejemplo a mano: de la dimensión 2 se hace un salto geométrico a la dimensión 3.

Un disco en dimensión 2 pasa a ser una bola en dimensión 3.
Un cuadrado en dimensión 2 pasa a ser un cubo en dimensión 3.
Un triángulo en dimensión 2 pasa a ser una pirámide tetraédrica en dimensión 3.
Una recta en dimensión 2 pasa a ser un plano en dimensión 3.
Un punto en dimensión 2 pasa a ser una recta en dimensión 3.
Un trazo curvo en dimensión 2 pasa a ser una superficie curva en dimensión 3.
Un polígono en dimensión 2 pasa a ser un poliedro en dimensión 3.


Esas transformaciones son muy "mentirosas", jeje  ;D
pero están para ejercitar nuestra imaginación geométrica.

Ahora, tratemos de imaginar cómo sería el salto geométrico desde la dimensión 3 a la dimensión 4, luego de la 4 a la 5, y en general el salto a dimensión \( n \), para cualquier número natural \( n \).
En dimensión \( n \) en realidad tendríamos que hablar de "hipercubos", "hiperbolas" o "hiperesferas", "hiperplano", y así por el estilo. Los "hiperpoliedros" en \( n \) dimensiones se llaman en realidad "polítopos".

Sin embargo, en el contexto topológico, a los conjuntos \( B_r(\mathbf x) \) se les llama simplemente "bolas", y así lo haremos nosotros.
Cuando la dimensión es \( n=2 \), las "bolas" se convierten en los "discos" de los que ya hemos hablado tanto.
[cerrar]

Tal como hicimos para el plano, formaremos una familia \( \displaystyle \tau  \)  de subconjuntos de \( \displaystyle X=\mathbb{R}^n \) de la siguiente manera:
Diremos que un subconjunto \( \displaystyle A \) de \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \) si, y sólo si, el conjunto \( \displaystyle A \) es el vacío o bien puede escribirse como la unión de alguna familia de bolas sin borde.

Expresemos esto mismo pero más técnicamente: si \( \displaystyle A\subset \mathbb{R}^n \), la condición para que un conjunto no vacío \( \displaystyle A \) sea un elemento de \( \displaystyle \tau  \) es que exista una familia \( \displaystyle  \{N_\iota\}_{\iota \in I} \) tal que:
  • Cada conjunto \( \displaystyle N_\iota  \) es una bola sin borde, vale decir, que existan un punto \( \mathbf x_\iota \in\mathbb{R}^n \) y un número real \( \displaystyle r_\iota > 0 \) tales que \( \displaystyle N_\iota =B_{r_\iota }(\mathbf x_\iota) \).
  • El conjunto \( \displaystyle A \) puede escribirse exactamente como unión de todos esos discos sin borde, así:

    \( \displaystyle
    A=\bigcup_{\iota \in I} N_\iota=\bigcup_{\iota \in I} B_{r_\iota}(\mathbf x_\iota). \)

Resumiendo:

\( \begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset \mathbb{R}^n| A=\emptyset\textsf{\ ó bien\ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:\big[
   A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota\textsf{\ \ y \ \ }
      N_\iota = B_{r_{\iota }}(\mathbf x_\iota),
              \textsf{\ para ciertos\ }
    \mathbf x_\iota\in \mathbb{R}^n, r_\iota>0\big]
 \Big\}
\end{align*} \)

Ya que las definiciones y demás detalles serán iguales a los ya expuestos para el plano,
podemos aprovechar para introducir otros elementos accesorios, tal como un formalismo más exacto.
Podríamos reescribir la definición anterior usando correctamente cuantificadores, así:

\( \begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset \mathbb{R}^n| A=\emptyset\textsf{\ ó \ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:\big[
     A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota\textsf{\ \ y \ \ }
      \exists{\mathbf x_\iota\in\mathbb{R}^n,r_\iota>0}: N_\iota = B_{r_{\iota }}(\mathbf x_\iota)
              \big]
 \Big\}
\end{align*} \)

Reflexiones sobre notación y exactitud lógica formal

Nótese que hemos puesto subíndices para \( \mathbf x_\iota,r_\iota \).
La utilidad de nombrar al centro y radio de las bolas con subíndices es que si queremos seguir haciendo cálculos u operaciones con dichas bolas, ya tenemos una manera concreta de referirnos a cada una de ellas, y podemos luego especificar sin ambigüedad puntos y radios sin inconvenientes ni salvedades.

Sin embargo, desde un punto de vista estrictamente lógico, es extraño usar esa notación con subíndices, y formalmente no es necesario. Analicemos esta frase:
"Para cada \(  \iota\in I \) existen un centro \( \mathbf x \) y un radio \( r>0 \) tales que \( N_\iota=B_r(\mathbf x) \)".
La definición de \( \tau \) quedaría correctamente expresada y en forma más limpia, así:

\( \begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset \mathbb{R}^n| A=\emptyset\textsf{\ ó \ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:\big[
      A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota\textsf{\ \ y \ \ }
    \exists{\mathbf x\in\mathbb{R}^n,r>0}: N_\iota = B_{r}(\mathbf x)
               \big]
 \Big\}
\end{align*} \)

Claramente, se tiene que tanto \( \mathbf x \) como \( r \) dependen de \( \iota \).
En base a la afirmación anterior en azul, podemos asegurar con rigor lógico que hay unas funciones \( f, g \), con dominio \( I \), y cuya imagen cae respectivamente en \( \mathbb{R}^n \) y en el conjunto de reales positivos \( \mathbb{R}^+ \), tales que

\( N_\iota=B_{g(\iota)}(f(\iota)). \)

O sea, \( f(\iota) \) es algún centro \( \mathbf x \), y \( g(\iota) \) es algún radio \( r \).
Podemos luego hacer un cambio de notación, y en vez de escribir la función \( f \) como se hace comunmente: \( f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^+, \iota\to f(\iota) \), usamos las "llaves" con elementos subindicados:

\( f:\equiv{}\{\mathbf x_\iota\}_{\iota\in I}\subset\mathbb{R}^n. \)

Con esta notación, tenemos ahora que \( \mathbf x_\iota=f(\iota) \).
Algo análogo se haría para \( g \) y los radios \( r_\iota \).

Con el paso del tiempo, todas estas expresiones empiezan a simplificarse, y uno puede pasar de una notación a otra, usar o no llaves, y quedar las cosas más o menos expresadas como nos han quedado en el texto principal de este post.



Hay otros reparos en la notación, que serían los mismos que ya hicimos en el post anterior...

[cerrar]


Veamos algunos ejemplos de elementos que están en la familia \( \displaystyle \tau  \).

Como la unión de una bola sin borde \( \displaystyle B_r(P) \) consigo misma es trivialmente una unión de bolas sin borde, se deduce enseguida que toda bola sin borde es un elemento de \( \displaystyle \tau  \).
También, uniones finitas o infinitas de cualesquiera bolas sin borde están en \( \displaystyle \tau  \).
Y más aún, todos los elementos no vaciós de \( \displaystyle \tau  \) son de esta forma...

Los dibujos que vienen a continuación serían elementos de \( \displaystyle \tau  \),
aunque la justificación formal no es directa por ahora, sino que será demostrado más abajo.


Todos los ejemplos de los dibujos son figuras bastante llenas (alrededor de cualquier punto cabe alguna bola sin cáscara que no traspasa el borde del cuerpo, centrada en el punto), y todos ellos son cuerpos que no incluyen al borde o cáscara, sino que están "abiertos". (Es ciertamente difícil dibujar bolas tridimensionales "sin" su cáscara, como puede apreciarse en el dibujo bajo la definición de bola sin borde, así que, por simplicidad, hemos dibujado aquí bolas "macizas", y se pide al lector "hacer de cuenta" que los cuerpos de la imagen no tienen cáscara).



