Hola
Veamos si lo entiendo bien.
Tienes dos puntos \( A=(a,b),B=(c,d) \) y un radio \( r \) y quieres hallar una función:
\( f:[0,1]\longrightarrow{}R^2 \)
que paramatrice el arco de circunferencia de extremos \( A,B \) y radio \( r \).
Para falicitar las cuentas primero vamos con una versión simplificada del problema. Suponemos que el punto medio de \( A \) y \( B \) está sobre el eje \( X \) positivo.
Entonces los puntos son \( A=(a,-b) \) y \( B=(a,b) \). El centro del la circunferencia está en un punto \( (p,0) \) verificando:
\( \sqrt{(a-p)^2+b^2}=r^2 \) de donde
\( p=a\pm \sqrt{r^2-b^2} \)
La ecuación del arco sera entonces:
\( f(t)=(p+r\,cos((2t-1)\,arcsin(b/r)),r\,sin((2t-1)\,arcsin(b/r)) \)
Para la versión sin simplificar transformaremos un problema cualquiera en el anterio con un giro y luego deshacemos el giro.
Dados \( A \) y \( B \) cualesquiera tomamos el punto medio:
\( M=\dfrac{A+B}{2}=(n,m) \)
Entonces hacemos un giro que nos coloque el punto \( M \) en el eje de las \( X \) positivo.
Podemos hacerlo multiplicando todos los datos como vectores columna por la matriz de giro:
\( \dfrac{1}{\sqrt{n^2+m^2}}\begin{pmatrix}{n}&{m}\\{-m}&{n}\end{pmatrix} \)
Luego el resultado de f(t) lo multiplicamos por la inversa de esa matriz:
\( \dfrac{1}{\sqrt{n^2+m^2}}\begin{pmatrix}{n}&{-m}\\{m}&{n}\end{pmatrix} \)
Saludos.
