Autor Tema: Platonismo y Verdad en Matemáticas

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18 Agosto, 2009, 12:04 pm
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Jabato

  • Visitante
Este debate ha sido suscitado por el mensaje #3 del thread:



Sobre el concepto de lo verdadero yo diría que es un concepto relativo, no absoluto. Existirían cuatro posibles estados lógicos en que albergar una proposición, a saber, verdadero, falso, indiferente y absurdo.

El estado lógico FALSO, se deduce siempre por el hecho de conducirnos a una contradicción. Las de este grupo además deben satisfacer que su negación no conduzca a contradicción.

El estado lógico INDIFERENTE, sería lo mismo que indecidible, da igual aceptar como válida una cierta afirmación ó su negación, en ningún caso se produce contradicción.

El estado lógico VERDADERO, hace referencia al hecho de que dicha proposición es consecuencia de los axiomas y por lo tanto se puede demostrar a partir de ellos. Puede decirse que son aquellas para las que su afirmación no conduce a contradicción pero su negación si.

El estado lógico ABSURDO, sería el de aquellas proposiciones que conducen a contradicción tanto si se aceptan como si se niegan.

Daros cuenta que los cuatro estados se corresponden con todas las combinaciones que podemos hacer al considerar el comportamiento contradictorio de una proposición frente a los axiomas cuando se acepta y cuando se niega.

Buscar en matemática la verdad absoluta creo que hoy día carece de sentido.

Saludos, Jabato. ;D

18 Agosto, 2009, 04:11 pm
Respuesta #1

Jabato

  • Visitante
Permíteme que haga ahora una breve reflexión sobre el mundo de las ideas de Platón y la matemática. En mi modesta opinión la matemática es básicamente el establecimento y el estudio de las relaciones entre los números. Decididamente si no existieran los números las matemáticas no existirían (aunque la lógica sí), de eso no hay duda. Pero la descripción que hice de la matemática contiene otro factor que muchas veces pasa desapercibido, me refiero a las relaciones entre los números, esas no pueden ser ajenas al hombre porque es el hombre quien las establece, son opcionales y podemos establecerlas a nuestro antojo. La conclusión es inmediata, la matemática es una creación del hombre, sin el hombre podrían quizás existir los números, flotando en el espacio ó amontonados en la cueva platónica, me da igual, pero sin orden ni estructura, ahora bien, cuando los agrupamos ó los ordenamos es cuando aparece la matemática, no antes, y eso es debido a las relaciones que nosotros mismos establecemos.

¿Tu crees de verdad que solo existe una matemática posible? No, no, si solo fuera posible una sola matemática ella misma sería la verdad absoluta y nosotros seríamos sus sumos sacerdotes. Yo diría que no. ¿Cuantas alternativas distintas serías capaz de diseñar a los axiomas de Peano?

Saludos, Jabato. ;D

18 Agosto, 2009, 09:46 pm
Respuesta #2

argentinator

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Cita de: Jabato
El estado lógico FALSO, se deduce siempre por el hecho de conducirnos a una contradicción. Las de este grupo además deben satisfacer que su negación no conduzca a contradicción.

Veo que has hecho una distinción complicada entre FALSO y VERDADERO.

Estoy acostumbrado a pensar a lo Falso como una simple negación de lo verdadero: F = no(V).
Del mismo modo que lo Verdadero opera como negación de lo Falso: V=no(F).

Está bien que lo falso lleva a contradicciones, pero no sé a que te estás refiriendo conque su negación no conduzca a contradicción.
La negación de algo falso es verdadero, y lo verdadero no conduce a contradicción.
¿No hay redundancia en eso que has dicho?
No entiendo la idea.

Cita de: Argentinator
O sea, apuesta a la universalidad de las leyes matemáticas.

¿Serán universales o no estas leyes?
Yo lo dudo, pero sólo por el deber moral de dudar.
Como matemático, veo una sóla matemática posible.

Cuando dije eso de la "única matemática posible", es más que nada un sentimiento, basado en la experiencia cotidiana.
Cuando demuestro que la suma es conmutativa, por ejemplo, siento que la conmutatividad de la suma es válida no sólo en el papel que la escribí, sino en todo el mundo, sigue siendo válida en todo el Universo, e incluso siento que es cierta en toda época, pasada o futura, o más allá de si el Universo nuestro hubiera existido o no.

