[Jabato]

Pues realmente no lo sé, aunque apostaré aquí por una idea que me vino a la mente, y que no hago más que darle vueltas sin conseguir desecharla. En origen, la palabreja se acuñó para dar a entender que son objetos con una dimensión (geométrica) no entera, aunque hoy en día sabemos que esa no es una definición muy afortunda para los fractales, en cualquier caso el nombre quedó ahí y hoy lo usa todo el mundo.

La idea es la siguiente, sabemos que diseñar un fractal debidamente exige realizar un proceso de cálculo un número indefinido de veces, normalmente una iteración aunque no necesariamente, puede ser una copia, una transformación cualquiera etc. El resultado final es siempre un objeto geométrico que presenta detalle a cualquier escala a la que sea observado. En esencia el resultado final es que va a resultar imposible definir de forma precisa los puntos que pertenecen a un fractal, porque siempre sera necesario, para realizar una reproducción exacta, repetir el proceso de diseño un número ilimitado de veces, y eso es imposible. Siempre tendremos una aproximación al fractal tan buena como queramos, pero siempre será una aproximación.

Ahora bién ¿es posible generalizar esta idea a ámbitos fuera de la geometría? Pues yo creo que puede hacerse facilmente. Imaginemos un problema cualquiera, que necesite para ser completamente resuelto realizar un número infinito de cálculos, por ejemplo determinar la mantisa de un número irracional, ó una proposición lógica que para determinar su veracidad haya que realizar un número infinito de verificaciones, etc. ¿Podríamos afirmar que todos estos problemas son problemas fractales?

Y ahora entremos de lleno en la teoría de conjuntos, la idea en este caso se generalizaría por la imposibilidad de establecer la relación de pertenencia entre un elemento y un conjunto. Esto nos lleva a generalizar la relación de pertenencia a tres posibles estados, verdadero, falso y "fractal" ó "dentro de infinitos procesos de verificación te lo diré"

¿Que os parece la idea? ¿Los axiomas de la teoría de conjuntos dicen algo de la relación de pertenencia? Yo diría que no, pero prefiero escuchar otras opiniones. Ojo que la idea de fractal no tiene relación con las proposiciones indemostrables sino con las proposiciones que exigen realizar infinitas verificaciones para ser verdaderas ó falsas, que no es lo mismo.

¿Podrían ser explicados adecuadamente los fractales mediante la lógica difusa?

Saludos, Jabato.

[argentinator]

La dimensión fraccionaria es un concepto muy preciso.

Se establece una noción de medida exterior de Hausdorff de ''dimensión'' s, en el contexto de la geometría euclidiana.

Dado un conjunto U cualquiera, se le puede calcular su medida exterior de Hausdorff de orden s.
Lo que ocurre es que para la mayoría de los valores de s, este número es algo trivial, ya sea 0 o infinito.
Pero existe un valor de s especial, en que la medida de dimensión s del conjunto U no es trivial.
Ese número s se llama dimensión de Hausdorff del conjunto.

La idea es que, si un conjunto U tiene dimensión s, entonces su medida de Hausdorff de dimensión r > s será 0,
porque el conjunto U es demasiado ''escuálido'' respecto la medida de dimensión r.
O sea, la medida de orden r no es capaz de ''captar detalles'' en el conjunto U.
Por otro lado si r < s, entonces la medida se ''queda corta'' respecto el conjunto U,
el cual es ''demasiado complejo'' para ser abarcado por la medida de dimensión r.
En ese caso la medida r-dimensional de U tendrá el valor \( \infty \).

Ahora bien, Hausdorff probó que siempre existe un valor de s que ''caracteriza'' la complejidad inherente al conjunto U,
de tal manera que para todo r < s la medida de Hausdorff de dimensión r es \( \infty \), y la medida da 0 si r > s.

¿Qué pasa para r = s?
La medida puede ser 0, o un número positivo, o \( \infty \).

