Hola.
Las potencias de 3 módulo 7 son
Tabla 1
\(
\begin{array}{l|rrrrrr}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
3_7^n & 3 & 2 & 6 & 4 & 5 & 1
\end{array}
\)
Luego
Editado
\( 3^{6n+i}\equiv k_i \mod 7 \mbox{ con } 1\leq k \leq 6 \)
Donde \( k_i \) se corresponde con la segunda fila de la tabla 1 para la columna i.
como
\( 1000\equiv 4 \mod 6 \)
se tiene
\( 3^{1000}\equiv 3^4 \equiv 4 \mod 7 \)
Por lo tanto
\( 3^{1000}=7k+4 \mbox{ con } k\in \mathbb{Z} \)
Es hasta donde puedo ayudarte, en cuanto a la fracción impropia módulo 7, coincido con Almendra.
Saludos.
