[ridock]

Hola a todos. Estoy preparandome un examen (de matematicas discretas) para septiembre y tengo alguna duda con combinatoria....
tengo dos problemas que no se resolver. Los dejo aqui por si alguien puede orientarme un poco... muchas gracias desde ya.

1º Una reordenacion de los 6 primeros numeros se dice que tiene una cifra en su lugar natural si esta en el lugar que le corresponde por su valor. Por ejemplo, la reodenacion 243651 tiene a 3 y a 5 en su lugar natural. ¿Cuantas ordenaciones hay enlas que ninguna cifra par este en su lugar natural?

2º Sea un conjunto de de 6 letras, a escojer de {a,b,c}. Con n1, n2 y n3 se denotan tres enteros decrecientes n1 >n2 >n3. El tipo de una palabra es n1-n2-n3 si en esa palabra hay n1 copias de una letra, n2 copias de otra, y n3 copias de la tercera. Por ejemplo accabc es de tipo 3 - 2 - 1 y babbba es de tipo 4 - 2 - 0.
a) ¿Cuantas palabras hay de tipo 6 - 0 - 0? ?Y de tipo 2 - 2 - 2?
b) ¿Cuantas hay de tipo 3 - 2 - 1?


A ambos problemas les he dado bastantes vueltas pero no se hacerlos.... Agradezco cualquier indicacion.

[Sanva]

Yo también estoy preparando, entre otros, un examen de matemática discreta para Septiembre.

A ver si puedo ayudarte con el primer problema, te dejo la solución en el spoiler —espero que mi planteamiento sea el correcto.

Spoiler

Primero veamos cuantas ordenaciones distintas podemos hacer con esos 6 números: Variaciones de 6 elementos tomados de 6 en 6, osea, permutaciones de 6 elementos: \( P_{6} = 6! = 720 \). Como lo de ninguna cifra par este en su lugar natural no me gusta le damos la vuelta y calculamos las ordenaciones en las que alguna cifra par está en su lugar natural. Y eso sería la suma de las ordenaciones en las que el 2 está en su lugar —si ponemos el dos en su lugar y reordenamos los demás tenemos \( P_{5} = 5! = 120 \) posibilidades—, las que tienen al 4 en su lugar —otras 120— y las que tienen al 6 en su lugar —otras 120, en total 360. Se lo restamos a las totales y tendremos que el resultado cumple que ninguna cifra par este en su lugar natural: 720 - 360 = 360.

[cerrar]

Saludos.

[Zrig]

La respuesta es incorrecta Sanva, porque dentro de los 120 que tienen el 4 en su lugar natural, ya existen algunos que tienen al 2 en su lugar natural, y esos ya los has quitado. No puedes quitarlos dos veces. Lo mismo para los que tienen el 6 en su lugar natural.

[ridock]

exacto ese es el problema que tengo, que no se como reflejar ese posibilidad....
quizas sea sumandole al resultado anterior, las combinaciones en las que {2, 4}, {4, 6},  {2, 6} y {2, 4, 6} estan en su lugar (\( 3P_{4} + P_{3}=3\cdot{}4!+3!=78 \)).
Siendo el resultado final \( 360+78=438 \)
Podria ser asi? 

[Zrig]

Tampoco es así, pero te vas acercando .  Una vez sumadas las combinaciones en las que dos cifras están en su lugar, debes restar las combinaciones en la que las tres cifras están en su lugar, ya que las has sumado dos veces

[ridock]

si, creo que esta respuesta me convence.... jeje muchas gracias!

[ridock]

y alguna ayuda para el segundo problema?

[Zrig]

Solo pueden existir tres palabras de la forma 6-0-0, que son aaaaaa, bbbbbb y cccccc. No hay mucho más que deducir aquí.

Para las de la forma 2-2-2, primero piensa que tienes seis bolas distintas, la 1 y la 2 son aes, la 3 y la 4 son bes, y la 5 y la 6 son ces. Las puedes permutar de 6! formas. Estas 6! permutaciones las divides en 2! conjuntos, en uno la bola 1 está delante de la 2 y en otro conjunto la bola 2 está delante de la 1. Evidentemente, los dos conjuntos son de igual tamaño y por tanto tienen \( \displaystyle\frac{6!}{2!} \) elementos cada uno. Ahora bien, como las bolas 1 y 2 son aes, tenemos que los dos conjuntos son equivalentes. Lo mismo para las bes y las ces, por lo que el número buscado es \( \displaystyle\frac{6!}{2! 2! 2!} \).

Si has entendido este razonamiento, trata de aplicarlo de nuevo para calcular cuántas son de la forma 3-2-1. 

[ridock]

cierto. con la explicacion y esta pagina (http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/perm_rep.htm) me quedo claro como es.