Entiendo que lo que buscas es una función \( F:[-1,1]^2\longrightarrow{[-1,1]} \) tal que \( r(X,Y+Z) = F(r(X,Y),r(X,Z)) \) para cualesquiera \( X,Y,Z \) ¿no?
Esta función debería tener la siguiente propiedad: \( F(r,r) = F(r,-r) = r \) para cualquier \( r\in{[-1,1]} \).
Demostración: Para cualquier \( r\in{[-1,1]} \), toma \( X,Y \) tales que \( r=r(X,Y) \). Entonces:
\( F(r,r) = F(r(X,Y),r(X,Y)) = r(X,2Y) = r(X,Y) = r \),
\( F(r,-r) = F(r(X,2Y),r(X,-Y)) = r(X,Y)=r \). QED.
Sean \( (X,Y) \) con función de distribución conjunta dada por \( p(0,-1) = p(1,0) = p(-1,0) = p(0,1) = \displaystyle\frac{1}{4} \). Tenemos \( r(X,2Y) = 0 \), \( r(X,Y+X) = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \) y \( r(X,Y-X) = -\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \). Por tanto,
\( 0 = r(X,2Y) = r(X,Y+X+Y-X) = F(r(X,Y+X),r(X,Y-X)) = F(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}) \)
Lo cual contradice lo demostrado anteriormente.
