[pepito]

Ayer en un programa de concursos preguntaban cuántos triángulos había en este dibujo (los números de los vértices los agregué yo).

No me pareció demasiado complicado: numeré los vértices, y lo pensé así: como cada triángulo puede ser pensado como una terna de vértices, y en total se pueden formar \(  \binom{10}{3}  \) ternas, sería cuenstión de ver cuántas de esas \(  \binom{10}{3}  \) ternas de hecho forman triángulos. No creo que haya alguna forma que no sea chequeándolas una por una. Para asegurarme de analizar todas, las recorrí en este orden: (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), ..., (1,3,4), (1,3,5), (1,3,6), ... y así hasta (1,9,10). Después (2,3,4), (2,3,5), (2,3,6) ..., (2,4,5), (2,4,6), (2,4,7) ... y así hasta (2, 9, 10). Repetí esto con todos los números hasta llegar al (8,9,10). En total conté 47 triángulos. Acá les detallo, para el par de números con los que empezaría cada terna, cuántos triángulos conté (para las que no aparecen, no conté ninguno):

(1,2,x)---> 5 triángulos
(1,3,x)---> 4 triángulos
(1,4,x)---> 2 triángulos
(1,5,x)---> 1 triángulo
(1,6,x)---> 2 triángulos
(2,3,x)---> 5 triángulos
(2,4,x)---> 5 triángulos
(2,5,x)---> 1 triángulo
(2,6,x)---> 3 triángulos
(2,7,x)---> 1 triángulos
(2,8,x)---> 1 triángulo
(3,4,x)---> 3 triángulos
(3,5,x)---> 2 triángulos
(4,5,x)---> 3 triángulos
(4,6,x)---> 3 triángulos
(4,8,x)---> 1 triángulo
(4,9,x)---> 1 triángulo
(5,6,x)---> 2 triángulos
(6,7,x)---> 1 triángulo
(6,9,x)---> 1 triángulo

No sé si alguien tendrá la paciencia para verificar los resultados y ver si me equivoqué en algún lugar, pero lo que me sorprendió es que una concursante llamó al programa, dijo que había 47 triángulos y le dijeron que estaba mal. Después llamó otro, dijo 63 y se ganó 2000 pesos argentinos (unos 600 dólares). Y si no tienen ganas de ponerse a revisar los resultados, aunque sea díganme si el planteo está bien.

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos.

 Los vértices del 1 al 6 están todos conectados entre si. Por tanto el número de triángulos que pueden formarse con ellos son: \( \displaystyle\binom{6}{3}=20 \). Excluimos las rectas (vértices 1-2-3, 1-6-5, 3-4-5) y nos quedan \( 17 \).

 Ahora el vértice \( 10 \) está unido con los vértices del 1 al 6 y todos ellos entre si. El número de triángulos que contiene al 10 y a uno de los seis primeros es: \( \displaystyle\binom{6}{2}=15 \). Excluimos tres rectas (1-10-4,2-10-5,3-10-6). Quedan \( 12 \).

 Finalmente tenemos en cuenta que los vértices 8, 9 y 10 no están unidos entre si. Entonces podemos contar los triángulos que contienen al 8 y por simetría serán el mismo número que los que contienen al 7 o al 9. Así solo habrá que multiplicarlos por tres.

 Ahora el vértice 8 puede unirse con los vértices 2,3,4,6,10, todos ellos a su vez unidos entre si. El número de triángulos es: \( \displaystyle\binom{5}{2}=10 \). Excluimos las rectas (2-8-4,3-8-10,3-8-6,8-10-6) y nos quedan \( 6 \) triángulos.

 En total:

 \( 17+12+3\cdot 6=47 \) triángulos

 Se me ocurre que quizá también consideren triángulos los "degenerados", es decir, aquellos en que los tres puntos son colineales. Entonces eliminando las exclusiones de rectas quedan:

\(  20+15+3\cdot 10=75 \)

 Se me ocurre finalmente que consideren el mismo "triángulo", por ejemplo, el 1-7-4 que el 1-10-4, porque en definitiva nos da el mismo segmento (esto conceptualmente es ya muy discutible). Entonces estamos repitiendo triángulos, pero solo hay que descontar tres.

\(  75-3=72 \)

 mmmm... pues no veo los \( 66 \) por ningún lado.

Saludos.

[pepito]

Si cuento con el aval del manco, estoy convencido. Los triángulos son 47 y la producción de ese programa definitivamente reparte los premios entre sus amigos. Menos mal que no participé. Cobran aproximadamente un dólar por jugar via sms. Dólar que, sin lugar a dudas, habría sido el peor gastado en la vida. Tal vez intente comunicarme con la producción para ver si consigo algo de rédito a cambio de mi silencio, pero dudo que vaya a importarle a alguien... estamos en Argentina.

[Jjjuan]

Jeje, el único problema aća es que te quedaste a la madrugada viendo esos programas... (Ojo, no te culpo, conozco a varios e incluso alguna vez yo... ejem) Pero no gastes guita en eso, ni tampoco intentes averiguar el paradero de la tal "producción", no creo ni siquiera que exista tal cosa.
Saludos!

[pepito]

jajaj y si, no lo niego. Pero se supone que deberían tener un matemático para asegurarse de cuál es la respuesta correcta cuando hacen este tipo de preguntas. Creen que como a esa hora nadie está mirando, a nadie le va a importar. Pero definitivamente, la solución es buscar una ocupación más productiva a esa hora (i.e. dormir).