[andrewcraig]

Hola chicos,

Voy a lanzar este problema porque ya me ha consumido mucho tiempo y no logro una buena demostración:

Demostrar que en un triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de la altura y de la bisectriz correspondientes a el ángulo recto es igual o menor que la longitud de la hipotenusa.¿Cuando se cumple la igualdad?

[aladan]

Hola andrewcraig

Bienvenido al foro.
Observa el gráfico

Spoiler

[cerrar]

Por el teorema de la altura sabemos

                              \( AD^2=CD\cdot{DB} \)(1)

Por Pitágoras sabemos que la bisectriz \( AE \) satisface

                             \( AE^2=AD^2+DE^2 \)(2)

(1) + (2)
                   \( AD^2+AE^2=2CD\cdot{DB}+DE^2<CB^2=(CD+DB)^2=CD^2+2CD\cdot{DB}+DB^2 \)

Saludos
                               

[andrewcraig]

Aladán muchas gracias!

Yo intuía que se podía hacer así en pocas lineas, pero no daba con el asunto.

Felicidades y te agradezco mucho