Esa "sensación" de la universalidad de las leyes matemáticas es el "Platonismo" de las verdades matemáticas a que se refiere Penrose, y al que todo matemático en cierto modo suscribe en su práctica cotidiana. Uno no está cuestionándose todo el tiempo si la suma va a dejar de ser conmutativa de repente, tan bien que venía hasta ahora...
Son cosas que se admiten como absolutas.
Esto se admite incluso de forma casi inconsciente, está grabado a fuego en la mentalidad de los matemáticos, y más aún de los que sólo se sirven de la matemática.

Si 2+2 es 4 hoy, lo seguirá siendo mañana, y en todo el Universo por igual.
No hay una operación de suma cuyo resultado "dependa del punto de vista del observador en movimiento inercial", o algo así.

Es a esa "unica matemática posible" a la que me refiero, aunque con vagas palabras, porque no lo había dicho con intención de empezar un debate ahí... aunque sí quizá antes con lo del Platonismo.

Yo no me considero platonista, porque eso significa admitir que hay un mundo perfecto en otra dimensión más allá de la realidad conocida, en donde residen las formas perfectas de la matemática.
Pero opino que el ser humano ha sido capaz de aprenderse "truquitos" de abstracción, detectando estructuras subyacentes en el Universo que son independientes del lugar, el momento, o la situación experiencial por la que se esté pasando.
Considero que el Universo viene "equipado" con ciertos invariantes, que el ser humano detecta de algún modo, y lo expresa a través de números, relaciones lógicas, y otros menesteres.

Es un platonismo "intermedio" lo mío.

Pero también hay que tener cuidado con ciertas "sensaciones".
Leibniz por ejemplo decía que todas las leyes del Universo, con su perfección matemática, bien podían ser una mera construcción subjetiva del ser humano.
Para ejemplificarlo, ponía el ejemplo de una salpicadura de puntos de tinta sobre una hoja de papel.
Si ponemos a un científico a buscar patrones en esos puntos, los conectará con líneas, hallará relaciones aritméticas y geométricas, pero en el fondo daría igual que use una construcción u otra, porque esas "leyes matemáticas" serían inventos de la mente humana, que en realidad ocultarían la verdadera naturaleza azarosa de los puntos, que en verdad no tendrían quizá ley alguna que los justifique.

Sería algo así como una telaraña mental que los humanos construimos alrededor de las cosas.

Sin embargo, tampoco hay que dejarse impresionar por esta idea de Leibniz.
Porque si sólo fuera por "unir puntitos", la ciencia no avanzaría.
Siguiendo la guía de la matemática y la razón la ciencia ha logrado descubrir verdades muy interesantes, que antes la humanidad ni soñaba, ni siquiera unos 100 o 200 años atrás.
Así que algo de "platonismo" anda rondando por el Universo.

Lo que me queda es la duda de si las estructuras mentales que usamos para abordar la matemática y la ciencia son suficientes para comprender toda la realidad, o solamente somos capaces de "ver" una parte de todo lo que realmente hay.

Pongo una analogía.
Si nuestro lenguaje fueran los vectores de \( R^2 \), al generar todas las combinaciones lineales de ellos, obtendríamos el plano bidimensional y toda su geometría.
Pero no tendríamos jamás noción de que existan objetos tales como un "cubo" o una "esfera", porque el lenguaje o estructura usada no es suficiente para expresarlo. Y tal vez ni siquiera tengamos las estructuras mentales en suficiente "buena forma" para lograr semejantes estructuras.

Y lo más difícil es separar lo estructurado de lo azaroso.
Si resulta que en el Universo hay un componente azaroso "inmodelable", ¿qué hacemos ahí?


18 Agosto, 2009, 09:52 pm
Respuesta #3

Jabato

  • Visitante
Citar

No hay una operación de suma cuyo resultado "dependa del punto de vista del observador en movimiento inercial", o algo así.


No cabe duda que tu también le das bien a los "drinks"

Ja, Ja, Ja, Jabato.

18 Agosto, 2009, 10:00 pm
Respuesta #4

Jabato

  • Visitante
Te explico ahora lo de los estados lógicos. Si consideras que solo existen dos posibles estados para una proposición, verdadero ó falso, entonces contéstame a estas preguntas:

1.- ¿Como clasificarías el axioma de elección (visto solo como una proposición, no como axioma claro) dentro de la T.C. ZF?