Ahora debemos probar que la familia \( \displaystyle \tau \) es una topología para el espacio euclidiano \( n \)-dimensional.
La demostración es la misma que la del caso 2-dimensional.
¿Qué cambia? Sólo terminología y notación, lo cual no es relevante en absoluto.
En todo lugar que diga "disco sin borde" lo reemplazamos por "bola sin borde",
y en todo lugar que diga el "plano" decimos "\( \mathbb{R}^n \)".
En vez de las letras \( P,Q,R \), usamos ahora \( \mathbf{x,y,z} \), y así por el estilo.
Pero en todos los casos, tenemos una suma/resta de vectores que funciona igual, y una norma o módulo que satisface la desigualdad triangular.
En cuanto a la norma \( |\cdots| \), es claro que geométricamente tiene un sentido más rico e interesante cuando la dimensión \( n \) del espacio es más grande que 2.
Pero a los fines de la demostración, al dejar los signos \( |\cdots| \) tal como están, se sigue obteniendo una demostración válida.

Así que lo que haremos es repetir los cálculos que ya hicimos para el plano,
con la notación cambiada, abreviando un poco para no ser tan pesados,
y aprovechando para escribir las cosas en un formato más técnico.

Proposición. La familia \( \displaystyle \tau  \) es una topología sobre \( \mathbb{R}^n \).

Demostración. De nuevo, basta comprobar los 4 axiomas de topología.

Comprobación del Axioma 1 (abrir desplegable para ver detalles)
Por mera definición de \( \tau \), tenemos \( \emptyset\in \tau \).
[cerrar]

Comprobación del Axioma 2 (abrir desplegable para ver detalles)
Debemos demostrar que el conjunto total \( \mathbb{R}^n\in\tau \).

La familia de todas las bolas sin borde de \( \mathbb{R}^n \) se puede denotar así:

\( \begin{align*}\displaystyle
\{B_{r}(\mathbf x)\}_{(\mathbf x,r)\in X\times \mathbb R^+}.
\end{align*} \)

Llamemos \( \displaystyle U \) a la unión de todas esas bolas. En símbolos:

\( \begin{align*}\displaystyle
U:=\bigcup_{(\mathbf x,r)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb R^+} B_r(\mathbf x).
\end{align*} \)

Tenemos que probar \( \displaystyle X=U \).
Sea \( \mathbf x\in \mathbb{R}^n \).
Dado cualquier \( \displaystyle r> 0 \), sabemos que \( \displaystyle B_r(\mathbf x)\subset U \). En símbolos:

\( \displaystyle\forall{r>0}:( B_r(\mathbf x)\subset U) \)

Además, como \( 0= |\mathbf x-\mathbf x|< r \),
esto implica que \( \mathbf x\in\displaystyle B_r(\mathbf x) \).
Pero como \(  B_r(\mathbf x)\subset U \), la definición de inclusión implica que \( \mathbf x\in U \).

Hemos probado que:
\( \forall{\mathbf x}:(\mathbf x\in \mathbb{R}^n\Longrightarrow{\mathbf x\in U}) \).

Esto es equivalente a escribir \( \mathbb{R}^n\subset U \).

La recíproca \( U\subset\mathbb{R}^n \) se puede demostrar de forma trivial.

Conclusión: \( \mathbb{R}^n=U \).
Luego \( \mathbb{R}^n \) se ha escrito como unión de bolas sin borde, y así \( \mathbb{R}^n\in\tau \).

[cerrar]

Comprobación del Axioma 3 (abrir desplegable para ver detalles)

Considerar una familia arbitraria \( \displaystyle \{A_\iota\}_{\iota \in I}\subset\tau  \).
Escribamos
\( \displaystyle A=\bigcup_{\iota\in I} A_\iota. \)

Debemos probar que \(  A\in\tau  \).

Sea \( \displaystyle \iota \in I \).
Como \( A_\iota \in\tau  \), por la mera definición de \( \displaystyle \tau  \) sabemos que existen un conjunto de índices \( H_\iota \) y una familia de bolas sin borde  \( \{N^\iota_{\eta}\}_{\eta \in H_\iota } \) tales que para cada \( \iota\in I \):

\( \displaystyle A_\iota=\bigcup_{\eta\in H_\iota}N^\iota_\eta. \)

Construyamos un nuevo conjunto de índices

\( J=\{(\iota ,\eta ):\iota \in I, \eta \in H_\iota \}. \)

Definimos ahora esta unión:

\( \begin{align*}\displaystyle
W=\bigcup_{(\iota ,\eta )\in J} N^\iota_\eta .
\end{align*} \)

Claramente \( \displaystyle W\in\tau  \) porque es unión de la familia de bolas sin borde \( \displaystyle \{N^\iota _\eta \}_{(\iota ,\eta )\in J} \).
Ahora se debe probar que \( A=W \), con lo cual tendríamos que \( A\in\tau \). Veamos:

Sea \( \mathbf x\in A \).
Como \( \displaystyle A=\bigcup _{\iota \in I}A_\iota  \),
existe \( \iota \in I \) tal que \( \mathbf x\in A_\iota  \).
Fijemos uno de esos \( \displaystyle \iota  \).
Como \( \displaystyle A_\iota =\bigcup _{\eta \in H_\iota } N^\iota _\eta  \), existe \( \displaystyle \eta  \in H_\iota  \) tal que \( \mathbf x\in N^\iota_\eta \).
Por lo tanto, existe \( (\iota ,\eta )\in J \) tal que \( \mathbf x\in N^\iota _\eta \).
Esto implica, por definición de unión, que \( \displaystyle\mathbf x\in\bigcup _{(\iota ,\eta )\in J}N^\iota _\eta  \).
O sea que \( \mathbf x\in W \).

Hemos probado que \( \forall{\mathbf x}:(\mathbf x\in A\Longrightarrow{\mathbf x\in W}) \).
Por lo tanto \( \displaystyle A\subset  W \).

Con ideas parecidas uno podría demostrar que \( \displaystyle W\subset  A \).
Dejamos esto como un ejercicio.

Y así se obtiene lo deseado: \( A=W \).

[cerrar]

Comprobación del Axioma 4 (abrir desplegable para ver detalles)

Sean \( \displaystyle A,B\in\tau  \).
Debemos comprobar que \( \displaystyle A\cap  B \in\tau  \).

Como \( \displaystyle A,B\in \tau  \), existen sendas familias de bolas sin borde \( \displaystyle \{M_i \}_{i \in I} \) y \( \displaystyle \{N_j \}_{j \in J} \) en \( \mathbb{R}^n \), tales que

\( \displaystyle A=\bigcup_{i \in I} M_i,\qquad   B=\bigcup_{j \in J} N_j. \)

Calculamos:

\( \begin{align*}\displaystyle
  A\cap  B
    &=\Big(\bigcup_{i \in I} M_i \Big)\cap \Big(\bigcup_{j \in J} N_j \Big)\\
    &=\bigcup_{i\in I}\bigcup_{j\in J} (M_i\cap N_j).
\end{align*} \)

Para probar que \( A\cap B\in \tau \) es suficiente demostrar que para cada par \( i\in I, j\in J \) se tiene que \( (M_i\cap N_j)\in\tau \).
Así tendríamos que \( \displaystyle A\cap  B \) se ha escrito como unión de elementos de \( \displaystyle \tau  \), y esto implicaría que \( A\cap B\in \tau \), cosa que ya hemos comprobado en el desplegable inmediato anterior...

Pero esos conjuntos \( \displaystyle M_i,N_j \) son bolas sin borde.
Basta demostrar el hecho más general de que la intersección de dos bolas sin borde en \( \mathbb{R}^n \) es aún un elemento de \( \tau \).

Consideremos dos bolas sin borde \( \displaystyle B_r(\mathbf x),B_s(\mathbf y) \), siendo \( \mathbf{x,y}\in\mathbb{R}^n \), y \( \displaystyle r,s \) números reales positivos.

Denotemos

\( E=B_r(\mathbf x)\cap B_s(\mathbf y). \)

Sea \( \mathbf z\in E \).
Como \( \mathbf z \) pertenece tanto a la bola \( \displaystyle B_r(\mathbf x) \) como a la \( \displaystyle B_s(\mathbf y) \), se tiene:

\( |\mathbf z-\mathbf x|< r,|\mathbf z-\mathbf y|< s. \)

En particular, los números \( \displaystyle r-|\mathbf z-\mathbf x| \) y \( \displaystyle s-|\mathbf x-\mathbf y| \) son positivos, y eventualmente podrían usarse como radios de bolas...

