[polenta]

Hola quiero demostrar por argumentos combinatorios que \( \displaystyle\binom{2n}{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle\binom{n}{k}\displaystyle\binom{n}{k+1}} \)

Tengo dos subconjuntos de n+1 elementos, si elijo de un subconjunto un elemento, el otro subconjunto va a tener ese elemento mas uno. Se que esta mal pero es lo que se me ocurre. Alguna idea?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 \( \displaystyle\binom{2n}{n+1} \) es el número de subconjuntos de \( n+1 \) elementos de un conjunto de \( 2n \) elementos.

 Equivalentemente el número de subconjuntos (tomando complementarios) de \( n-1 \) elementos de un conjunto de \( 2n \) elementos.

 Ahora supón que divides tu conjunto de \( 2n \) elementos en dos grupos fijos de \( n \) elementos cada uno.

 Cada subconjunto de \( n-1 \) elementos puede formarse tomando \( k \) elementos del primer conjunto y \( n-1-k \) del segundo conjunto.

 Equivalentemente tomando \( n-k \) elementos del primer conjunto y dejando fuera \( n-(n-1-k)=k+1 \) elementos del segundo.

 Termina el razonamiento...

Saludos.

[polenta]

Cuando decís que cada subconjunto de \( n-1 \) elementos puede formarse tomando \( k \) seria \( \displaystyle\binom{n-1}{k} \) y del segundo \( \displaystyle\binom{n-1}{n-1-k} \) , la verdad que no lo entiendo muy bien, el lado derecho de la igualdad me cuesta ver 
Saludos

[Fernando Revilla]

Otra opción sería usar la identidad polinómica \( (1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n \) e identificar los coeficientes de \( x^{n+1} \) en ambos miembros.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Fíjate bien en lo que digo: he divido mi conjunto \( A \) de \( 2n \) elementos en dos subconjuntos fijos, \( B \) y \( C \) de \( n \) elementos cada uno.

 Entonces para formar un subconjunto de \( n-1 \) elementos de \( A \) puedo: escoger \( k \) de esos elementos entre los \( n \) de \( B \): \( \displaystyle\binom{n}{k} \); escoger los \( n-1-k \) restantes entre los \( n \) de \( C \); equivalentemente deshechar \( n-(n-1-k)=k+1 \) entre los \( n \)  de \( C \):  \( \displaystyle\binom{n}{k+1} \).

 Ese \( k \) varía entre \( 0 \) y \( n-1 \), dependidendo del número \( k \) de elementos que escojamos en \( B \). Queda por tanto:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{}\displaystyle\binom{n}{k}\displaystyle\binom{n}{k+1} \)

Saludos.

P.D. Por supuesto el métodode Phidias es váludo y muy rápido, si bien quizá no cumple con la premisa (al menos de manera directa) de utilizar argumentos combinatorios. De forma indirecta si, porque al fin y al cabo los desarrollos de las potencias de binomios "recuentan" las distintas formas de formar tal o cual exponente.

[Fernando Revilla]

P.D. Por supuesto el métodode Phidias es váludo y muy rápido, si bien quizá no cumple con la premisa (al menos de manera directa) de utilizar argumentos combinatorios. De forma indirecta si, porque al fin y al cabo los desarrollos de las potencias de binomios "recuentan" las distintas formas de formar tal o cual exponente.

Cierto, se gana en rapidez pero en cierto modo se pierde aspecto conceptual.

Saludos.