¿Podías explicar con algo más de detalle a que te refieres con "caótico comportamiento"?
Como ya te ha explicado el manco los fractales se generan a estudiar el comportamiento de series iteradas dependientes de un punto ó valor inicial del primer término la serie. Las más conocidas se estudian en el campo complejo, como el fractal de Mandelbrot ó los conjuntos de Juliá, aunque es posible diseñar fractales de mucho tipos y no necesariamente en el campo complejo. Analizando el comportamiento de la serie en función del punto inicial se observa en ocasiones que existen puntos en que no es posible predecir cual será el comportamiento de la serie dado que las fronteras que delimitan las regiones de divergencia y no divergencia están tan "arrugadas" que no puede determinarse, salvo para un número teóricamente infinito de iteraciones, cual será la tendencia. Estas regiones son precisamente las que denominamos fractales y en ellas el comportamiento se dice que es caótico (la palabra caótico en teoría del caos es sinónimo de impredecible). Hay mucho escrito sobre fractales y teoríadel caos, así que si concretas un poco nos podremos entender mejor.
Te pondré un ejemplo más concreto, si analizamos el comportamiento de una serie iterada cualquiera vemos que existen distintas posibilidades:
a).- Diverge, cuando cada término de la serie se aleja indefinidamente del punto inicial
b).- Converge, cuando existe un punto límite
c).- Cíclico, cuando a partir de uno determinado los términos de la serie se repiten de forma cíclica, en este caso el número de iteraciones necesarias para cubrir un ciclo puede ser cualquiera, desde 1 hasta infinito.
d).- aleatorio, cuando no se observa una ley que permita predecir el valor del término siguiente, como en el caso de las mantisas de los irracionales
etc.
Los fractales se presentan cuando los puntos en que la serie se comporta de una u otra forma se entremezclan de forma "intima", algo así como la mezcla de los racionales y los irracionales en la recta real, aunque en el caso de los conjuntos de Juliá ó el fractal de Mandelbrot la mezcla se realiza en el campo complejo, de manera que no es posible delimitar una frontera precisa que separe a los puntos de cada tipo, y resulta imposible entonces, en los puntos próximos a dicha frontera, predecir cual va a ser el comportamiento de la serie, de ahí la relación entre los fractales y la teoría del caos, y de ahí también el termino "comportamiento caótico" por el que nos preguntas.
Saludos, Jabato.