Ahora definamos el número

\( \xi_{\mathbf z} = \min\big\{r-|\mathbf z-\mathbf x|,s-|\mathbf z-\mathbf y|\big\}. \)

Vamos a demostrar que la bola \( \displaystyle B_{\xi _{\mathbf z}}(\mathbf z) \) está incluidoa completamente en la intersección \( \displaystyle E \).

(Ver dibujo más abajo)

En efecto, sea \( \mathbf p\in B_{\xi _{\mathbf z}}(\mathbf z) \).
Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos:

\( \begin{align*}\displaystyle
|\mathbf p-\mathbf x|&\leq |\mathbf p-\mathbf z|+|\mathbf z-\mathbf x| < (r-|\mathbf z-\mathbf x|)+|\mathbf z-\mathbf x|=r\\
|\mathbf p-\mathbf y|&\leq |\mathbf p-\mathbf z|+|\mathbf z-\mathbf y| < (s-|\mathbf z-\mathbf y|)+|\mathbf z-\mathbf y|=s.
\end{align*} \)

Por lo tanto \( \mathbf p\in B_r(\mathbf x) \) y también \( \mathbf p\in B_s(\mathbf y) \).
Entonces \( \mathbf p\in E \).

Como \( \mathbf p \) es arbitrario, podemos decir ahora que \( \displaystyle B_{\xi _{\mathbf z}}(\mathbf z)\subset E \)

Como esto puede hacerse para todo punto \( \mathbf z\in E \), se tiene que:

\( \displaystyle \bigcup_{\mathbf z\in E}B_{\xi _{\mathbf z}}(\mathbf z)\subset E. \)

Finalmente, dado que \( \mathbf z\in E \) implica trivialmente que \( \mathbf z\in B_{\xi _{\mathbf z}}(\mathbf z) \), se obtiene inmediatamente:

\( \displaystyle E\subset \bigcup_{\mathbf z\in E}B_{\xi _{\mathbf z}}(\mathbf z). \)

Hemos probado que \( \displaystyle E=\bigcup_{\mathbf z\in E}B_{\xi _{\mathbf z}}(\mathbf z) \), pero entonces \( \displaystyle E \) es unión de bolas sin borde.

Esto culmina la comprobación de que se cumple el Axioma 4.

[cerrar]





Ahora que hemos probado que \( \displaystyle \tau  \) es una topología,
podemos hablar de sus elementos como los conjuntos abiertos de la topología correspondiente.

Demos también el criterio para detectar conjuntos abiertos en el espacio euclídeo \( n \)-dimensional.

Criterio. Un conjunto \(  A\subset \mathbb{R}^n \) es abierto si, y sólo si, para cada punto \( \mathbf y\in A \) se puede hallar algún número positivo \( \displaystyle r_{\mathbf y} \) tal que la bola sin borde \( \displaystyle B_{r_{\mathbf y}}(\mathbf y)\subset A \).
Es decir, hay al menos una bola centrada en \( \mathbf y \) completamente contenida en \( \displaystyle A \).

Nota: Puede haber más de una bola centrado en \( \mathbf y \) con esa propiedad, pero nos basta con encontrar al menos una.

Demostración (abrir desplegable)
Como \( \displaystyle A \) es abierto,
existe un conjunto de índices \( \displaystyle I \),
una familia de puntos \( \displaystyle \{\mathbf x_\iota \}_{\iota \in I} \) de \( \mathbb{R}^n \),
y una familia de radios \( \displaystyle \{r_\iota \}_{\iota \in I} \),
tales que

\( \displaystyle A=\bigcup_{\iota \in I}B_{r_\iota }(\mathbf x_\iota ). \)

Sea ahora \( \mathbf y\in A \). Por definición de unión,
existe \( \iota \in I \) tal que \( \mathbf y\in B_{r_\iota }(\mathbf x_\iota ) \).
Así, ambos números \( \displaystyle |\mathbf y-\mathbf x_\iota|,r_\iota -|\mathbf y-\mathbf x_\iota| \) son positivos y menores que \( \displaystyle r_\iota  \).

Definamos
\( \displaystyle s=r_\iota-|\mathbf y-\mathbf x_\iota |.  \)

Afirmamos que la bola sin borde \( B_s(\mathbf y) \) está contenido en \( A \).
En efecto, si \( \mathbf z\in B_s(\mathbf y) \), se cumple que \( |\mathbf z-\mathbf y|< s \), y ahora aplicando la desigualdad triangular nos queda que:

\( |\mathbf z-\mathbf x_\iota|\leq |\mathbf z-\mathbf y|+|\mathbf y-\mathbf x_\iota |< s+|\mathbf y-\mathbf x_\iota |=r_\iota .
 \)

Esto significa que \(  \mathbf z\in B_{r_\iota }(\mathbf x_\iota ) \). Por lo tanto, tenemos que

\(  B_s(\mathbf y)\subset B_{r_\iota }(\mathbf x_\iota )\subset A  \).



Recíprocamente, supongamos que \( \displaystyle A \) es un conjunto que tiene la propiedad
de que para cada \( \mathbf y\in A \) existe  una bola sin borde \( B_{r_{\mathbf y}}(\mathbf y) \) tal que \( \displaystyle B_{r_\mathbf y}(\mathbf y)\subset A \).
¿Cómo podemos expresar esto con más formalismo lógico? Así:

Sea \( A \) tal que:
\( A\in\Big\{C:\forall{\mathbf y\in C}\big(\exists{r_{\mathbf y}>0}:( B_{r_\mathbf y}(\mathbf y)\subset C)\,\big)\Big\}. \)

O sea, \( A \) es un conjunto que pertenece a una gran familia de conjuntos que cumplen la propiedad indicada entre llaves.

Ahora, la unión de todas estas bolas es de nuevo un subconjunto de \( A \):

\( \displaystyle\bigcup_{\mathbf y\in A}B_{r_\mathbf y}(\mathbf y) \subset A. \)

Más aún, si \( \mathbf y\in A \), entonces \( \mathbf y\in B_{r_{\mathbf y}}(\mathbf y) \), y por lo tanto trivialmente \( \mathbf y \) pertenece a la unión.
Por lo tanto, tenemos la igualdad:

\( \bigcup_{\mathbf y\in A}B_{r_{\mathbf y}}(\mathbf y) = A. \)

Esto prueba que \( A \) es abierto.

[cerrar]

Ahora podemos volver a mirar los dibujos de más arriba, y contestar con más seguridad si esos conjuntos son abiertos o no.
Basta con fijarse si es que acaso, en cada punto del conjunto puede meterse una bola sin borde centrada en el punto, y que esté completamente contenida en el conjunto.



Ya sabemos que una bola sin borde es un conjunto abierto.
¿Es cierto que una bola con borde es un conjunto cerrado?

Recordemos que un conjunto es cerrado si su complementario es abierto.
O sea que basta que nos fijemos en todos los puntos del espacio \( \mathbb{R}^n \) que no pertenecen a la bola con borde, y observemos que en cada punto de allí es posible disponer una bola sin borde centrada en el punto, y que esté aún contenido dentro de esa región complementaria.

Por lo tanto, las bolas con borde son conjuntos cerrados.

A partir de ahora, en vez de bola sin borde diremos mejor bola abierta,
y en vez de bola con borde diremos bola cerrada.




Les dejo aquí una lista de ejercicios.

  • Ejercicio Anexo.2.2.a. Comprobar que el semiespacio tridimensional sin borde \( \displaystyle A=\{(x,y,z):4 x-5 y-7 z<12\} \) es abierto en \( \mathbb{R}^3 \).


