[shanatos]

Hola a todos,

Tengo un par de ejercicios resueltos, los cuales me gustaría que corrigieran en caso
de contener algún error.

\(  \mbox{ 1 - >Qué exceso de electrones ha de colocarse sobre cada una de dos pequeñas esferas} \\
\mbox{ separadas 3 cm, si la fuerza de repulsión entre las mismas ha de ser de } 10^{-19} \mbox{ ? }  \)

Solución :

\(  F = K \frac{q_1 q_2}{r^2} \Rightarrow{10^{-19} = 8.99 \cdot 10^9 \frac{q_1 q_2}{9 \cdot 10^{-9}}}
\Rightarrow{q_1 q_2 \approx{10^{-24}}}  \)

De lo que se deduce que cualquier valor de \( q_1 \) y \(  q_2  \) que cumpla la igualdad será válido.

\(  \mbox{ 2 - Dos esferas de radio } R_1 = 4 mm \mbox{ y } R_2 = 2 mm \mbox{ contienen las cargas de } \\
q_1  = 2 \mu C \mbox{ y } q_2 = 4 \mu C \mbox{. Se ponen en contacto y se separan una distancia } \\
R = 2 m \mbox{. Calcular la fuerza con que se repelen. } \)

Solución:

Al juntarse se redistribuyen las cargas y se conserva la carga neta:

\(  q_1 + q_2 = q_1' + q_2'  \)

El volumen de cada esfera es:

\(  S_1 = \frac{4}{3} \pi {4\cdot10^{-3}}^3 \Rightarrow{S_1 = \frac{256\cdot\pi}{3}\cdot10^{-9}}
\Rightarrow{S_1 \approx{268.08\cdot 10^-9}} \\

S_2 = \frac{4}{3} \pi {2\cdot10^{-3}}^3 \Rightarrow{S_2 = \frac{32\cdot\pi}{3}\cdot10^{-9} }
\Rightarrow{S_2 \approx{33.52\cdot 10^-{-9}}} \)

La relación entre los dos volúmenes es:

\( \frac{S_1}{S_2} = 8 \)

De esto se deduce que:

\(  q_1' = 8\cdot q_2'  \)

Obtenemos el siguiente sistema:

\(    \left\{ \begin{array}{c}    q_1 + q_2 = q_1' + q_2' \\
                                    q_1' = 8 \cdot q_2' \end{array}
        \right\}
        \Rightarrow{\left\{
                        \begin{array}
                            q_1' = \frac{16}{3} \mu C = 5.33 \mu C  \\
                            q_2' = \frac{2}{3} \mu C = 0.66 \mu C
                        \end{array}
                    \right\}}
        \Rightarrow{F = 8.99\cdot 10^9\cdot \frac{0.66\cdot 5.33\cdot 10^{.12}}{4}}
        \Rightarrow{F = 7.88 N}
 \)

Muchas gracias por su ayuda.

Shanatos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Repasando estos dos antiguos ejercicios, compruebo que las respuestas son erróneas.

1) De la ley de Coulomb,

\( F=k\dfrac{qq}{r^2} \)

\( q=\sqrt{\dfrac{F}{k}}r=-10\cdot10^{-6}\ C \). Elegimos la raíz negativa, pues la carga debida a los electrones es negativa.

Nº de \( e^-=\dfrac{q}{q_{e^-}}=624,57 \)

2) En este segundo ejercicio, al poner las dos esferas en contacto, la nueva carga en cada una de ellas no depende de sus volúmenes respectivos, sino que es consecuencia de igualar sus potenciales.

\( V_1=k\dfrac{q_1}{R_1} \)

\( V_2=k\dfrac{q_2}{R_2} \)

Igualando, resulta

\( q_2=\dfrac{R_2}{R_1}q_1\ (1) \)

Por otra parte, desde el principio, se sabe que \( q_1+q_2=6\mu C\ (2) \)

Resolviendo (1) y (2),

\( q_1=4\mu C \)

\( q_2=2\mu C \)

Al tener las esferas un radio pequeño y estar suficientemente alejadas la una de la otra, podríamos suponer que el fenómeno de la inducción electrostática es despreciable. En este supuesto, las podemos asimilar a cargas puntuales y aplicar la ley de Coulomb.

\( F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}=0,0180\ N \)

Saludos cordiales,
JCB.