[raziel_mlt]

Hola de nuevo espero puedan ayudarme con un problema de probabilidad, no logro resolverlo , es el siguiente :

Tres personas \( P, Q, R \) colocan doce fichas en una urna, 4 de ellas son blancas y 8 negras. Juegan sacando por turnos una ficha al azar de la caja, reemplazándola después y con la condición de que el primero que saque una ficha blanca gana el juego. Suponiendo que el primer turno es de \( P \), el segundo de \( Q \) y el tercero de \( R \), calcule las probabilidades que cada jugador tiene de ganar.

Lo que he hecho es dividir el experimento en dos sucesiones una finita, \( (F,...,F,E) \) formada por fracasos y al final un exito y otra infinita solo formada por fracasos
\( (F,...,F,F...) \).A la primera sucesion la he llamado \( w_n \) ,entonces su probabilidad quedaria:

\( p(w_n)= p(1-p)^{n-1} \)

y como es sigma aditiva las probabilidades segun yo quedarian asi :

\( P(A)= \sum_{k=0}^\infty p(w_{k+1}) \)

\( P(B)= \sum_{k=0}^\infty p(w_{k+2}) \)

\( P(C)= \sum_{k=0}^\infty p(w_{k+3}) \)


y aqui es hasta donde llego no se si estoy bien en mi definicion y como obtener esas probabilidades .

espero puedan orientarme

desde ya mil gracias¡

[Luis Fuentes]

Hola

 En realidad no está del todo mal tu idea. Pero no sé para que utilizas la sucesión sólo de fracasos.

 Olvídemonos de quien va sacando las fichas por un momento; lo que es cierto es que la probabilidad de que se gane (se saque una blanca) en el intento enésimo es:

 \( P(w_n)=p(1-p)^{n-1} \) con \( p=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3} \)

Ahora simplemente fíjate en que:

\(  P(A)=P(w_1)+P(w_4)+P(w_7)+\ldots=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}P(w_{3k+1})=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}p(1-p)^{3k} \)

\(  P(B)=P(w_2)+P(w_5)+P(w_8)+\ldots=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}P(w_{3k+2})=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}p(1-p)^{3k+1} \)

\(  P(C)=P(w_3)+P(w_6)+P(w_9)+\ldots=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}P(w_{3k+3})=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}p(1-p)^{3k+2} \)

 Para completar los cálculos nota que son todas progresiones geométricas de razón \( (1-p)^3 \).

Saludos.

[raziel_mlt]

Hola el_manco pues he llegado hasta aqui:


\( P(A)= \sum_{k=0}^\infty p(w_{3k+1})= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{3k} \)

\( P(B)= \sum_{k=0}^\infty p(w_{3k+2})= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{3k+1} \)

\( P(C)= \sum_{k=0}^\infty p(w_{3k+3})= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{3k+2} \)

Solo tengo una duda que valor debe tener \( k \) para llegar al resultado 

Te agradezco mucho el tiempo que tomas para ayudarme ¡¡

[Luis Fuentes]

Hola

 \( k \) va desde cero hasta infinito.

 ¿Entiendes lo que significa un sumatorio?

 Insisto en que sólo tienes que saber como sumar series geométricas.

 Inténtalo una vez más.

Saludos.

[raziel_mlt]

Listo gracias