[Iona]

Buenos días,

Antes que nada presentarme. Soy Iona Fábregas y trabajo en un departamento de publicidad. Hace ya unos años que dejé la Universidad pero siempre me han gustado y he tenido cierta curiosidad por matemáticas, así que de vez en cuando ojeo algún libro. Es por eso que al no saber a que apartado del foro acudir he escrito en éste de "Universidad".

Bien, estoy ojeando y me ha aparecido el siguiente problema .¿Alguien podría plantearlo por mí? Aunque sea decirme dónde buscar o en que rama de las matemáticas me puedo fijar para resolverlo, o bien que algorismo utilizar. Tiene pinta de ser un ejercicio de Grafos pero en cambio se encuentra en el apartado de aritmética del libro, así que supongo que se trata de un ejercicio de aritmética.

El problema es el siguiente:

Un grupo de amigos desean transportar 1000 litros de agua. Para ello cuentan con:

100 garrafas de 13 litros.
20 garrafas de 18 litros.

Suponemos que todas las garrafas estan vacías.
¿Pueden distribuir los 1000 litros llenando todas las garrafas?
Si es así, ¿de cuántas maneras pueden hacerlo?
¿Quedarán garrafas vacías?


Gracias de antemano a todo el foro!!

[Jabato]

No sé si habra mas soluciones aunque mi idea es llenar n garrafas de las de 13 litros hasta obtener una cantidad próxima a los 1000 litros de manera que lo que falte ó lo que sobre para tener 1000 litros sea múltiplo de 18 litros, con lo que se puede cancelar la diferencia con las garrafas de 18 litros, tanto si sobró agua como si faltó. ¿De cuantas formas se puede hacer? pues muy fácil, solo hay que buscar las soluciones enteras de la ecuación:

\( 13n-1000=18m \)

teniendo en cuenta que \( 0<n\leq{} 100 \)

Por lo tanto creo que el problema es un problema de ecuaciones diofánticas.

Saludos, Jabato.

[Iona]

Muchísimas gracias Jabato! eres un Sol! ahora es tarde, mañana en cuanto pueda repasaré ecuaciones diofánticas y pongo las operaciones y el resultado obtenido a ver si coincidís conmigo. 

[Iona]

No sé si habra mas soluciones aunque mi idea es llenar n garrafas de las de 13 litros hasta obtener una cantidad próxima a los 1000 litros de manera que lo que falte ó lo que sobre para tener 1000 litros sea múltiplo de 18 litros, con lo que se puede cancelar la diferencia con las garrafas de 18 litros, tanto si sobró agua como si faltó. ¿De cuantas formas se puede hacer? pues muy fácil, solo hay que buscar las soluciones enteras de la ecuación:

\( 13n-1000=18m \)

teniendo en cuenta que \( 0<n\leq{} 100 \)

Por lo tanto creo que el problema es un problema de ecuaciones diofánticas.

Saludos, Jabato.

Bien, he estado mirándome las ecuaciones diofánticas y de momento tengo:

a·X+b·Y = K
Por tanto la ecuación diofántica a resolver: [13n-18m=1000]

Tiene solución solo si K es divisible por el divisor común máximo entre a y b, o bien si después de simplificar la ecuación M.C.D. (a,b)=1. Si esto se cumple, las soluciones son infinitas.

He resuelto que el M.C.D. es exactamente igual a 1, por lo que sí tiene infinitas soluciones. Siguiendo el libro dice que si el M.C.D. fuera otro número y éste fuera divisible por K (como ya digo al principio) podríamos simplificar toda la ecuación dividiéndola por el M.C.D. ¡Pero en mi caso no puedo simplificar mas, pues no se simplifica con el 1 que me da el MCD!

[Jabato]

Bueno, si es cierto que existen infinita soluciones de la ecuación, pero fíjate que n no puede tomar valores negativos ni superiores a 100, y entonces el número de soluciones es necesariamente finito, hay que contarlas, y ahí esta el problema.

Piensa un poco más y si no se te ocurre la solución te la expondré yo.

Saludos, Jabato.

[Iona]

Pues estoy intentando hacer euclides a la inversa según dice el libro, pero no lo veo nada claro, después seguiré a ver si saco algo. 

Mas me vale no trabajar nunca en una fábrica de embotellado!!   

Besitos!

[Jabato]

Aunque después de pensarlo mejor creo que no es correcto lo que te dije, los valores de n pueden ser cualesquiera, realmente podemos llenar cualquier número de botellas de un tipo y de otro, la única limitación es que no podemos tener almacenada más agua que la que contienen todos los recipientes, suponiendo que el agua a transportar deba serlo en las botellas disponibles y sin usar otros recipientes, así que lo que tenemos que buscar es todas las posibles soluciones enteras de:

\( 13n+18m=1000 \)

teniendo en cuenta que m y n son números positivos y acotados por la cantidad de botellas existentes, es decir:

\( 0\leq{}n\leq{100} \)              \( 0\leq{m}\leq{20} \)

soluciones que serán independientes del método que utilicemos para llenarlas.

Creo que esta solución es la buena.

Saludos, Jabato.

[aladan]

Hola

Una solución para
                           \( 13n+18m=1000 \)
ecuación que ciertamente es la que soluciona el problema,

es
                            \( n=70\;  m=5 \)     

Saludos                         

[Jabato]

Podemos razonar asi:

\( 13(m+n)+5m=1000 \)

\( m=\displaystyle\frac{1000}{5}-\displaystyle\frac{13(m+n)}{5}=200-\displaystyle\frac{13(m+n)}{5} \)

que obliga a que el número total de botellas empleadas sea múltiplo de 5, cada múltiplo de 5 nos conduce a una solución siempre que \( 0\leq{}m \leq{}20 \), luego el primer múltiplo de 5 que debemos considerar es 70 ya que 65 botellas conduce a un valor de m superior a 20 y el último 75 ya que 80 botellas conduce a un valor negativo de m.

Las soluciones son pues:

total botellas 70, V = 52 x 13 + 18 x 18 = 1000 litros

total botellas 75, V = 70 x 13 + 5 x 18 = 1000 litros

y ya no hay más soluciones.

Saludos, Jabato.

[Iona]

Vaya, salí de viaje y hoy he vuelto y he vuelto también a mis matemáticas y me encuentro con la solución en el foro!!! miles de gracias!! Con este foro da gusto aprender cosas nuevas.

Gracias a ambos por vuestras soluciones, estoy segura de que algún día conseguiré resolver problemas tan rápidamente y con tanta precisión como lo hacéis vosotros.

Besitos a ambos!!