[Joaquin_mx]

Hola.

Tengo una duda de cómo obtener los parámetros o números directores de la ecuación de la tangente a una curva de intersección de dos superficies:

\( F(x,y,z)=0 \) y \( G(x,y,z)=0 \)

entonces las ecuaciones de la tangente en un punto \( P(x_1,y_1,z_1) \) se escriben así:

\( \displaystyle\frac{x-x_1}{A}=\displaystyle\frac{y-y_1}{B}=\displaystyle\frac{z-z_1}{C} \)

Los parámetros A,B,C se supone que son los siguientes y esto es lo que no sé de dónde sale...

\( A=\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1 \)

\( B=\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1 \)

\( C=\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1 \)

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si contestas y relacionas estas preguntas, quizá deduzcas algo:

 1) ¿Sabes cuál es la ecuación del plano tangente en un punto de una superficie dada su ecuación implícita:

\(  F(x,y,z)=0 \)?

 2) La expresión de A, B y C ¿no te recuerda al desarrollo de un cierto determinante por una fila?.

 3) ¿Sabes qué es y cómo se calcula el producto vectorial?

Saludos.

[Joaquin_mx]

Hola el_manco

A veces se topa uno en los libros con cosas que ni idea de donde vienen y las dejan caer asi de sopetón y ahí es donde la marrana torció el rabo...

Con lo que me dices:

1 las ecuaciones implicitas de los planos tangentes en un punto.

\( \left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\,(x-x_1)\,+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\,(y-y_1)\,+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\,(z-z_1)=0 \)

\( \left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1\,(x-x_1)\,+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1\,(y-y_1)\,+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1\,(z-z_1)=0 \)

2 .Resolviendo el producto vectorial.

\( \left|{\begin{matrix}{(x-x_1)}&{(y-y_1)}&{(z-z_1)}\\{\left ({\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right )_1}&{\left ({\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right )_1}&{\left ({\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right )_1}\\{\left ({\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right )_1}&{\left ({\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right )_1}&{\left ({\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right )_1}\end{matrix}\right| \)

y del producto un plano Normal.

\( \left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1\,(x-x_1)\, \)\( +\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1\,(y-y_1)\,+... \)

\( ...+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1\,(x-x_1)=0 \)

o \( A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1) \)

y asi ya me es evidente de donde viene...

muchas gracias el_manco, una vez mas me has sacado del hoyo...

un saludo.