2.- ¿Como clasificarías esta proposición?             "La frase que estás leyendo ahora mismo es falsa"

La primera es INDIFERENTE porque no contradice a los axiomas, ni ella ni su negación lo hacen, y la segunda es ABSURDA porque tanto ella misma como su negación conducen a una contradicción.

El hecho de que una proposición sea falsa no es garantía de que su negación sea verdadera. Lo es si la proposición cumple ciertas condiciones pero en general no siempre es así. En matemática se acepta como válido el principio del tercero excluido de la lógica aristotélica, y entonces es correcto pensar de esa forma, tu eres matemático y estás acostumbrado a pensar así, pero si hablamos de proposiciones en general, no solo de verdades matemáticas, entonces la cosa cambia.

Una clasificación adecuada de las proposiciones debería incluir todos los casos posibes, ¿no te parece?, y los casos posibles son cuatro, no dos, es combinatoria pura.

Saludos, Jabato. ;D

18 Agosto, 2009, 10:41 pm
Respuesta #5

argentinator

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Los casos posibles son mucho más que cuatro.

Los lógicos están estudiando sistemas lógicos con muchos valores de verdad posibles, por ejemplo la lógica difusa.
Están las lógicas trivaluadas, y cosas así.

La gente se ha planteado formalmente estas cosas, y han probado resultados que seguramente son interesantes.
De todo eso lamentablemente no sé nada.

Tan sólo me animo a definir una lógica multivaluada que satisfaga los Axiomas del Algebra de Boole.
Por ejemplo, tomo un conjunto de números C, que contenga todos los valores de verdad.
Define la operación "O" como el máximo de entre dos valores dados,
y la operación "Y" como el mínimo.
La negación de un valor lógico v  sería la resta del máximo valor de C, digamos M, menos v, o sea \( M - v \).

Podría decir que la "tablita" de la relación de "implicación" sería \( a\rightarrow{b} \) siempre que se cumpla que \( a  \leq  b \).
Y ya voy pintando una lógica con valores de verdad intermedios.

Pero claro, como lo he definido, la negación del valor verdadero (que es M, el máximo), sería el valor falso (el mínimo en C).

Me parece que no tiene nada que ver eso del "3ro excluido".
Creo que tu interpretación no es la correcta.

Para mí, el "Principio del 3ro excluido" no quiere decir que la negación de Falso queda "indefinida" o como que "no siempre es verdadero", sino que tiene que ver con esto:

Si tenemos dos proposiciones "\( P \)" y "no \( P \)", entonces el valor de verdad de la conjunción "P ó no P" es Verdadero, debido al "principio del 3ro excluido". O sea, o bien P es verdadera o bien P es falsa, pero no se acepta que la cosa quede inconclusa.
De manera que si de "Q" deduzco "no no P", juntando eso con "3ro excluido", resulta que de por sí una de las dos es cierta, o bien "P", o bien "no P".
Pero si "no P" fuera cierta, estaría diciendo que convive con su negación "no no P" antes probada, lo cual es contradictorio.
Luego, sólo puede ser cierto que "P", que es la posibilidad restante.

Sin "3ro" excluido, el valor de "no no P implica P" puede quedar indefinido.

Me parece que el "principio de no contradicción" no puede violarse en ninguna lógica, porque convierte a todas las proposiciones trivialmente en verdaderas y falsas.

18 Agosto, 2009, 10:53 pm
Respuesta #6

Jabato

  • Visitante
Pero eso es exactamente lo mismo que yo te estoy diciendo, argentinator, en matemática se acepta que las afirmaciones solo pueden ser verdaderas ó falsas porque es lógica binaria que hereda el principio del tercero excluido de la lógica aristotélica, pero en general eso no tiene porqué ser cierto. Y los ejemplos que pones son correctos, pero no son ejemplos matemáticos. Si habalmos de matemática, pues hablamos de matemática, pero lo que no tiene mucho sentido es que tu hables de lógica y yo tenga que ceñirme a la matemática, eso no nos va a conducir a nada.

Cuando digo que los casos posibles son cuatro me refiero al "comportamiento contradictorio" de una proposición y al de su negación, si analizas los casos verás que no existen nada más que cuatro posibilidades, es elemental. Por supuesto que existen otras muchas lógicas que admiten multitud de variaciones sobre el mismo tema, nadie dijo lo contrario.

