[ridock]

Hola a todos... tengo dudas acerca de como resolver este tipo de problemas. Les planteo lo que se y donde me atasco.

Ejercicio:
Se tira un dado normal (6 caras del 1 al 6) ocho veces seguidas. ¿Cuantos resultados...
a) ...son posibles? Un ejemplo de resultado es 42553614
b)...tienen exactamente cuatro caras 5?
c)...tienen almenos cuatro caras 5?
d)...tienen el mismo numero de caras pares que impares?

El apartado a) es simple, son todas las variaciones con repeticion de 6 caras en 8tiradas. \( VR_6^8=6^8 \)
Es en el apartado b) donde empiezo a tener problemas.
La primera ideaque se me ocurre es que si quiero exactamente cuatro caras 5, las otras 4 tiradas pueden tomar el valor que quieran, menos 5  (\( VR_5^4=5^4=625 \)). Pero ahi me doy cuenta de que eso no es asi, ya que \( 55551111\neq{}55515111 \)

Como puedo tener en cuenta todas las permutaciones diferentes de esos 4 numeros iguales, mas los otros cuatro que desconozco los valores?

[Fernando Revilla]

Se tira un dado normal (6 caras del 1 al 6) ocho veces seguidas. ¿Cuantos resultados...
b)...tienen exactamente cuatro caras 5?

Hay diez tiradas, denota \( 2567 \) si los cuatro cincos han salido en esas tiradas (la segunda, la quinta, la sexta, la séptima). Sería igual que por ejemplo \( 6527 \) i.e. el orden no importa. Tenemos pues \( C_{10,4} \) formas de ubicar los cuatro cincos. Los otros seis lugares se pueden rellenar de \( VR_{5,6} \) formas. En total:

\( C_{10,4}\cdot{VR_{5,6}}=\displaystyle\frac{10\cdot{9}\cdot{8}\cdot{7}}{4\cdot{3}\cdot{2}}\cdot{5^6}=\ldots \)

Saludos.

Editado: Leí 10 tiradas en vez de 8. En tal caso y razonando de manera análoga, el resultado es \( C_{8,4}\cdot{VR_{5,4}} \).

[supertazon]

Se tira un dado normal (6 caras del 1 al 6) ocho veces seguidas. ¿Cuantos resultados...
b)...tienen exactamente cuatro caras 5?

Hay diez tiradas, denota \( 2567 \) si los cuatro cincos han salido en esas tiradas (la segunda, la quinta, la sexta, la séptima). Sería igual que por ejemplo \( 6527 \) i.e. el orden no importa. Tenemos pues \( C_{10,4} \) formas de ubicar los cuatro cincos. Los otros seis lugares se pueden rellenar de \( VR_{5,6} \) formas. En total:

\( C_{10,4}\cdot{VR_{5,6}}=\displaystyle\frac{10\cdot{9}\cdot{8}\cdot{7}}{4\cdot{3}\cdot{2}}\cdot{5^6}=\ldots \)

Saludos.

Bien el rasonamiernto el orden no importa pero son 8 tiradas y no 10, ja.

\( C_{8,4}\cdot{VR_{5,6}}=\displaystyle\frac{8\cdot{7}\cdot{6}\cdot{5}}{4\cdot{3}\cdot{2}}\cdot{5^6}=\ldots \)

c) ya lo hicimos con exacta// 5 ahora hay que sumarle exacta// 6 + exacta// 7 exacta// 8...
d) Cuatro caras Com{2,4,6} y a su vez Com{1,3,5}

Saludos desde Rosario, Argentina.

[Fernando Revilla]

Cierto, decía ocho tiradas y no diez. Modifíquese en modo y forma.

Saludos.

[ridock]

todo entendido, en realidad pense que lo hiciste con 10 tiradas para no dejarme el ejercicio hecho. jejej
Muchs gracias

[ridock]

Tengo un par de dudas....
c) este apartado podria hacerse añadiendo la posibilidad de cojer el 5 en las variaciones restantes?:
\( C_{8,4}\cdot{}VR_{6,4}=\displaystyle\frac{9\cdot{}8\cdot{}7\cdot{}6\cdot{}5}{4\cdot{}3\cdot{}2}\cdot{}6^4 \)
d) y este apartado.... sigo sin saber hacerlo, pense que lo sabia pero tengo errores y lagunas todavia .... :S

[Fernando Revilla]

Apartado c): siguiendo la pauta del b) el resultado es \( \sum_{k=4}^8{C_{8,k}\cdot{VR_{5,8-k}}} \) o bien:

\( C_{8,4}\cdot{VR_{5,4}}+C_{8,5}\cdot{VR_{5,3}}+C_{8,6}\cdot{VR_{5,2}}+C_{8,7}\cdot{VR_{5,1}}+C_{8,8}\cdot{VR_{5,0}} \)

Idea para el d): los 4 impares puden estar colocados en \( C_{8,4} \) lugares. Fijado un lugar de entre esos, podemos mover los impares de \( VR_{3,4} \) formas ... . Veamos como lo completas.

Saludos.

[ridock]

c) Vale, conforme escribia una respuesta diciendo que yo pensaba que era de otra manera me he dado cuenta de que lo que yo pensaba estaba mal... jejej

d)A ver... podria ser.... \( C_{8,4} \) maneras de colocar los pares... pero estos no son solo "pares" sino que pueden ser 2,4 o 6 por lo que esas combinaciones habria que multiplicarlas por las maneras de colocar esos 3 numero dentro de esos cuatro posibles lugares....(podria ser\( VR_{3,4}\cdot{C_{8,4}} \)) y luego, en el resto de tiradas, tendriamos que contar todas las posibles variaciones con repeticion de 3 elementos (caras impares) en 4 huecos(\( VR_{3,4} \)). En total:

\( VR_{3,4}\cdot{C_{8,4}\cdot{VR_{3,4}}} \)

Puede ser asi?

[Fernando Revilla]

Correcto.

Saludos.