[pepe250]

Buenos días a todos,

a ver quien me echa una mano en este ejercicio:

Veintitres años después del accidente del Chernobyl, se mide la radiaoctividad ambiental en cuatro puntos diferentes (norte, sur, este y oeste) del perímetro de la central.
¿De cuántas maneras diferentes puede ocurrir que la radioactividad media en estos cuatro puntos sea 7 radiaciones por minuto? ( el dosímetro sólo considera cantidades enteras de radioactividad).

Saludos.

[Fernando Revilla]

Designando por \( x_n,x_s,x_e,x_o \) a las radioactividades en los cuatro puntos cardinales, se ha de cumplir:

\( \displaystyle\frac{x_n+x_s+x_e+x_o}{4}=7 \)

Es decir hay que hallar las distintas maneras de descomponer el número \( 28 \) como suma de cuatro enteros no negativos importando el orden. Este concepto se llama composición (en este caso del número \( 28 \) en cuatro sumandos).

La fórmula general para las composiciones de un entero positivo \( n \) en suma de \( k \) enteros positivos es \( c(n,k)=\binom{n-1}{k-1} \). Por ejemplo, las composiciones de \( 5 \) en dos sumandos son:

\( 4+1,\;3+2,\;2+3,\;1+4 \)

es decir, \( c(5,2)=\binom{4}{1}=4 \). Ten en cuenta que no se consideran las composiciones \( 4+0,\;0+4 \). Espero que con todo esto puedas terminar el problema.

Saludos.   

[pepe250]

Gracias Phidias.

Entonces sería:

El número 28 tendríamos que hacer la composición entre los cuatro sumandos enteros no negativos (\( x_n+x_s+x_e+x_o \)):

\( c(n,k)=c(n-1,k-1) \) que en nuestro ejemplo sería  \( c(28,4)=c(27,3)=2925 \)

Sería así? aquí donde aplicaríamos el principio de inlcusión-exclusión?

Saludos.

[Fernando Revilla]

El problema estaría terminado si cada una de las variables \( x_n,x_s,x_e,x_o \) toma valor \( \geq{1} \). Ahora bien, según está redactado nada induce a pensar que alguna variable no pueda tomar el valor \( 0 \). En tal caso, tendrías que sumar al número de casos hallados, los siguientes:

(i) En exactamente uno de los puntos cardinales (por ejemplo en el Norte) la radiación es cero  El número de composiciones sería \( c(28,3)=\binom{27}{2} \). Como hay cuatro puntos cardinales, tendríamos en total \( 4\cdot{\binom{27}{2}} \).

(ii) En exactamente dos de los puntos cardinales (por ejemplo en el Norte y Oeste) la radiación es cero  El número de composiciones sería \( c(28,2)=\binom{27}{1} \). Como hay \( \binom{4}{2} \) pares de puntos cardinales, tendríamos en total \( \binom{4}{2}\cdot{\binom{27}{1}} \).

Es fácil continuar.

Saludos.

[pepe250]

Hola Phidias ,

gracias de nuevo por tu ayuda.

Yo llego a la conclusión que sería así:

\( \displaystyle\binom{27}{3} \) + 4\( \displaystyle\binom{27}{2} \)+ \( \displaystyle\binom{4}{2} \)\( \displaystyle\binom{27}{1} \) + \( \displaystyle\binom{4}{3} \) \( \displaystyle\binom{27}{0} \)  = 2925+1404+162+4

El primer sumando es:

c(28,4)=\( \displaystyle\binom{27}{3} \)=2925

Sería así?

Gracias y saludos.

El segundo y tercer sumando los calculaste tú.

Y el último sumando, es basandome en que en tres puntos de los cuatro puntos cardinales es 0.  Con lo cual, sólo nos queda uno sin ser 0, composición es:

c(28,1)=\( \displaystyle\binom{27}{0} \)

Como hay \( \displaystyle\binom{4}{3} \) puntos cardinales que son 0.

\( \displaystyle\binom{4}{3} \)\( \displaystyle\binom{27}{0} \)

[Fernando Revilla]

Todo correcto.

Saludos.

[pepe250]

Gracias poer todo.

Saludos.
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