[rubencb28]

Demostrad que para cualquier hélice cilíndrica, z , son equivalentes:

a) La tangente unitaria T de z forma un ángulo constante b con algún vector unitario fijo u.

b) La razón  \( \displaystyle\frac{t}{k} \)  es constante, siendo t la torsión y k la curvatura.

Calculad la relación entre las constantes a, b, c para que la curva z(t) sea una hélice cilíndrica, siendo \( z(t)=\left[{\begin{array}{ccc}{at,}&{bt^2,}&{ct^3}\end{array}\right] \)  .

[salvi.ecija]

a) \( \Rightarrow \)  b)
Sean \( \vartheta \in (0,\frac{\pi}{2}),\  r\ =\ \mbox{sen}(\vartheta) \) y \( p\ =\ \cos(\vartheta) \) tres constantes. Evidentemente se tiene que \( r^2+p^2=1 \). Entonces la siguiente hélice cilíndrica

\( \gamma:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}^3 \)

\( \gamma(s)=(r \cos, r\ \mbox{sen} (s), p\ s) \),

cumple que:
- está parametrizada naturalmente (\(  \left\|{\gamma\ '(s)}\right\|=1, \forall s\in \mathbb{R} \)), y
- si \( \mathbf{u} =(0,0,1) \), entonces \( \mathbf{T}(s)\cdot \mathbf{u}\ =\ \gamma\ '(s)\cdot \mathbf{u} = p = \cos(\vartheta),\ \forall s\in \mathbb{R}. \)
Ya que \( \gamma \) está parametrizada naturalmente se tiene que:

\( \kappa(s)\ =\  \left\|{\gamma\ ''(s)}\right\|\ =\  r, \) y

\( \tau(s)=\gamma\ '(s)\cdot(\gamma\ ''(s)\times\gamma\ '''(s)) / \left\|{\gamma\ '(s)}\right\|^2\ =\frac{p\ r^2}{r^2}\ =\ p. \)

Y como el cociente de dos constantes es constante, se tiene que \( \tau/\kappa\ =\ \mbox{cotg}(\vartheta) \) es constante.