  • Ejercicio Anexo.2.2.b. Comprobar que el semiespacio con borde \( \displaystyle F=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1\geq  0\} \) es cerrado en \( \mathbb{R}^4 \).
  • Ejercicio Anexo.2.2.c. Comprobar que un tetraedro relleno por dentro, y sin cáscara (o sea, quitando las caras externas), es un conjunto abierto en \( \mathbb{R}^3 \). Pista: escribir el conjunto de puntos interiores del tetraedro como la intersección de 4 semiespacios tridimensionales sin borde.
  • Ejercicio Anexo.2.2.d. Comprobar que un poliedro/polítopo convexo relleno por dentro, y sin sus bordes, es un conjunto abierto en \( \mathbb{R}^n \). Pista: escribir el conjunto de puntos interiores del poliedro/polítopo como la intersección de un número finito de semiespacios \( n \)-dimensionales sin borde.
  • EEjercicio Anexo.2.2.e. Comprobar que el borde/cáscara de un políedro convexo tridimensional de un número finito \( c \) de caras es un conjunto cerrado en \( \mathbb{R}^3 \). 
    Pista: Mostrar que su complemento es la unión de dos conjuntos abiertos, uno siendo la parte interior del políedro, y el otro todo el exterior.
  • Ejercicio Anexo.2.2.f. Sea \( \displaystyle E \) un elipsoide en el espacio tridimensional, sin su borde/cáscara. Demostrar que es un conjunto abierto en \( \mathbb{R}^3 \). Pista: Renegar con los cálculos de distancia al borde.


  • Ejercicio Anexo.2.2.g. Supongamos que en \( \mathbb{R}^n \) se ha dispuesto una cantidad finita de conjuntos cerrados. Advertir que el conjunto unión de todos ellos es también un conjunto cerrado. ¿Influye en esto el hecho de que los conjuntos considerados sean disjuntos y estén bastante alejados entre sí?
  • Ejercicio Anexo.2.2.h. Mostrar que una plano recto dibujado en el espacio tridimensional es un conjunto cerrado en \( \mathbb{R}^3 \). Pista: es el complemento de la unión de los dos semiespacios abiertos que lo limitan.
  • Ejercicio Anexo.2.2.i. Demostrar que si un conjunto del espacio \( \mathbb{R}^n \) está formado por una cantidad finita de puntos, entonces es cerrado en \( \mathbb{R}^n \).
  • Ejercicio Anexo.2.2.j. Si consideremos un hipercubo \( n \)-dimensional, relleno por dentro, pero que tiene sólo la mitad de sus caras, y la otra mitad se ha quitado, demostrar que este conjunto no puede ser ni abierto ni cerrado en \( \mathbb{R}^n \).
  • Ejercicio Anexo.2.2.k. Considérese una bola abierta en \( R^n \), a la que se le han agregado algunos puntos del borde/cáscara, pero no todos. Demostrar que este conjunto así formado no puede ser abierto ni cerrado en \( \mathbb{R}^n \).
  • Ejercicio Anexo.2.2.l. Sea \( \displaystyle C \) el conjunto formado por todos los puntos \( \displaystyle (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n \) cuyas coordenadas \( x_1,x_2,\cdots,x_n \), son números racionales.
    Demostrar que \( \displaystyle C \) no es abierto ni cerrado en \( \mathbb{R}^n \).
  • Ejercicio Anexo.2.2.m. Comprobar que los conjuntos \( \displaystyle \emptyset  \) y \( \mathbb{R}^n \) son cerrados. Pista: Facilísimo.



Hagamos algunas apreciaciones más.

Toda la teoría desarrollada en este post es aplicable incluso al caso de la geometría plana.
Basta en ese caso elegir \( n=2 \), en vez del plano hablamos de \( \mathbb{R}^2 \).

¿Qué pasa si hacemos \( n=1 \)?
En ese caso lo que se obtiene es \( \mathbb{R}^1=\mathbb{R} \).

O sea, el espacio euclidiano 1-dimensional es una simple línea recta, y sobre ella misma puede establecerse un sistema de coordenadas, con una sola coordenada: la \( x \).
Algebraicamente, identificamos la geometría euclidiana 1-dimensional con el sistema de números reales \( \mathbb{R} \), lo cual nos simplifica muchos cálculos.

Los puntos de \( \mathbb{R}^1 \) son 1-uplas de la forma \( \mathbf x=(x_1) \).
Naturalmente que aquí no es necesario tanto lío de notación, puesto que tenemos una sola componente \( x_1 \), y entonces escribimos simplemente algo como \( x \).

Así, el número real \( x \), y el punto \( x \), signifacarán lo mismo para nosotros, en el contexto 1-dimensional.

¿En qué se convierten las bolas abiertas y cerradas cuando la dimensión es 1?
Respuesta: se convierten en intervalos abiertos y cerrados.
Así, la bola abierta \( B_r(x) \) es en realidad el intervalo abierto \( (x-r,x+r) \),
y la bola cerrada \( B_r(x) \) es en realidad el intervalo cerrado \( [x-r,x+r] \).

Un conjunto abierto 1-dimensional es todo aquel que puede escribirse como unión de alguna familia de intervalos abiertos.
Notemos que la intersección de dos intervalos abiertos es un intervalo abierto, o bien el conjunto vacío.




Mezclando dimensiones.

Consideremos un disco abierto en el plano \( xy \), que a su vez está contenido en el espacio euclidiano 3-dimensional.
¿Es ese disco un conjunto abierto o cerrado?

Respecto a la topología del plano \( xy \), obviamente el disco es un conjunto abierto.
Pero en el espacio 3-dimensional ese conjunto no puede ser abierto.
Veamos por qué. Si nos paramos en un punto \( \mathbf x \) cualquiera del disco, y consideramos una bola abierta de radio \( r>0 \) lo bastante pequeño como para que no se trague a buena parte del disco... vemos que necesariamente hay muchos puntos de la bola que no están en el disco.
Y eso ocurre siempre, sin importar cuánto achiquemos el radio de la bola.
El problema es que el disco es 2-dimensional, y la bola es 3-dimensional.

O sea, las bolas 3-dimensionales son demasiado "gordas" y por lo tanto algo "plano" como un disco no es capaz de tener bolas en su interior.
De esta manera, respecto a la topología de \( \mathbb{R}^3 \) el disco no es un conjunto abierto.

Esta situación ocurre siempre que consideremos un objeto inmerso en espacios de dimensión diferente.
Si sumergimos un conjunto abierto en una dimensión mayor, dejará de ser abierto automáticamente.
Esto se puede demostrar con bastante facilidad, y lo dejamos como ejerccio.

Volviendo al ejemplo del disco plano en el espacio 3-dimensional,
digamos también que ese conjunto no puede ser cerrado.
Dejamos esto como ejercicio.
Pista: demostrar que el conjunto complementario no puede ser abierto, considerando puntos del borde del disco, y tomando bolas 3-dimensionales en esos puntos: dichas bolas tendrán siempre puntos que están dentro y fuera del disco.

En general, si un conjunto no es cerrado, al sumergirlo en una dimensión mayor seguirá sin ser cerrado en la topología del espacio máyor.
Esto también se deja como ejercicio, y no es tan difícil como la "generalidad" del enunciado podría sugerir.



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12 Enero, 2010, 09:59 pm
Respuesta #9

argentinator

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Topología de los espacios vectoriales normados.

Hemos visto que los puntos/vectores de \( \mathbb{R}^n \) pueden sumarse, dando al espacio euclidiano n-dimensional una estructura algebraica. Se trata de un caso particular de espacio vectorial.
Además en \( \mathbb{R}^n \) hay una función que hemos denominado norma, que satisface la desigualdad triangular.

Cuando un espacio vectorial tiene una norma, se le llama espacio vectorial normado.
En un espacio vectorial normado \( V \), a la norma la podemos denotar con \(  |\cdots| \), aunque también suele usarse la doble bara: \( \;\left\|{\cdots}\right\| \).
En un tal \(  V \) se define la distancia entre dos elementos \(  \mathbf{u,v}\in V \) como

\( \;\textsf{dist}(\mathbf u,\mathbf v):=|\mathbf u-\mathbf v|. \)

Las mismas demostraciones hechas en los posts anteriores valen aquí, y aún en el caso más general de espacios métricos, que veremos después.
Lo que difiere es la generalidad de los espacios vectoriales normados, cuya naturaleza puede ser enormemente distinta a la de \( \mathbb{R}^n \), por ejemplo, podemos toparnos con espacios de dimensión infinita, con diferentes grados de infinitud, y la naturaleza de estos espacios puede diferir mucho de un caso al otro.

