Hola a todos, estoy desarrollando un problema que me dejó el profesor para profundizar en el tema de la probabilidad y hice alguno de los puntos pero no sé si lo que estoy haciendo está bueno, alguién podría ayudarme a avanzar en esto, se lo agradeceré mucho!!
El problema en sí dice: X y Y son dos variables aleatorias (No dice si son continuas o discretas) tienen:
Valor esperado de X = \( E(X) = 4 \)
Valor esperado de Y = \( E(Y) = -1 \)
Varianza de X = \( Var(X) = 2 \)
Varianza de Y = \( Var(Y) = 8 \)
a. Determine \( Cov(X,X) \)
Así es como lo desarolle:
\( Var(X) = E(X^2) - E^2(X) \)
\( E(X^2) = Var(X) + E^2(X) \)
\( E(X^2) = 2 + 16 \)
\( E(X^2) = 18 \)
Y luego \( Cov(X,X) = E(X*X) - E(X)E(X) \)
\( = E(X^2) - E(X)E(X) \)
\( = 18 - 4*4 \)
\( = 2 \)
Según lo que hice, la covarianza de dos variables aleatorias iguales es la varianza de la variable.
No sé si está bien, y los puntos que siguen si no los entiendo.
b. Suponga que las medias y las varianzas son correctos ¿es posible que \( Cov(X,Y) = 7 \)?
c. Si las medias y las varianzas están bien, cuál es el máximo valor posible para \( Cov(X,Y) \).
Es todo, gracias por los aportes que me puedan hacer, gracias
==Editado==
Luego de pensarle un poco más, hallé la respuesta para el punto b y c, a continuación lo explico:
b. Suponga que las medias y las varianzas son correctos ¿es posible que \( Cov(X,Y) = 7 \)?
Tenemos \( Cov(X, Y) \), \( E(X) \) y \( E(Y) \)
Podemos sacar la correlación: \( CorrelaciónXY = \displaystyle\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt[ ]{Var(X)}\sqrt[ ]{Var(Y)}} \)
Y es igual a
\( 7/(\sqrt[ ]{2}*\sqrt[ ]{8}) = 7/4 = 1.75 \)
Y la teoría nos dice que la correlación solo puede estar en el intervalo \( [-1, 1] \)
Así que no se puede tener esa covarianza
c. Si las medias y las varianzas están bien, cuál es el máximo valor posible para \( Cov(X,Y) \).
Los valores máximos para la correlación son -1 y 1, así que aplicamos la misma fórmula:
\( 1 = (\displaystyle\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt[ ]{Var(X)}\sqrt[ ]{Var(Y)}}) \)
\( Cov(X,Y) = 1 * 4 \)
\( Cov(X, Y) = 4 \)
