[incógnita_j]

Gran problema de la geometría Euclídea, lo vuelvo a sacar a la luz. Bonito y muy interesante. La solución no es muy evidente.

Sean los triángulos AOB y DOC rectángulos (sentido directo) e isósceles en O.
Sea I el punto medio de [DB]
Demostrar que las rectas (IO) y (AC) son perpendiculares.

Pistas de resolución:
Utilizando complejos.
Utilizando producto escalar.
Utilizando transformaciones en el plano.

¡Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

 Introduciendo coordenadas es inmediato. Pero sería más bonito una demostración sin utilizar coordenadas ni sucedáneos, sino con propiedades clásicas de geometría (semejanza de triángulos p.ej). Eso requiere un buen dibujo.

 El señor Joaquin_mx ha presentado aquí grandes dibujos de construcciones mucho más complejas. Le invito una vez más a ilustrar el problema.

Saludos.

[incógnita_j]

Por supuesto, cuando no se establecen coordenadas en el enunciado, no hay que hacerlo, simplemente por elegancia, si no toda la geometría pierde su gracia. En mi libro de matemáticas aparece tres veces (como se aburren...): una en el capítulo de complejos, otra en el de similitudes y otra en el de producto escalar (en el que estoy ahora). Usando complejos no es muy difícil llegar si sabes por donde van los tiros, en el caso de similitudes, es sintético y escueto y bien fundado. Usando el producto escalar es un poco más tedioso, pero más "clásico".
¡Saludos!

[teeteto]

Yo creo que ni siquiera hay que emplear semejanza de triángulos...salen unos hermosos triángulos isósceles por allí que facilitan mucho el trabajo.

Saludos

[Joaquin_mx]

el_manco, creo que voy a deber la ilustración, la verdad no interpreto del todo el enunciado, tengo una idea vaga muy simple, que por lo mismo creo que no es correcta, no se si tenga que ver con lo dicho por teeteto de los isosceles...son dos?

saludos.

p.d. me gustaría que nuestro amigo incógnita_j nos (me) regalara un cróquis.

[Luis Fuentes]

Hola

 Me "disfrazo" de Joaquin_mx:



Saludos.

[incógnita_j]

Ahí está, perfectamente graficado. Es un ejercicio bonito la verdad. ¿Quién se anima? Yo esta noche publicaré la primera demostración (bueno, tendreis que darle el visto bueno). Utilizaré nociones de producto escalar... si alguien aún anda perdido, que no mire la demostración (no se como ocultarla), pero es que me apetece ya publicarla jaja. No sé a vosotros, a mi me costó lo suyo... pero al final conseguí resolverlo de las dos primeras maneras, la tercera aparecía resuelta y la verdad es que es bastante espectacular...
¡Saludos!

[incógnita_j]

Demostremos que las rectas (IO) y (AC) son perpendiculares.
Tenemos:
\( \vec{OI}.\vec{AC}\\
=\displaystyle\frac{1}{2}(\vec{OB}+\vec{OD}).(\vec{AO}+\vec{OC})\\
=0,5(\vec{OB}.\vec{AO}+\vec{OB}.\vec{OC}+\vec{OD}.\vec{AO}+\vec{OD}.\vec{OC})\\ \)

Pero OAB yODC son rectángulos en O, por ello:
\( \vec{OI}.\vec{AC}\\
=0,5(0+\vec{OB}.\vec{OC}-\vec{OD}.\vec{OA}+0)\\
=0,5(\vec{OB}.\vec{OC}-\vec{OD}.\vec{OA})\\
=0,5(OB.OC.\cos(\vec{OB};\vec{OC})-OD.OA.\cos(\vec{OA};\vec{OD})) \)

Tenemos:
\(
(\vec{OB};\vec{OC})=(\vec{OB};\vec{OD})+(\vec{OD};\vec{OC})=(\vec{OB};\vec{OD})+\pi/2\\
(\vec{OA};\vec{OD})=(\vec{OA};\vec{OB})+(\vec{OB};\vec{OD})=(\vec{OB};\vec{OD})+\pi/2\\ \)

Por ello, \( (\vec{OB};\vec{OC})=(\vec{OA};\vec{OD})=\alpha\\ \)

Volviendo al producto escalar:
\( \vec{OI}.\vec{AC}=0,5(OB.OC.\cos\alpha-OD.OA.\cos\alpha)\\ \)
Pero como OAB y OCD son isósceles en O, OC=OD y OA=OB, por ello\( \vec{OI}.\vec{AC}=0,5(OA.OD.\cos\alpha-OA.OD.\cos\alpha)\\
\vec{OI}.\vec{AC}=0,5.0=0 \)

Por ello \( \vec{OI} \) y \( \vec{AC} \) son ortogonales y (OI) y (AC) son perpendiculares.

[incógnita_j]

Con complejos.

Fijemos respectivamente los afijos a,c,b,d y 0 a los puntos A,C,B,D y O:
Tenemos OA=OB y \( (\vec{OA};\vec{OC})=\pi/2\\ \)
por ello \( (b-0)=i(a-0)\\ \)
\( b=ia\\ \)
Del mismo modo, sacamos:
\( d=-ic \) (el sentido de rotación es indirecto)

El punto medio de [BD] tendrá por afijo:
\( I(\displaystyle\frac{ia-ic}{2})\\
I(i\displaystyle\frac{a-c}{2}) \)

Una vez fijado el afijo de I, podemos traducir con complejos el ángulo
\( (\vec{CA};\vec{OI}) \)
\( (CA;OI)\\
=arg(i\displaystyle\frac{a-c}{2})-arg(a-c)\\
=arg(\displaystyle\frac{i\displaystyle\frac{a-c}{2}}{a-c})
=arg(i/2)=\pi/2 \)

Por ello las rectas (CA) y (OI) son perpendiculares.

[incógnita_j]

Para redondear, usando similitudes:
Sea r la rotación de centro O y ángulo \( \pi/2 \) y h la homotecia de centro B y razón 2. Y sea s la compuesta de r y h , s=roh
Entonces tenemos:
r(D)=C
h(I)=D
Por ello S(I)=D

Tomemos O'=h(O), entonces \( \vec{BO'}=2\vec{BO} \) o sea \( \vec{OO'}=\vec{BO} \).
Entonces OO'=BO=OA y \( (\vec{OO'};\vec{OA})=\pi/2 \).
Entonces O' verifica que r(O')=A, sea r(h(O))=A.
Por ello s(O)=A

Fin de la demostración:
La similitud S transforma I en C y O en A, luego CA=2IO y \( (\vec{IO};\vec{CA})=\pi/2 \), por ello (IO) y (CA) son perpendiculares.