Los detalles se deben estudiar en un curso o libro de álgebra lineal.
No obstante, en el siguiente desplegable vamos a resumir lo más básico de la teoría de espacios vectoriales y de espacios vectoriales normados.

Espacios vectoriales, normas y productos internos

Un cuerpo es un quinteto \( (\mathbb{K},+,\cdot,0,1) \) conformado por un conjunto \( \mathbb{K} \), dos operaciones binarias \( + \) y \( . \) sobre \( \mathbb{K} \) y elementos \( 0,1 \) pertenecientes a \( \mathbb{K} \), tal que para cualesquiera \( a,b,c\in\mathbb{K} \) se satisfacen estas propiedades:
  • Asociativa: \( (a+b)+c=a+(b+c),\qquad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c). \)
  • Conmutativa: \( a+b=b+a,\qquad a\cdot b=b\cdot a. \)
  • Identidad: \( a+0=a,\qquad a\cdot 1= a. \)
  • Existencia de opuestos: Existe \( -a\in\mathbb{K} \) tal que \( a+(-a)=0 \).
  • Existencia de inversos: Si \( a\neq 0 \), existe \( a^{-1}\in\mathbb{K} \) tal que \( a\cdot a^{-1}=1 \).
  • Distributiva: \( (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c). \)

Los ejemplos típicos de cuerpos son el sistema de números racionales \( \mathbb{Q} \), el sistema de números reales \( \mathbb{R} \) y el sistema de números complejos \( \mathbb{C} \).
También están los cuerpos finitos \( \mathbb{F}_p \) definidos para el sistema de restos módulo \( p \), para cada primo positivo \( p \).

Se pueden generar o considerar más cuerpos no típicos, mas esto se estudia en un curso o libro de estructuras algebraicas.

Nosotros vamos a considerar en lo sucesivo, a menos que se indique lo contrario, que los cuerpos considerados son \( \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \).



Un espacio vectorial es un quinteto \( (V,\tilde +,0_V,\mathbb{K},*) \) conformado por un conjunto \( V \) una operación binaria \( \tilde + \) sobre \( V \) (si \( u,v\in V \), entonces \( u\tilde +v\in V \)), un elemento \( 0_V\in V \), un cuerpo \( \mathbb{K} \), y una operación externa \( * \) (si \( \alpha\in \mathbb{K},u\in V \), entonces \( \alpha*u\in V \)), tales que para cualesquiera \( u,v,w\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{K} \) se cumplen las siguientes propiedades:

  • Asociativa: \( (u\tilde+v)\tilde+w=u\tilde+(v\tilde +w),\qquad (\alpha\cdot\beta)*u=\alpha*(\beta* u). \)
  • Conmutativa: \( u\tilde+v=v\tilde+u. \)
  • Identidad: \( u\tilde+0_V=u,\qquad 1*u=u \) (aquí \( 1 \) es la identidad del producto en \( \mathbb{K} \)).
  • Existencia de opuesto: Existe \( -u\in\mathbb{K} \) tal que \( u\tilde+(-u)=0_V. \)
  • Distributiva: \( (\alpha+\beta)*u=\alpha*u\tilde+\beta*u,\qquad\alpha*(u\tilde+v)=\alpha*u\tilde+\alpha*v. \)

En lo sucesivo, la suma en \( V \) no se denotará más por \( \tilde+ \) sino que simplemente se escribirá \( + \). No debe confundirse con la suma en el cuerpo \( \mathbb{K} \), pero por suerte el correcto significado del signo \( + \) queda siempre claro según el contexto.
Por otra parte, el signo \( * \) tampoco se utiliza, ni ningún otro, y en su lugar se usa una mera yuxtaposición: \( \alpha u \) será lo mismo que \( \alpha*u \).

Por ejemplo, una de las igualdades anteriores quedaría expresada así:

\( \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v. \)

A los elementos de \( V \) se los llama vectores, y a los de \( \mathbb{K} \) se les dice escalares.



Intuición de las operaciones vectoriales: Para intuir el significado de las operaciones algebraicas sobre espacios vectoriales, podemos remitirnos al caso de los espacios euclidianos. En dichos espacios, hemos visto que la suma \( u+v \) equivale a una traslación paralela del vector \( v \) según el vector \( u \).
Si aplicamos esta operación a un objeto del espacio, el resultado será la traslación del objeto en forma paralela según el vector \( u \).
Por otro lado, digamos que el producto \( \alpha u \) tiene el efecto de una homotecia con centro en el origen y factor de homotecia \( \alpha \). En otras palabras, cualquier objeto en el espacio se "aumenta" proporcionalmente según un factor \( \alpha \), comenzando  las proporciones en el origen de coordenadas, que es el único punto que quedará inalterable.



Estas ideas podemos trasladarlas a un espacio vectorial cualquiera, aunque quién cómo lucen las traslaciones y homotecias en espacios vectoriales más generales.
En todo caso, aunque la geometría sea difícil de imaginar, el álgebra lineal es la misma, y permite resolver multitud de problemas, y aplicarse a un sinnúmero de áreas de la matemática.



Teorema. Todo espacio vectorial \( V \) tiene una base \( \mathcal B=\{e_k\}_{k\in I} \), esto es, un conjunto de elementos de \( V \) tales que cualquier elemento \( v\in V \) puede escribirse de una única manera como combinación lineal finita de elementos de \( \mathcal B \):

\( v=\alpha_1v_{k_1}+\alpha_2v_{k_2}+\cdots+\alpha_nv_{k_n}, \)

En la suma, los elementos \( v_{k_1},v_{k_2},\cdots,v_{k_n} \) son elementos de \( \mathcal B \), son todos distintos entre sí, y tanto ellos como los escalares \( \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \) dependen de \( v \).

Puede haber varias bases \( \mathcal B \) posibles, pero todas ellas tienen el mismo cardinal.
Se llama dimensión de \( V \) al cardinal de alguna de sus bases \( \mathcal B \).

Ejemplo: El espacio euclidiano \( n \)-dimensional \( \mathbb{R}^n \) es un espacio vectorial de dimensión \( n \).
La base típica o canónica de \( \mathbb{R}^n \) es la conformada por los vectores:

\( e_1=(1,0,0,\cdots,0),e_2=(0,1,0,\cdots,0),\cdots,e_n=(0,0,\cdots,0,1). \)

Es fácil constatar que todo vector de \( \mathbb{R}^n \) se escribe como combinación lineal de la base canónica:

\( (a_1,a_2,\cdots,a_n)=a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n. \)

La unicidad de la representación proviene de una propiedad de las bases llamada independencia lineal, cuyo estudio remitimos a un texto o curso de álgebra lineal.
Básicamente, dicha propiedad nos dice que dado cualquier hiperplano que contenga a \( n-1 \) de los vectores dados, el vector restante no pertence a dicho hiperplano.

Los vectores canónicos en \( \mathbb{R}^n \) tienen además la virtud de ser perpendiculares entre sí. Se pueden obtener espacios vectoriales con infinitos vectores perpendiculares entre sí, obteniendo una generalización geométrica del espacio euclidiano de dimensión finita a la situación de dimensión infinita. En ellos vale un teorema de pitágoras generalizado.
Esta propiedad de perpendicularidad no puede generalizarse a todos los espacios vectoriales (sólo a aquellos que posean un producto interno: ver abajo).
Sin embargo, las nociones de indendencia lineal y de base sí son generalizables, y son lo que permite dar apoyo a la noción de "direcciones espaciales independientes".



Norma: En un espacio vectorial \( V \), una norma \( \left |{\cdots}\right | \) es un funcional que satisface las siguientes propiedades:
  • Para todo \( v\in V \), se tiene que \( \left |{v}\right |=0 \) es equivalente a que \( v=0 \).
    O sea, no puede haber otros vectores en \( V \) con norma \( 0 \).