Un ejemplo facil sería el de un segmento de recta en el espacio 3-dimensional.
Llamemos U a ese segmento.
Se puede demostrar que U tiene dimensión de Hausdorff 1.
Su medida de dimensión 1 será finita y positiva (su longitud), por ser un segmento.
En cambio, si U fuera una recta, su dimensión aún sería 1, pero su medida de dimensión 1 es infinita.
Para el caso del plano, podemos tener un conjunto de dimensión 2, pero con medida 0 (es el famoso conjunto de Cakeya).

Cuando se define una medida exterior(que vale sobre cualquier conjunto U) de dimensión s,
quedan determinada una subfamilia sigma-aditiva que cumple el axioma de Caratheodory.
No importa mucho qué es eso, sino que se trata de una familia de conjuntos que no es el total de conjuntos posibles.
A esa familia se los llama ''familia de conjuntos medibles de dimensión s''.

Los fractales que aparecen en la práctica son conjuntos medibles de dimensión (de Hausdorff) igual a s.

¿Viste este enlace de wikipedia?

http://es.wikipedia.org/wiki/Dimensión_de_Hausdorff

[Jabato]

Muchas gracias argentinator por recordarme la teoría oficial, ya la conozco, pero no es eso lo que se me pasó por la mente.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Parece que para vos un fractal se identifica con el algoritmo que lo genera.

Pero no todos los fractales se generan de ese modo.
Algunos conjuntos son fractales, sin que alguien conozca como construirlos con un procedimiento iterativo.

[Jabato]

No, yo no he hablado solo de un procedimiento iterativo, he hablado en general de infinitos pasos para construirlo. Sé que un fractal al estilo clásico es un conjunto de puntos, pero lo que yo me preguntaba es si es posible extrapolar el concepto fuera de los límites de la geometría para luego generalizar con la teoría de conjuntos. No sé si es que no me he explicado claramente, no estoy hablando de fractales geométricos sino de una generalización de la idea.

En lógica difusa, que no sé muy bien lo que es, parece que la relación de pertenencia se define en conceptos de probabilidad, lo que quizás pudiera adaptarse bien a la dificultad que se plantea en los fractales para decidir que puntos le pertenecen ó no, eso fué todo. Resulta bastante complicado, de hecho infinitamente complicado, conocer si un punto determinado pertenece ó no pertenece a un fractal (cumple determinado requisito), aunque solo en el caso de algunos puntos. Realmente los puntos que pertenecen a un fractal son precisamente aquellos para los que es imposible saber si cumplen determinada condición, precisamente porque su verificación exige realizar infinitos procesos de cálculo. De lo que estoy hablando aquí es la existencia de proposiciones no verificables antes de realizar infinitas comprobaciones. Eso es lo mismo que hablar en teoría de conjuntos de relaciones de pertenencia no verficables por la misma razón, y esa es una carctarística que satisfacen los fractales por propia definición.

De todo ello se deduce que podíamos denominar problema fractal a aquel que exige resolver infinitos "problemas elementales" para ser resuelto, digamos aquel para el que una máquina de turing que tratara de resolverlo no se detendría nunca.

Saludos, Jabato.

[topo23]

¿Podrían ser explicados adecuadamente los fractales mediante la lógica difusa?

Depende sobre que fractal en particular estes hablando, pero en los fractales clasicos (Julia, Mandelbrot, Sierpinski), matematicamente esta determinado si un punto esta o no en el conjunto fractal. Pero es cierto que algunos algoritmos para representar un fractal utilizan tecnicas para "aproximar" el fractal, y aqui se podria usar algunas tecnicas de logica difusa. Se que se estudian ciertas construcciones, similares a los fractales, donde interviene cierto grado de 'aleatoriedad', en este tipo de construcciones es mas natural introducir la logica difusa.

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Con respecto a utilizar el termino "fractal" en estructuras en otras areas de las matematicas, debe ser algo posible,  aunque habria que abstraer algunos conceptos de los fractales clasicos y tratar de llevarlos a dichas areas, p.ej. dimension, autosemejanza, iteracion, etc (o algun concepto nuevo).

[León]

Este tema inspiró la discusión que puede seguirse en ¿Un problema con interpretación fractal? -ahora separada en un tema aparte.