Se puede resolver por varios métodos. Aquí en primer lugar hallaremos el equivalente Thevenin del circuito que ve la bobina, circuito (1) de la imagen. Aplicamos "divisor de tensión" y obtenemos
\( U_{th}=10 \dfrac{R_2}{R_1+R_2}=10\dfrac 4{4+4} \)
\( U_{th}=5 \, V \)
Cortocircuitamos la fuente de tensión de 10 V en el circuito (1) para calcular la resistencia de Thevenin
\( R_{th}=R_3+(R_1 \vert \vert R_2)=8+(4 \vert \vert 4) \)
\( R_{th}=10 \, \Omega \)
Aplicamos el equivalente de Thevenin a la bobina, circuito (2) de la imagen
\( U_{th}=R_{th} i_3 + L \dfrac{di_3}{dt} \)
\( 5=10 i_3 + 1 \dfrac{di_3}{dt} \)
Ecuación diferencial lineal de primer orden que coincide con la que había obtenido @mrscad
Separamos variables:
\( dt=\dfrac{di_3}{5-10i_3} \)
Integramos ambos miembros y despejamos la corriente:
\( i_3(t)=\dfrac 1 2 +C e^{-10 t} \)
Para calcular la constante de integración imponemos la condición inicial \( i_3(0)=0 \) y obtenemos
\( \boxed{i_3(t)=\dfrac 1 2 (1-e^{-10 t})} \)
El paso siguiente es calcular la tensión U en el nudo mirando el circuito completo (3) en la imagen
\( U=8 i_3 + 1 \dfrac{di_3}{dt} \)
Derivamos la corriente:
\( \dfrac{di_3}{dt}=5 e^{-10 t} \)
Calculamos la tensión
\( U=\dfrac 8 2 (1-e^{-10 t}) + 5 e^{-10 t} \)
\( U=4 + e^{-10 t} \)
Calculamos la corriente que pasa por la fuente de tensión (que es la misma que pasa por el interruptor que pide el enunciado) :
\( i_1=\dfrac{10-U}{R_1} \)
\( i_1=\dfrac{10-(4 + e^{-10 t})}4 \)
\( \boxed{i_1(t)=\dfrac 3 2-\dfrac{e^{-10t}}4} \)
Saludos.