  • Desigualdad triangular: Para todo par de vectores \( u,v\in V \):

    \( \left |{u+v}\right | \leq\left |{u}\right |+\left |{v}\right |. \)

  • Para todo escalar \( \alpha \) y todo vector \( v\in V \):

    \( \left |{\alpha u}\right |=\left |{\alpha}\right |\left |{u}\right |. \)

    Aquí, \( \left |{\alpha}\right | \) denota el valor absoluto o módulo del escalar \( \alpha \).

Dados dos vectores \( \mathbf {u,v}\in V \), la resta entre ellos se define como

\( u-v:=u+(-v), \)

y la distancia entre ellos se define por:

\( \textsf{dist}(u,v)=|u-v|. \)

Dados tres vectores \( u,v,w\in V \), tenemos otra versión de la desigualdad triangular:

\( |u-w| \leq|u-v|+|v-w|. \)

En términos de distancias, esto queda expresado así:

\( \textsf{dist}(u,w) \leq\textsf{dist}(u,v)+\textsf{dist}(v,w). \)



Producto interno: Un producto interno en un espacio vectorial \( V \) es una operación \( (\cdots,\cdots) \) entre dos vectores que da como resultado un escalar, tal que para cualesquiera escalares \( \alpha,\beta \) y vectores \( u,v,w\in V \), satisface estas propiedades:
  • Linealidad en la primer variable: \( (\alpha u+\beta v,w)=\alpha(u,w)+\beta(v,w). \)
  • Hermítica: \( (u,v)=\overline{(v,u)}. \)
  • Definida positiva: \( (u,u) \geq 0. \)

Nota: en la segunda propiedad, la barra horizontal significa "conjugación compleja".
En caso de que el cuerpo de escalares no tenga conjugados, se entiende que \( \bar\lambda=\lambda \).

No todo espacio vectorial tiene un producto interno.

Sin embargo, cuando lo tiene, se puede asociar una noción de norma vinculada al producto interno, mediante:

\( |u|=\sqrt{(u,u)}. \)

Ejercicio: Demostrar que el funcional así definido es una norma.

En un espacio vectorial con producto interno se puede definir una noción de perpendicularidad, también llamada ortogonalidad.
Se dice que \( u,v\in V \) son perpendiculares u ortogonales si \( (u,v)=0. \)

En tales espacios es más cómodo trabajar con bases cuyos elementos sean todos ortogonales entre sí, y más aún, se suele exigir que la norma de cada vector sea igual a 1, para simplificar aún más los cálculos.

Los vectores de la base canónica de \( \mathbb{R}^n \) son ortogonales respecto el producto interno canónico definido por:

\( (u,v)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n, \)

donde \( u=\sum_{k=1}^n a_ke_k, v=\sum_{k=1}^n b_ke_k. \)


[cerrar]

Las demostraciones que corresponden a este post son exactamente las mismas que las de los dos posts anteriores. Aún así, las voy a repetir, pero con la notación cambiada, para irnos acostumbrando a otros contextos.

Cuando cambian las ideas, se refleja en la notación. Ver desplegable.

Otra mudanza de notación

Cuando ya nos hemos acostumbrado al trabajo en el contexto general de un espacio vectorial \( V \), podemos usar letras cursivas \( u,v,w,x,y,z \), para representar a los vectores. Ya no hace falta, digamos, poner remarcados como negritas o flechitas: \( \mathbf x, \vec v \).

A los escalares se los puede representar con letras griegas minúsculas \( \alpha,\beta,\gamma,\lambda, \) pero también se pueden usar las letras \( r,s,t \) al usar escalares como parámetros, y también las letras \( a, b, c \) pueden aparecer como coeficientes.
Las letras \( e,f \), se suelen usar para indicar vectores de una base dada.

Cuando se representa un vector en una base dada \( \mathcal B=\{e_k\}_{k\in I} \) se suele escribir algo como:

\( \displaystyle v = \sum_{k\in I} c_k e_k, \)

aclarando que sólo un número finito de los escalares \( c_k \) son distintos de \( 0 \).

El producto interno, también llamado producto escalar, en el caso de que exista en el contexto considerado, tiene varias notaciones distintas:

\( u \bullet v=u\cdot v= (u,v)=(u|v)=\left<{u,v}\right>. \)

En \( \mathbb{R}^n \) tenemos por ejemplo esta representación:

\( \displaystyle v=\sum_{k=1}^n (v \bullet e_k)e_k, \)

respecto a la base canónica \( \{e_1,\cdots,e_n\} \).
Con otra de las notaciones se vería así:

\( \displaystyle v=\sum_{k=1}^n (v , e_k)e_k, \)

[cerrar]

Ahora tomaremos como nuestro espacio \( \displaystyle X \) a un espacio vectorial normado \( V \).

Definición. Sea \(  x\in V \), y sea \( \displaystyle r>0 \).
Se define la bola abierta con centro \( x \) y radio \( \displaystyle r \) al conjunto:

\( \begin{align*}\displaystyle
  B_r(  x) := \{  y\in V:| y- x|< r\}.
\end{align*} \)

Se define la bola cerrada con centro \(  x \) y radio \( r \) como el conjunto

\( \displaystyle  \bar{  B}_r( x) := \{y\in V:|  y- x|\leq  r\}. \)

Nótese que estamos llamando a las bolas abierta y cerrada, aún antes de demostrar que son conjuntos abiertos o cerrados en alguna topología de \( V \).

Tal como hicimos para \( \mathbb{R}^n \), formaremos una familia \( \displaystyle \tau  \)  de subconjuntos de \( \displaystyle X=V \) de la siguiente manera:
Diremos que un conjunto \( \displaystyle A\subset V \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \) si, y sólo si, el conjunto \( \displaystyle A \) es el vacío o bien puede escribirse como la unión de alguna familia de bolas abiertas de \( V \). En símbolos:


\( \begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset V| A=\emptyset\textsf{\ ó \ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}: A = \bigcup_{\iota\in I} N_\iota
     \textsf{\ y\ }   \forall{\iota\in I}
    \big[\exists{}{ x\in V,r>0}: N_\iota = B_r( x)
              \big]
 \Big\}
\end{align*} \)


Veamos algunos ejemplos de elementos que están en la familia \( \displaystyle \tau  \).

Como la unión de una bola abierta \( \displaystyle B_r(x) \) consigo misma es trivialmente una unión de bolas abiertas, se deduce enseguida que toda bola abierta es un elemento de \( \displaystyle \tau  \).
También, uniones finitas o infinitas de cualesquiera bolas abiertas están en \( \displaystyle \tau  \).
Y más aún, todos los elementos no vaciós de \( \displaystyle \tau  \) son de esta forma...



Ahora debemos probar que la familia \( \displaystyle \tau \) es una topología para el espacio vectorial normado \( V \).
La demostración es la misma que la del caso euclidiano.
¿Qué cambia? Sólo terminología y notación.
En todo lugar que diga \( \mathbb{R}^n \) lo reemplazamos por V.
En vez de \( \mathbf{x,y,z} \), escribimos ahora \( x,y,z \), y así por el estilo.
Pero en todos los casos, tenemos una suma/resta de vectores que funciona igual, y una norma o módulo que satisface la desigualdad triangular.
A los fines de la demostración, al dejar los signos \( |\cdots| \) tal como están, se sigue obteniendo una demostración válida.

Vamos a repetir por tercera vez las pruebas hechas antes, pero con la mudanza pertinente de notación, y aprovechando a escribir todo un poco más breve.

Proposición. La familia \( \displaystyle \tau  \) es una topología sobre \( V \).

Demostración. De nuevo, basta comprobar los 4 axiomas de topología.

Comprobación del Axioma 1 (abrir desplegable para ver detalles)
Por mera definición de \( \tau \), tenemos \( \emptyset\in \tau \).
[cerrar]

Comprobación del Axioma 2 (abrir desplegable para ver detalles)
Debemos demostrar que el conjunto total \( V\in\tau \).

La familia de todas las bolas abiertas de \( V \) se puede denotar así:

\( \displaystyle \{B_{r}(x)\}_{(x,r)\in V\times \mathbb R^+}. \)

Definamos:

\( \displaystyle U:=\bigcup_{( x,r)\in V\times \mathbb R^+} B_r( x). \)

Tenemos que probar \( \displaystyle V=U \).
Sea \(  x\in V \).
Dado \( \displaystyle r> 0 \), vale \( \displaystyle B_r(x)\subset U \). En símbolos:

\( \displaystyle\forall{r>0}:( B_r(x)\subset U) \)

Además, como \( 0= | x- x|< r \), esto implica que \( x\in\displaystyle B_r( x) \).
Pero como \(  B_r(x)\subset U \), resulta \(  x\in U \).