El caso del axioma de elección ó el de la hipótesis del continuo es muy claro, son indecidibles porque no son contraditorios ni ellos ni sus negaciones con la T.C. (Piensa que si alguno se hubiera mostrado contradictorio en su afirmación ó en su negación ya se habría elevado a la categoría de teorema, pero son decidibles ambos). Ambas cuestiones competen entonces a la lógica, (Teoría de conjuntos), no a la matemática. Si fueran teoremas matemáticos solo podrían ser verdaderos ó falsos (lógica binaria) pero no indecidibles, ¿me explico ahora con algo más de claridad?

Saludos, Jabato. ;D

18 Agosto, 2009, 11:12 pm
Respuesta #7

Jabato

  • Visitante
Argentinator, esto ya es una "inflada". Llevamos ya varias horas hablado de lógica y de filosofía. ¿Que tal alguna EDO ó alguna integral triple para relajar las neuronas? Las mías estan muy tensas.

Saludos, Jabato. ;)

18 Agosto, 2009, 11:32 pm
Respuesta #8

argentinator

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Sobre las afirmaciones "indecidibles", no sé si es algo tan especial como aparentan esos ejemplos del Axioma de Elección y demás.
Me parece que es de lo más natural.

Un sistema axiomático modela sólo unas cuantas propiedades de ciertas situaciones.
Supongamos los axiomas de grupo.
Si G es un grupo, ¿es cíclico?

Eso es lo mismo que preguntar si existe un elemento x en el grupo G, y entero positivo n tal que \( x^n = e \), el neutro de G.

Entonces analizo la proposición lógica:
\( \exists{x\in G}(\exists{n\in N}:x^n=e) \)

¿Es esa proposición verdadera, falsa, indecidible?

Hay grupos que tienen elementos cíclicos, y otros que no.
Eso dependerá de las interpretaciones con casos particulares concretos de la teoría axiomática, que es general.
Así que esa proposición queda "indecidible", porque depende de casos particulares.
El grupo de restos modulo m tendrá un elemento cíclico, y el grupo Q de racionales no.

Yo podría ponerla como hipótesis verdadera o como Axioma para deducir cosas a partir de ahí, o bien demostrar que es verdadera a partir de otras propiedades que la impliquen.

Pero también podría ponerla como hipótesis falsa, o como parte de un ejemplo donde no se cumple, y ver qué consecuencias trae.

No entiendo por qué esa distinción entre lógica y matemática. Son lo mismo.
Y más aún si se trata de teoría de conjuntos.
Eso es la matemática, o parte de ella, al igual que la teoría de grupos, o cualquier otra cosa.
Y en todas partes hay proposiciones "indecidibles", porque dependen de "casos particulares" o interpretaciones concretas de un sistema de axiomas.

Está bien, del 3ro excluido decimos: "O bien P es verdadera, o bien P es falsa", pero eso no significa que una proposición "matemática" siempre tenga un valor de verdad asociado.
La conjetura de Goldbach es una afirmación "matemática" según la clasificación que estás haciendo, porque no es una afirmación de la teoría de conjuntos ni de la lógica, y sin embargo no se sabe si es "verdadera, falsa o indecidible".

Lo del "3ro excluido" me parece que va como "parte de los razonamientos" tango lógicos como matemáticos, pero no como algo que incumbe a la matemática que sea diferente a la teoría de conjuntos o la lógica.

Si hago un razonamiento que involucra la proposición P, puedo usar la proposición "P ó no P" (3ro excluido) para ayudarme a probar alguna cosa, pero eso no quiere decir que si tomo una proposición P tenga determinado valor de verdad en forma absoluta, siempre. Depende de los Axiomas e hipótesis previas.
Godel justamente dice que hay proposiciones indecidibles en cualquier parte de la matemática, no sólo la lógica o la teoría de conjuntos, sino dondequiera que aparezcan los números naturales.

18 Agosto, 2009, 11:32 pm
Respuesta #9

argentinator

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Argentinator, esto ya es una "inflada". Llevamos ya varias horas hablado de lógica y de filosofía. ¿Que tal alguna EDO ó alguna integral triple para relajar las neuronas? Las mías estan muy tensas.

Saludos, Jabato. ;)

Ja, ja, totalmente de acuerdo.