Hemos probado que \( \forall{  x}:(x\in V\Longrightarrow{ x\in U}) \).
Esto equivale a \( V\subset U \).
La recíproca \( U\subset V \) es trivial.
Conclusión: \( V=U \).

Luego \( V \) se ha escrito como unión de bolas abiertas, y así \( V\in\tau \).

[cerrar]

Comprobación del Axioma 3 (abrir desplegable para ver detalles)

Considerar una familia arbitraria \( \displaystyle \{A_\iota\}_{\iota \in I}\subset\tau  \).
Escribamos
\( \displaystyle A=\bigcup_{\iota\in I} A_\iota. \)

Debemos probar que \(  A\in\tau  \).

Sea \( \displaystyle \iota \in I \).
Como \( A_\iota \in\tau  \), existen una familia de bolas abiertas  \( \{N^\iota_{\eta}\}_{\eta \in H_\iota } \) tales que para cada \( \iota\in I \):

\( \displaystyle A_\iota=\bigcup_{\eta\in H_\iota}N^\iota_\eta. \)

Construimos el conjunto de índices:

\( J=\{(\iota ,\eta ):\iota \in I, \eta \in H_\iota \}. \)

Definimos:

\( \displaystyle W=\bigcup_{(\iota ,\eta )\in J} N^\iota_\eta . \)

Claramente \( \displaystyle W\in\tau  \) por ser unión de una familia de bolas abiertas.
Ahora se debe probar que \( A=W \), con lo cual tendríamos que \( A\in\tau \). Veamos:

Sea \( x\in A \).
Como \( \displaystyle A=\bigcup _{\iota \in I}A_\iota  \), existe \( \iota \in I \) tal que \(   x\in A_\iota  \).
Fijemos uno de esos valores \( \displaystyle \iota  \).
Como \( \displaystyle A_\iota =\bigcup _{\eta \in H_\iota } N^\iota _\eta  \), existe \( \displaystyle \eta  \in H_\iota  \) tal que \( x\in N^\iota_\eta \).
Por lo tanto, existe \( (\iota ,\eta )\in J \) tal que \(  x\in N^\iota _\eta \).
Esto implica
\( \displaystyle x\in\bigcup _{(\iota ,\eta )\in J}N^\iota _\eta=W. \)

Hemos probado que \( \forall{ x}:( x\in A\Longrightarrow{ x\in W}) \). Por lo tanto \( \displaystyle A\subset  W \).

Con ideas parecidas uno podría demostrar que \( \displaystyle W\subset  A \).
Dejamos esto como un ejercicio.

Y así se obtiene lo deseado: \( A=W \).

[cerrar]

Comprobación del Axioma 4 (abrir desplegable para ver detalles)

Vamos a cambiar el orden de los pasos en esta demostración, acorde a la experiencia obtenida antes. Primero probaremos este resultado auxiliar:

Lema: Sean \( B_r(x), B_s(y) \) dos bolas abiertas en \( V \). Su intersección \( E=B_r(x)\cap B_s(y \)) está en \( \tau \).

Demostración:
Sea \(  z\in E \).
Como \(  z \in B_r(x)\cap B_s(y) \), se tiene: \( | z- x|< r,|z-y|< s. \)

En particular, \( \displaystyle r-| z- x| \) y \( \displaystyle s-|z-y| \) son positivos.
Ahora definamos el número positivo

\( \xi_{ z} = \min\big\{r-| z- x|,s-| z- y|\big\}. \)

Vamos a demostrar \( \displaystyle B_{\xi _{ z}}(z)\subset E \).
En efecto, sea \(  p\in B_{\xi _{z}}(z) \).
Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos:

\( \begin{align*}\displaystyle
| p- x|&\leq | p- z|+| z- x| < r\\
| p- y|&\leq | p-z|+| z-y| < s.
\end{align*} \)

Por lo tanto \( p\in B_r(x)\cap B_s(y)=E \).
Resumiendo: \( \displaystyle B_{\xi _{ z}}(  z)\subset E \).
Como esto puede hacerse para todo punto \(  z\in E \), se tiene que:

\( \displaystyle \bigcup_{  z\in E}B_{\xi _{ z}}(  z)\subset E. \)

La inclusión recíproca es trivial, y así concluimos que \( \displaystyle E=\bigcup_{z\in E}B_{\xi _{z}}( z) \), pero entonces \( \displaystyle E \) es unión de bolas abiertas.

Esto prueba el Lema.



Ahora pasamos a la comprobación del Axioma 4.

Sean \( \displaystyle A,B\in\tau  \).
Debemos comprobar que \( \displaystyle A\cap  B \in\tau  \).

Como \( \displaystyle A,B\in \tau  \), existen sendas familias de bolas abiertas \( \displaystyle \{M_i \}_{i \in I} \) y \( \displaystyle \{N_j \}_{j \in J} \) en \( V \), tales que

\( \displaystyle A=\bigcup_{i \in I} M_i,\qquad   B=\bigcup_{j \in J} N_j. \)

Calculamos:

\( \begin{align*}\displaystyle
  A\cap  B
    &=\Big(\bigcup_{i \in I} M_i \Big)\cap \Big(\bigcup_{j \in J} N_j \Big)
     =\bigcup_{i\in I}\bigcup_{j\in J} (M_i\cap N_j).
\end{align*} \)

Por el Lema probado al principio de este desplegable, tenemos que \( M_i\cap N_j \) pertenece a \( \tau \) para todo par de índieces \( i\in I, j\in J \).
Esto demuestra que \( A\cap B \) es unión de elementos de \( \tau \), y por lo visto en el desplegable anterior, esto implica que \( A\cap B\in \tau \).

Esto culmina la comprobación de que se cumple el Axioma 4.

[cerrar]



Ahora que hemos probado que \( \displaystyle \tau  \) es una topología,
podemos hablar de sus elementos como los conjuntos abiertos de la topología correspondiente.

Demos también el criterio para detectar conjuntos abiertos en un espacio vectorial normado \( V \).

Criterio. Un conjunto \(  A\subset V \) es abierto si, y sólo si, para cada \(  y\in A \) se puede hallar algún  \( \displaystyle r_{ y}>0 \) tal que la bola abierta \( \displaystyle B_{r_{ y}}(  y)\subset A \).
Es decir, hay al menos una bola abierta centrada en \( y \) completamente contenida en \( \displaystyle A \).

Demostración (abrir desplegable)
Como \( \displaystyle A \) es abierto, existe una familia de bolas abiertas \( \{B_{r_\iota}(x_\iota)\}_{\iota_\in I} \) tal que

\( \displaystyle A=\bigcup_{\iota \in I}B_{r_\iota }(  x_\iota ). \)

Sea  \(  y\in A \).
Existe \( \iota \in I \) tal que \(  y\in B_{r_\iota }(  x_\iota ) \).
Así, ambos números \( \displaystyle | y- x_\iota|,r_\iota -| y- x_\iota| \) son positivos y menores que \( \displaystyle r_\iota  \).
Definamos
\( \displaystyle s=r_\iota-| y-x_\iota |.  \)

Afirmamos que \( B_s(  y)\subset A \).
En efecto, si \(   z\in B_s(  y) \), entonces \( |  z- y|< s \), y aplicando desigualdad triangular:

\( |  z- x_\iota|\leq |  z-  y|+| y- x_\iota |< r_\iota . \)

Luego \(   z\in B_{r_\iota }( x_\iota ) \). Por lo tanto:

\(  B_s( y)\subset B_{r_\iota }( x_\iota )\subset A  \).



Recíprocamente, sea \( A \) tal que:

\( A\in\Big\{C:\forall{ y\in C}\big(\exists{r_{y}>0}: B_{r_  y}( y)\subset C\,\big)\Big\}. \)

O sea, \( A \) es un conjunto tal que en cada uno de sus puntos hay una bola abierta centrada en el punto contenida completamente en \( A \). Claramente:

\( \displaystyle\bigcup_{ y\in A}B_{r_  y}(  y) \subset A. \)

La inclusión recíproca se prueba de modo trivial. Luego:

\( \displaystyle\bigcup_{  y\in A}B_{r_{  y}}(  y) = A. \)

Esto prueba que \( A \) es abierto.

[cerrar]



Como siempre, se puede demostrar que una bola abierta es un abierto en la topología \( \tau \).
Y también una bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología \( \tau \).



Ejemplos.

¿Espacios euclidianos de dimensión infinita?

¿Es posible que exista un espacio euclidiano de dimensión infinita? ¿Qué significaría eso?
Hay muchas alternativas, pero analicemos la más natural: pasar de las listas ordenadas de \( n \) números reales a las sucesiones de números reales.
Consideremos el conjunto \( S \) formado por todas las sucesiones de números reales:

\( S=\{\mathbf x:\mathbf x =(x_k)_{k=1}^\infty\}. \)

Nos preguntamos si en \( S \) puede valer algo como el teorema de pitágoras.
La situación no es tan simple, porque para que un espacio sea "euclidiano" tiene que haber nociones de paralelismo y perpendicularidad. O al menos, esa es la idea.

En un espacio euclidiano de dimensión \( n \), la noción de perpendicularidad puede establecerse a partir del funcional producto interno, dado por:

\( \left<{\mathbf x,\mathbf y}\right>=x_1y_1+\cdots+x_ny_n. \)

Luego, los vectores \( \mathbf x,\mathbf y \) son perpendiculares si, y sólo si, \( \left<{\mathbf x,\mathbf y}\right>=0 \).

Al pasar a dimensión infinita, tenemos que definir un producto interno ya no mediante una suma, sino por medio de una serie:

\( \displaystyle\left<{\mathbf x,\mathbf y}\right>=\sum_{k=1}^\infty x_ky_k. \)

Y he ahí que nos topamos con nuestro primer problema: una suma infinita puede que no tenga un resultado definido, o bien que tienda a infinito. En esos casos se dice que la serie no es convergente.
En otros casos la serie puede converger...
Pero la gran verdad aquí es que el espacio \( S \) de todas las sucesiones de números reales es demasiado grande.

Tendremos que conformarnos con un espacio más pequeño, en donde todo esté bien definido.
¿Qué tan pequeño? Bueno, para determinar esto podemos observar la relación de Cauchy-Shwartz, la cual nos dice lo siguiente, acerca del valor absoluto del producto interno, siempre que éste sea finito, o sea, cuando su serie converja:

\( |\displaystyle\left<{\mathbf x,\mathbf y}\right>|\leq \sqrt{\sum_{k=1}^\infty x_k^2}\cdot\sqrt{\sum_{k=1}^\infty y_k^2}. \)

Del lado derecho las componentes de los vectores \( \mathbf x,\mathbf y \) ya están algo "desenredadas", y es más claro elegir un criterio a partir de ahí.

Lo que exigiremos es que las raíces cuadradas del lado derecho sean finitas.
Pero esto equivale a exigir que las sumatorias \( \sum_{k=1}^\infty x_k^2,\sum_{k=1}^\infty y_k^2 \) sean finitas. Los términos de estas series son números positivos, así que no nos importa el signo de las componentes individuales, sino sólo su "tamaño".
Recordemos que las series de números positivos, o bien convergen a un número finito, o bien tienden a infinito.
No hay lugar a comportamientos extraños o intermedios, lo cual simplifica nuestro criterio de búsqueda.

Formemos pues el conjunto \( X \) de todas aquellas sucesiones \( \mathbf x=(x_k)_{k=1}^\infty \) de números reales tales que \( \sum_{K=1}^\infty \) es convergente (o sea, tiende a un número finito).
Ciertamente, hay elementos del gran conjunto \( S \) que no pertenecen a \( X \), como por ejemplo la sucesión \( (x_k)_{k=1}^\infty \) formada por puros 1's: \( x_k=1 \), todo \( k \).
En \( X \) están todas aquellas sucesiones tales que la sucesión de sus cuadrados tiene asociada una serie convergente.

Se puede demostrar ahora que el producto interno entre elementos cualesquiera de \( X \) es siempre finito, o sea, su serie es convergente. Veamos:
Si \( \mathbf x,\mathbf y\in X \), entonces \( \sum_{k=1}^\infty x_ky_k \) es una serie absolutamente convergente, ya que la serie de valores absolutos \( \sum_{k=1}^\infty |x_ky_k| \) está acotada por una cantidad finita:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty |x_ky_k|= \sum_{k=1}^\infty |x_k||y_k|\leq  \sqrt{\sum_{k=1}^\infty x_k^2}\cdot\sqrt{\sum_{k=1}^\infty y_k^2}, \)

que es finito por hipótesis.

Este funcional \( \left<{\cdots,\cdots}\right> \) en \( X \) satisface las propiedades algebraicas que suelen exigirse a un producto interno: lineal, hermítico, definido positivo.
Y podemos ahora andar tranquilos con la definición de perpendicularidad en este espacio, a través de la condición:

\( \left<{\mathbf x,\mathbf y}\right>=0. \)

Pero en un espacio vectorial con producto interno, se puede definir una norma, mediante:

\( \displaystyle\|\mathbf x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty x_k^2}. \)

La desigualdad de Cacuhy-Schwartz puede expresarse ahora así:

\( \left |{\left<{\mathbf x,\mathbf y}\right>}\right |\leq \|x\| \|y\| \)

Este funcional tiene todas las propiedades de una norma (ver detalles en el spoiler hacia el inicio del post).
Por lo tanto, \( X \) es un espacio vectorial normado, que además tiene un producto interno.
Este espacio vectorial tiene dimensión infinita.
Una prueba de ello es que la familia de vectores \( \mathcal E=\{\mathbf e_k\}_{k=1}^\infty \), tal que \( \mathbf e_k \) es el vector con un 1 en la \( k \)-ésima posición y 0's en todas las demás, es un conjunto linealmente independiente.
En efecto, toda vector que sea combinación lineal finita de ellos igualada a 0, debe ser el vector \( \mathbf 0=(0,0,0,\cdots) \).
Si hubiese una base finita de \( X \), digamos de \( m \) elementos, los vectores de \( \mathcal E \) podrían escribirse como combinación lineal finita de dicha base.
Se puede demostrar en la teoría de espacios vectoriales que esto no es posible: el cardinal de un conjunto linealmente independiente es siempre menor o igual que el cardinal de la (una) base... pero no entramos en más detalles.

Tampoco forman ellos, los elementos de \( \mathcal E \), una base, debido a que no todo vector puede representarse sumando un número finito de ellos. Por ejemplo, considere el vector \( (2^{-k})_{k=1}^\infty \).
Una base podría generarse mediante un proceso recursivo transfinito, seleccionando uno a uno nuevos vectores linealmente independites... Pero eso lo dejamos para otra ocasión.

Hay aquí un concepto alternativo de "base" que es más útil. Se trata de las "bases de Schauder".
Un conjunto linealmente independiente \( \{\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots\} \) de vectores es una base de Schauder si todo vector puede aproximarse en norma mediante combinaciones lineales finitas de esos vectores:

\( \displaystyle\lim_{N\to\infty}\left\|\mathbf x-\sum_{k=1}^N c_k\mathbf b_k\right\|=0. \)

En este sentido, el conjunto \( \mathcal E=\{\mathbf e_k\}_{k=1}^\infty \) es una base de Schauder, lo cual es muy fácil de demostrar. (Ejercicio).

Ahora bien. La distancia entre dos puntos del espacio \( X \) puede definirse como la norma de su resta, como de costumbre.
Y esto no es otra cosa que una generalización del Teorema de Pitágoras a dimensión infinita:

\( \displaystyle\|\mathbf x- \mathbf y\|=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty (x_k-y_k)^2}. \)

Hemos logrado nuestro objetivo de obtener un espacio euclidiano infinito-dimensional.

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